含多状态啮合与时变参量的直齿锥齿轮动态特性

苟向锋， 李谷雨， 朱凌云

(天津工业大学 机械工程学院，天津 300387)

齿轮传动的振动和噪声严重影响其精度、承载能力和稳定性。设计中为防止轮齿卡死而预留的齿侧间隙，决定了其传动过程中会出现齿面啮合、轮齿脱啮和齿背接触。齿轮副的重合度一般大于1.0，导致齿轮的啮合齿数是时变的。二者综合作用的结果使齿轮啮合时存在单/双齿齿面啮合、轮齿脱啮和单/双齿齿背接触等多种状态，造成轮齿冲击，影响传动平稳性。Gou等考虑齿轮副的多状态啮合特性，分别建立了直齿轮副[1]和面齿轮传动系统[2]的非线性动力学模型，为揭示齿轮传动系统的动态特性奠定了方法基础。

锥齿轮齿廓结构复杂，其动力学研究成果较少。Karray等[3]建立了一种单级锥齿轮动力学模型，研究了齿轮局部损伤对动力学特性的影响。Kiyono等[4]建立了一种两自由度的锥齿轮副动力学模型，分析了锥齿轮与直齿轮、斜齿轮的动力学特性差异。Wang等[5]基于有限元法，建立了包含轴和轴承的锥齿轮传动系统动力学模型。Cheng等[6-7]基于TCA方法得出了锥齿轮接触点轨迹，建立了一种改进的锥齿轮传动系统动力学模型。Yassine等[8]分析了故障锥齿轮系统的动力特性，并与无故障锥齿轮系统的动力特性进行比较。方宗德等[9]建立了包含时变刚度和误差激励的多自由度直齿锥齿轮传动系统动力学模型。王三民等[10]建立了包含多种时变参数的八自由度弧齿锥齿轮传动系统动力学模型。王立华[11]建立了含多种时变参数的12自由度弧齿锥齿轮传动系统动力学模型，研究了其动力学特性。蒋函成等[12]建立了考虑轴系和机匣柔性性的齿轮-转子-机匣耦合系统动力学模型，推导了各类齿轮副的啮合关系。这些研究主要关注系统参数计算、动力学建模及非线性动力学特性研究，未考虑重合度对系统啮合特性的影响。

基于锥齿轮啮合原理，利用微元法计算锥齿轮传动系统的时变啮合刚度和载荷分配率；建立含时变啮合刚度、载荷分配率、综合传递误差和轴承支承的锥齿轮传动系统多状态啮合动力学模型。通过定义不同的Poincaré截面，研究啮合频率和综合传递误差对系统啮合状态和动态特性的影响，为系统参数设计和优化提供理论依据。

1 时变参数的计算

锥齿轮传动系统动力学模型的准确性受时变参数计算模型准确性的影响。由于锥齿轮齿廓较为复杂，现有研究计算其时变参数时都进行了简化。本文基于锥齿轮啮合原理利用微元法建立时变参数计算模型。

1.1 直齿锥齿轮模型及受力分析

考虑齿侧间隙和轴承支承的直齿锥齿轮传动系统简化物理模型如图1所示。p和g分别代表主动轮和从动轮，其当量齿轮的基圆半径为Rbj、扭转振动位移为θj、惯性矩为Ij，扭矩为Tj，k(τ)为时变啮合刚度，Cm为啮合阻尼系数。en(τ)为沿啮合线方向的综合传递误差。2Dn为齿侧间隙，kjl、Cjl和Djl分别为沿l方向的轴承支承刚度、轴承支承阻尼系数和轴承间隙。其中，j=p,g和l=X,Y,Z。

图1 直齿锥齿轮传动系统简化物理模型

表1为某汽车差速器中直齿锥齿轮传动部分的系统参数。其重合度为1.353，结合齿侧间隙的影响，该直齿锥齿轮传动中存在单/双齿齿面啮合、轮齿脱啮、单/双齿齿背接触等五种啮合状态。

表1 汽车差速器中直齿锥齿轮传动系统参数

设δp和δg分别为主、从动轮的节锥角，Xj、Yj、Zj(j=p,g)分别为两齿轮沿X、Y、Z方向的振动位移，αn为两齿轮的压力角，Fn和Ff为啮合点上的正压力和摩擦力，Fnl和Ffl(l=X,Y,Z)分别为其沿l方向的分量，则齿轮副沿啮合点法向的相对位移如式(1)所示。

(1)

式中：a1=cosδpsinαn、a2=cosδgsinαn、a3=sinδpsinαn、a4=sinδgsinαn、a5=cosδpsinαn、a6=cosδgsinαn；rp和rg分别为啮合点到两轮齿旋转中心的距离。

锥齿轮啮合点处的正压力Fn和摩擦力Fnl及其分量可由式(2)获得[13]。

(2)

