空气阻尼网孔式弹性垫减振单元理论模型研究

和振兴， 白彦博， 包能能， 贠剑峰， 石广田

(兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070)

弹性垫层广泛应用于建筑、兵工、轨道交通等领域的大型构筑物或装备，降低地震或系统自身振动引起的不利影响。张玉良等[1]建立了橡胶垫支座双向耦合弹塑性恢复力模型，并采用无条件稳定逐步积分方法，对建筑领域采用的橡胶垫隔震结构进行了优化；赵雷雷等[2]研究发现节流阀片开度是影响特种车辆减振器阻尼特性的关键数，并通过有限元仿真得到了其阻尼力随阀片开度的变化规律；孙船斌等[3]研究了减震垫刚度、轴向尺寸等对导弹横向振动特性的影响规律，为导弹水下发射系统的结构设计及优化提供了理论依据与研究手段；杨俊等[4]将Berg摩擦力单元与标准线性固体分数微分本构模型并联，得到一种可以描述轨道交通车辆橡胶减振器黏弹性与弹塑性的非线性橡胶模型，较好地描述了橡胶垫动刚度和阻尼随频率、幅值变化的特征；孙亮明等[5]提出了一种应用于高架轨道桥梁的新型橡胶减振支座。通过增大橡胶块倾角、橡胶层总厚度降低新型支座的压缩刚度，进而提高其减振性能。韦凯等[6-7]以TPEE型弹性垫板为研究对象，建立车辆-轨道垂向耦合随机振动分析模型，得到弹性垫板频变、幅频变刚度对轮轨耦合系统随机振动的影响；崔旭浩等[8]建立了考虑道砟垫的高速铁路有砟轨道离散元模型，研究发现铺设道砟垫可以有效的降低道床刚度，增大有砟轨道弹性，从整体上降低有砟道床的振动水平。

上述减振垫、弹性支座等弹性层一般由橡胶、聚氨酯等弹性材料制成。提高阻尼对于弹性垫减振、隔震性能是有利的[9]，但其阻尼主要由材料性质决定，制约了目前减振垫阻尼的提高。因此，对于阻尼要求更高的场合则采用造价更高的空气弹簧或油压弹簧。

弹性垫一般都采用橡胶等弹性材料制成，考虑到弹性材料的不可压缩性，对于轨道列车走形基础的弹性垫，一般制成沟槽型或棱台型。和振兴等[10-11]提出了一种带高阻尼填充物的正六边形网孔式弹性垫板，并对其结构进行了优化研究，但这种结构采用特殊的阻尼填充材料，弹性垫板加工成本较高。研究团队提出了一种具有空气阻尼的网孔式弹性垫板结构[12]，为了研究其刚度和阻尼特性，本文建立了具有空气阻尼的网孔式弹性垫层理论模型和有限元模型，研究了节流孔孔径、气室体积比对弹性垫刚度和阻尼特性的影响规律。

1 结构与模型

1.1 空气阻尼网孔式弹性垫结构

本文研究的空气阻尼网孔式弹性垫层至少由弹性差异较大的两种材料制成，弹性垫的强变形层由弹性较大的材料制成，弹性垫的弱变形层由弹性较小的材料制成；利用网孔式结构的空腔在弹性垫层形成气室，其中在强变形层中形成的气室为主气室，在弱变形层中形成的气室为附气室。两种气室之间用节流孔联通[13]。

当弹性垫受到外部垂向载荷的作用时，强变形层首先产生较大的形变位移，弱变形层基本不产生垂向位移。主气室内空气受压缩后经节流孔流入附气室中，载荷卸去时，强变形层又恢复到初始位移量，附气室内的压缩空气又经节流孔流入到主气室。假设对弹性垫施加固定频率的循环动载荷，上述过程将往循环进行，由于气体在两气室之间往复流动，在通过节流孔时，会产生阻尼从而达到缓冲振动的目的。