1.2 时变啮合刚度

齿轮啮合刚度是影响齿轮承载能力及动力学特性的重要参数。锥齿轮啮合刚度主要采用Tredgold近似，即利用微元法将锥齿轮齿廓沿齿宽方向简化为无数个微元近似求解。在Lafi等[14]研究基础上，引入了轮齿基体刚度，建立直齿锥齿轮啮合刚度计算模型。

微元齿轮的啮合刚度ko包括赫兹接触刚度kho，轮齿基体刚度kfo，弯曲刚度kbjio，轴向压缩刚度kajio，剪切刚度ksjio(i=1,2;j=p,g)，分别可由式(3)～(7)得到。

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：w=L*(uf/Sf)2+P*(1+Q*tan2α)+M*(uf/Sf);q=cosσjio[l1/Rbjo+cosθjo-cosα+(θjo-α)sinα]-h1sinσjio/Rbjo;E和ν分别为杨氏模量和泊松比;σjio为沿齿宽方向第o个微元齿轮啮合线与齿中心线的夹角;θjo=0.5π/zjo+invα为沿齿宽方向的第o个微元齿轮的齿角半值;Nj为沿齿宽方向微元齿轮的数量;直齿锥齿轮啮合刚度可由式(8)获得。

(8)

根据重合度可将齿廓啮合区域分为单齿啮合区BC、双齿啮合区AB和CD。则齿轮的单/双齿啮合时间分别为tAB=tCD=(εm-1)T0，tBC=(2-εm)T0，其中，T0=tAC=2π/(ωPzP)为单双齿啮合交替时间[1]。假定齿背接触时的啮合刚度与齿面啮合时相同，表1所示直齿锥齿轮副的啮合刚度如图2所示。

图2 直齿锥齿轮时变啮合刚度

1.3 载荷分配率

直齿锥齿轮副的重合度一般大于1.0，齿轮在啮合时会出现多对齿同时啮合，导致载荷在啮合轮齿间的分配，则载荷分配率不可忽视。目前尚无其计算方法的报道。根据文献[15-16]中斜齿轮载荷分配率的求解方法，将锥齿轮轮齿沿齿宽方向分为无数个微元齿轮，结合最小势能法建立直齿锥齿轮载荷分配率模型。

齿轮的总势能U由微元齿轮的势能Uo叠加得到，如式(9)所示。

(9)

微元齿轮的弯曲势能Ubjio、压缩势能Uajio和剪切势能Usjio(i=1,2;j=p,g)可分别由式(10)～(12)得到。

(10)

(11)

(12)

微元齿轮的势能Uo可由式(13)得到。

(13)

根据弹性势能原理和拉格朗日方法，可得直齿锥齿轮载荷分配率如式(14)所示。

(14)

式中，νs表示轮齿的逆单位势能。包含多状态啮合特性的直齿锥齿轮载荷分配率模型如式(15)所示。

(15)

式中，Ld(τ)和Lk(τ)分别为齿面啮合状态和齿背接触状态下的载荷分配率。计算表1所示锥齿轮副的载荷分配率如图3所示，图3中实线代表第i啮合齿对的载荷分配率，AB段和CD段虚线分别代表第i-1和i+1啮合齿对的载荷分配率。

图3 直齿锥齿轮载荷分配率

2 考虑多状态啮合的直齿锥齿轮传动系统弯-扭-轴动力学建模

直齿锥齿轮副啮合可视为啮合点法面(背锥面)上两个当量齿轮啮合。其齿面啮合状态和齿背接触状态及受力如图4所示。齿面啮合时，主动轮沿啮合线N1N2推动从动轮；齿背接触时，从动轮齿背齿廓沿啮合线M1M2推动主动轮。FNpi、FNgi分别为沿啮合线N1N2、M1M2的正压力分力，Ffpi、Ffgi分别为垂直于啮合线N1N2、M1M2的摩擦力分力。由锥齿轮啮合原理可知：假定N1→N2或M1→M2为正压力的正方向，则FNg1+FNg2>0时为齿面啮合，FNg1+FNg2<0时为齿背接触；FNg1+FNg2=0时为轮齿脱啮。则，齿面啮合时Xn>Dn，齿背接触时Xn<-Dn，轮齿脱啮时-Dn≤Xn≤Dn。基于集中质量法和牛顿第二定律，可得多状态啮合时直齿锥齿轮传动系统的弯-扭-轴动力学模型。

(16)

式中，±和∓中上方的符号表示齿面啮合，下方的符号表示齿背接触。FNpi=FNgi=Lci(τ)Fn、Ffpi=Ffgj=λci(τ)Lci(τ)μcFn(c=d,k)，d代表齿面啮合，k代表齿背接触，mjl(j=p,g；l=X,Y,Z)为沿l方向的集中质量，λci(c=d,k;i=1,2)为第i个啮合齿对的摩擦力方向系数，μc(c=d,k;i=1,2)为轮齿表面的摩擦力系数。