空气阻尼网孔式弹性垫可以看成是由一个具有空气阻尼的网孔式弹性垫减振单元在平面内通过阵列而成的。该弹性垫板整体尺寸为：300 mm×225 mm×30 mm，整板网孔数为：86个，其弹性垫整板结构如图1所示。在弹性垫整板上表面网孔间中线处截取一单元，其结构如图2所示。

1.2 动刚度和阻尼比

动刚度和阻尼比是弹性垫层的关键动力学参数，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的动刚度取决于其载荷和位移，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的动刚度Kd为[14-15]

(1)

式中：xm为最大荷载对应垂向位移与最小荷载对应垂向位移之间的差值；Fm为最大荷载与最小荷载之间的差值。

图1 空气阻尼网孔式弹性垫

图2 弹性垫减振单元结构

根据网孔型弹性垫层的结构特点可知：空气阻尼网孔式弹性垫上网孔间中线处的垂向面为受力对称面。受力对称面在加载垂向荷载时只有垂向形变量，故沿着受力对称面切割的单网孔模型的力学性能可等效于弹性垫板整板。根据既有研究可得[16]：空气阻尼网孔式弹性垫减振单元结构的阻尼比与弹性垫整板的阻尼比计算结果基本相等，弹性垫层整板阻尼比ζz为

ζz≈ζd

(2)

(3)

(4)

式中：ζd为空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的阻尼比；δ为对数衰减率；An和An+k分别为空气阻尼网孔式弹性垫减振单元自由振动衰减波形图中第n个和第n+k个波峰值；k为波峰间隔周期数。

2 空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的数学建模

本文以空气阻尼网孔式弹性垫的一个弹性减振单元结构为研究对象，其上部为容积较大的主气室；中部为具有一定孔径和长度的节流孔；下部为容积较小的附气室。其主要用于承受垂向载荷，根据牛顿第三定律可知：该结构工作时承受的垂向载荷F等于橡胶结构产生的作用力F1和气室内压缩空气产生的作用力F2,可表示为

F=F1+F2

(5)

F2=(Pa-Patm)Aa

(6)

Aa=A0+αΔz

(7)

式中：Pa为主气室内气体绝对压力；Patm为标准大气压；Aa为空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的有效工作面积，A0为弹性垫减振单元在工作平衡点处的有效工作面积；α为有效工作面积变化率；Δz为弹性垫减振单元工作时的相对位移。

2.1 主气室数学模型

假设主气室内气体为理想气体，则满足理想气体状态方程

PaV1=m1RT1

(8)

式中：V1为主气室内气体体积；m1为主气室内气体质量；R为气体常数；T1为主气室内气体温度。

考虑到弹性垫在工作过程中近乎为绝热过程，所以主气室内气体变化遵循以下方程

(9)

式中：ρ1为主气室内气体密度；P1为主气室内气体压强；下标为“10”表示主气室内某参数的初始状态量；上标为“′”表示工作在某一时刻某参数的状态量；ε为气体绝热指数，取1.4；k为常数。

由于在弹性垫减振单元工作状态下，主气室内气体质量变化满足质量流量的连续性，所以主气室内气体质量流量方程为[17]

(10)

根据式(8)、(9)、(10)可求得主气室内气体质量流量为

(11)

由式(11)可知主气室气体压强变化率为

(12)

(13)

由式(13)可知：在弹性垫减振单元处于平衡点处时，气体压强变化率与主气室内气体质量流量和气体体积变化有关。

2.2 附气室数学模型

对于空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的附气室，其内部气体质量变化同样满足质量流量的连续性。同时，假设弹性垫的下半部分是不可压缩的，即附气室内的体积在弹性垫减振单元工作过程中是不变的。故有

(14)

根据式(11)、(14)可求得附气室内气体质量流量为

(15)

由式(15)可知，附气室内气体压强变化率为

(16)

故在弹性垫减振单元工作平衡点处，即P20=P2，T20=T2时，有

(17)

由式(17)可知，附气室内气体压强变化率与气体质量流量有关。

2.3 节流孔数学模型

根据能量守恒定律和气体质量流量连续性方程可得节流孔处气体质量流量方程为

(18)

故在弹性垫减振单元工作平衡点处，即P1=P2时，有

(19)

由式(19)可知，节流孔处气体质量流量与节流孔孔径有关。

2.4 橡胶结构模型

由于空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的结构为上软下硬，因此可以将此结构近似的等效为一个橡胶气囊结构，橡胶气囊结构模型包括：库仑摩擦模型和分数开尔文-沃格特模型。

(1) 库仑摩擦模型

对于橡胶弹性垫减振单元的库伦摩擦模型，如图3所示，其摩擦力与位移的关系如下[18]

当x=x0时，

Ff=Ff 0

(20)

当x>x0时，

(21)

当x

(22)

式中：Ff 0为初始摩擦力；x0为初始位移；Ff max为最大摩擦力；x1为最大摩擦力一半时对应的位移大小；θ=Ff 0/Ff max。

图3 库伦摩擦模型

根据模型稳态时的力幅值和每个周期的能量损失可得该模型的刚度Kf和阻尼Df为

(23)

(24)

式中：Ff1为稳态时的力幅值；x2为输入激励的振幅；η=Ff1/Ff max。

由式(24)可知摩擦模型的滞后角为

(25)

(2) 分数开尔文-沃格特模型

对于分数开尔文-沃格特模型，如图4所示，其力和位移的关系为[19]

F(t)=KLx(t)+aDbx(t)

(26)

式中：KL为模型线刚度；a为分数阻尼系数；Dbx(t)为位移x的b阶导数。

图4 分数开尔文-沃格特模型

由式(26)可知分数开尔文-沃格特模型的动刚度和滞后角为

(27)

(28)

3 空气阻尼网孔式弹性垫减振单元等效刚度和等效阻尼的计算

为了方便计算，可将空气阻尼网孔式弹性垫减振单元系统等效为单自由度的弹簧阻尼系统，如图5所示。

图5 单自由度质量弹簧阻尼系统

图5中该系统的等效复刚度为

KX=K+jωc

(29)

式中：KX为系统的等效复刚度；K为弹簧的线刚度；c为系统的阻尼系数；ω为系统的固有频率；j为虚数单位。

根据式(5)、(13)、(17)、(19)、(23)、(25)、(27)、(29)可以得到该系统的复刚度为

(30)

其中：

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

Ks=-(P0-Patm)α

(36)

(37)

(38)

式中：Rf为节流孔阻力系数；K1v为有效工作气体体积仅为弹性垫减振单元主气室内气体的体积刚度；K12v为有效工作气体为弹性垫减振单元主气室和附气室体积之和时的体积刚度；Ks为表面积刚度；C2为弹性垫减振单元附气室气容大小；τ为附气室与主气室体积之比，本文简称为气室体积比。

由式(29)和(30)可知空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的等效刚度和等效阻尼系数为

(39)

(40)

由式(39)和(40)可见，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的等效刚度和等效阻尼系数主要取决于Rf和τ，由式(33)和(38)可知，Rf主要与节流孔截面积有关，τ为附气室与主气室体积之比。故空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的等效刚度和等效阻尼系数主要与节流孔的孔径、气室体积比设计参数有关。

4 参数影响分析

为了进一步研究节流孔孔径、气室体积比对弹性垫刚度和阻尼系数的影响。以轨道交通道床类减振轨道板下弹性垫为例，选取一个结构单元建立有限元模型，通过模拟循环力荷载和落锤冲击实验，验证节流孔孔径和气室体积比对弹性垫刚度和阻尼系数的影响规律。由于阻尼比ζ阻尼系数c呈正比关系[20]，为了方便计算，可直接将阻尼系数等效为阻尼比进行分析验证。由于空气阻尼网孔式弹性垫减振单元结构的阻尼比与弹性垫整板的阻尼比计算结果基本相等，故本文选择空气阻尼网孔式弹性垫减振单元为研究对象。

在有限元仿真计算过程中，赋予该结构单元不同硬度的材料属性，弹性较大的材料形成强变形层，弹性较小的材料则为弱变形层，在对空气阻尼网孔式弹性垫减振单元进行动刚度特性研究时，要将弹性垫减振单元的垂向位移量控制在其总高度的10%左右，故对于30 mm的道床类减振轨道板下弹性垫，要将其垂向位移控制在3 mm左右。根据对有限元模型材料参数的调试，选择空气阻尼网孔式弹性垫减振单元强变形层的杨氏模量和泊松比分别取0.15 MPa和0.050，弱变形层的分别取0.21 MPa和0.499。填充于空气阻尼网孔式弹性垫减振单元气室中的空气按24 ℃考虑，密度为1.29 kg/m3，黏度为1.82×10-5Pas。同时，在空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的上、下表面各添加一个刚体性盖板，以便于载荷可以均匀的传递给下部结构，上、下盖板与空气阻尼网孔式弹性垫减振单元采用绑定约束。最后，建立流固耦合有限元模型实现两者的仿真计算。其中，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元有限元网格如图6所示。空气单元有限元网格如图7所示。两者均划分六面体网格，网格类型为：C3D8R。

图6 空气阻尼网孔式弹性垫减振单元有限元网格

图7 空气单元有限元网格

由于空气阻尼网孔式弹性垫减振单元与空气单元的耦合作用仅发生在两者的相交界面上，故在两者的外接面分别定义流固耦合界面，如图8所示，通过联合仿真可以实现两者的协同响应，该耦合界面可以模拟空气阻尼网孔式弹性垫减振单元在考虑内部空气作用下产生变形。

图8 有限元模型耦合界面的定义

4.1 节流孔孔径的影响

保持空气阻尼网孔式弹性垫减振单元结构和材料参数不变，对空气阻尼网孔式弹性垫减振单元施加3～4 kN均匀分布的周期性正弦荷载，加载荷载的频率为5 Hz。加载时间为10 s。由于空气阻尼网孔式弹性垫减振单元在受到均布载荷时变形均匀，故在上盖板中点处提取位移、载荷曲线。图9是节流孔孔径分别为D=0.5 mm、1.0 mm、3.0 mm时的动刚度对比图。

图9 不同孔径条件下动刚度曲线

由图9可见，随着节流孔孔径的增大，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的动刚度曲线整体向右偏移，这是由于节流孔孔径的改变，对弹性垫减振单元的结构有一定的影响，在相同荷载作用下，其初始位移将随着节流孔孔径的增大而增大。因此，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的动刚度曲线因节流孔孔径的变化而产生整体偏移。

由图9可知，三种不同节流孔孔径对应空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的垂向位移为：0.161 5 mm、0.160 6 mm、0.160 0 mm，由式(1)可得其动刚度值依次为：6.192 kN/mm、6.228 kN/mm、6.250 kN/mm。所以，空气阻尼网孔式弹性垫的动刚度随着节流孔孔径的增大而增大。

采用上述有限元模型模拟冲击荷载为1 kN的落锤冲击实验，得到不同节流孔孔径下空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的自由振动衰减响应。图10是节流孔孔径分别为1.0 mm和5.0 mm时振动衰减的对比图。图10表明，由于阻尼的作用，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的振动响应幅值随时间的增大而衰减，其中节流孔孔径为1.0 mm工况对应响应的初始幅值较大，但其衰减速度更快，说明其阻尼吸能效果更好。

图10 不同孔径条件下自由振动衰减曲线

选择波峰趋于稳定的第2个和第8个峰值进行阻尼比的计算。波峰间隔周期数k=6，由式(3)、(4)可得不同节流孔孔径条件下空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的阻尼比，结果如表1所示。其阻尼比随节流孔孔径的变化规律如图11所示。

表1 不同节流孔孔径条件下空气阻尼网孔式弹性垫单元阻尼参数对比

图11 阻尼比随节流孔孔径的变化规律

由表1和图11可知，随着节流孔孔径的增大，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的阻尼比随之减小，通过对比计算可知，D=0.2 mm时的阻尼比相比于D=5.0 mm时提高了38.84%。而节流孔孔径在小于0.5 mm后其阻尼比增长趋势逐渐减缓，节流孔孔径过小也不易生产加工，故可将空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的节流孔孔径控制在0.5 mm左右。根据阻尼比等效原理可知，节流孔孔径对弹性垫整板的阻尼比也具有同样的影响规律。

4.2 气室体积比的影响

为了研究气室体积比对空气阻尼网孔式弹性垫刚度和阻尼比的影响时，保持材料参数不变，改变附气室与主气室的体积比，加载方式与4.1节相同。图12是体积比分别为0.33、0.41、0.53时，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的位移-荷载曲线。

图12 不同气室体积比条件下的位移-载荷曲线

从图12可见，改变气室体积比，引起位移-载荷曲线的偏移，这主要是由于体积比变化对应结构参数变化导致弹性垫减振单元的静刚度变化引起的。对比图9和图12可见，气室体积比对垫板静刚度的影响比节流孔孔径显著。

由图12得出当弹性垫减振单元的体积比分别为0.53、0.41、0.33时，三种不同体积比对应空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的垂向位移为：0.160 6 mm、0.165 1 mm、0.172 7 mm，由式(1)可得其动刚度值依次为：6.228 kN/mm、6.058 kN/mm、5.789 kN/mm。所以，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的动刚度随着气室体积比的减小而减小。

用有限元模型模拟落锤实验，得到不同气室体积比条件下空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的自由振动衰减波形如图13所示。对比图13中第2个和8个波峰的幅值可以看出，气室体积比越小，振动的衰减速度越快。

图13 不同气室体积比条件下自由振动衰减曲线

选择振动衰减曲线波峰趋于稳定的第2个波峰和第8个波峰峰值进行阻尼比的计算，波峰间隔周期数k=6，由式(3)、(4)可得不同体积比条件下空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的阻尼比，结果如表2所示。其阻尼比随气室体积比的变化规律如图14所示。

由表2和图14可见，随着气室体积比的减小，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的阻尼比随之增大。当气室体积比小于0.29时，气室体积比对阻尼比的影响显著；当气室体积比大于0.29以后，气室体积比对阻尼比的影响趋缓。但气室体积比过小会使空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的垂向位移量过大，造成主气室变形严重，空气阻尼网孔式弹性垫减振单元的动刚度过大。故弹性垫的气室体积比要根据其应用场合的刚度要求而选择较小的。

表2 不同体积比条件下空气阻尼网孔式弹性垫减振单元阻尼参数对比

图14 阻尼比随气室体积比的变化规律

5 结 论

(1) 通过对具有空气阻尼的网孔式弹性垫减振单元的理论建模，并基于复刚度理论得出节流孔孔径、气室的体积比是影响弹性垫刚度和阻尼的关键参数。

(2) 对于空气阻尼网孔式弹性垫，节流孔孔径的变化对其动刚度和阻尼比都有一定的影响。随着节流孔孔径的增大，弹性垫的动刚度随之增大，而阻尼的变化趋势与刚度相反，当D=0.2 mm时的阻尼比相比于D=5.0 mm时提高了38.84%。

(3) 空气阻尼网孔式弹性垫的气室体积比变化对其动刚度和阻尼比有显著的影响。减小气室体积比，弹性垫的动刚度随之减小；而阻尼比随之增大，当气室体积比小于0.29时，气室体积比对阻尼比的影响显著。

(4) 对比节流孔孔径、气室体积比对弹性垫刚度和阻尼的影响可知，节流孔孔径和气室体积比的大小对结构阻尼的影响比刚度更明显。