(a) 齿面啮合

由式(2)可求得直齿锥齿轮正压力和摩擦力沿坐标轴方向的分力，如式(17)～(18)所示。

(17)

(18)

式中：λci(τ)=sign[vci(τ)]；vci(τ)(c=d,k;i=1,2)为轮齿的相对滑动速度，如式(19)所示；Scji(τ)(c=d,k;i=1,2;j=p,g)为两齿轮的摩擦力臂，如式(20)～(22)所示；sign为符号函数。

式中：Scj2(τ)=Scj1(τ+T0)(c=d,k)；rbj(j=p,g)为两齿轮齿宽中部的基圆半径；Rbj=rbj/cosδj(j=p,g)，Rag为从动轮齿顶圆半径；两齿轮的压力角αcji(τ)和啮合点到两轮齿旋转中心的距离Rcji(τ)Scji(τ)(c=d,k;i=1,2;j=p,g)可由式(23)～(25)得到。

αcj1(τ)=arccos[Rbj/Rcj1(τ)]

(23)

(24)

αcj2(τ)=αcj1(τ+T0),Rcj2(τ)=Rcj1(τ+T0)

(25)

整理式(16)～(25)，可得直齿锥齿轮传动系统弯-扭-轴无量纲归一化动力学方程。

(26)

轴承的无量纲化间隙函数如式(27)所示。

(27)

式中，q代表xp、yp、zp、xg、yg、zg。rl(t,xn)(l=x,y,z)为沿l方向的啮合状态函数，如式(28)～(29)所示；h(t,xn)为沿正压力方向的啮合状态函数，如式(30)所示。

rx(t,xn)=ry(t,xn)=

(28)

rz(t,xn)=

(29)

h(t,xn)=

(30)

3 参数对系统动态特性的影响

系统中存在齿面啮合、轮齿脱啮和齿背接触等啮合状态。为研究不同参数下各啮合状态对系统动力学特性的影响，定义三个不同的Poincaré截面：

系统的多状态啮合行为可由符号N-P-Q表征，其中，N表示系统运动周期数，P表示轮齿脱啮次数，Q表示齿背接触次数，若P或Q为零，表明系统无轮齿脱啮或齿背接触。

3.1 啮合频率ω的影响

(a) Γn

当ω较小时，系统为1-0-0运动，完全齿面啮合状态，无轮齿脱啮和齿背接触。当ω增大至ω=0.73(A1)时，系统相轨迹与x=D相切，此时相图和时间历程图为图6(a)和6(b)所示。当ω增大至A1点右侧时，系统处于1-1-0运动，系统依旧为周期1运动，但出现了轮齿脱啮。当ω增大至A2点时，1-1-0运动经倍化分岔进入2-2-0运动，系统相轨迹两次穿越齿侧间隙边界，此时对应的TLE值接近0。

当ω增加到A3点时，2-2-0运动经逆倍化分岔退化为1-1-0运动，其对应的TLE值近似为0，之后经鞍结分岔进入混沌运动，此时系统中同时存在齿面啮合、轮齿脱啮和齿背接触三种运行状态，其Poincaré映射图和时间历程图如图6(c)和6(d)所示。当ω增大至A4点时，系统经鞍结分岔由混沌运动退化为1-1-0运动，系统中齿背接触消失。当ω增大至A5点时，1-1-0运动倍化为2-2-0运动，此时系统中存在齿面啮合和轮齿脱啮两种运动状态。当ω增大至A6点时，系统相轨迹与x=D相切，2-2-0运动经擦切分岔转迁为2-1-0运动，此时相图和时间历程图为图6(e)和6(f)所示。

该2-1-0运动在A7点经鞍结分岔进入混沌运动，其对应的TLE>0，此时Poincaré映射图和时间历程如图6(g)和6(h)所示，混沌区域系统出现了齿面啮合、轮齿脱啮和齿背接触三种运行状态。随着ω增大，A8～A9点系统出现了新的混沌运动，其拓扑结构与之前不同，此时Poincaré映射图和时间历程图如图6(i)和6(j)所示。

当ω>2.2(A9点右侧)时，系统经逆倍化分岔序列由混沌运动退化为6-2-2运动。当啮合频率增加到A10点时，6-2-2运动逆倍化为3-1-1运动，其对应的TLE值发生了突变，此时Poincaré映射图和时间历程图分别如图6(k)和6(l)所示。

可见，当啮合频率较小时，系统处于稳定的齿面啮合状态。随着啮合频率的增加，系统逐渐出现轮齿脱啮，其运动类型也由稳定的周期1运动转迁为复杂的多周期运动，在1倍频和1.5倍频附近系统表现为混沌运动，且在混沌运动区域系统出现了齿背接触状态，在2.2倍频以后系统重新出现多周期运动，但齿背接触状态依旧存在。随着啮合频率的增加，系统多状态啮合行为和运动特性变得复杂，选择合理啮合频率可获得期望的运动特性。

3.2 综合传递误差ε的影响

取无量纲参数ω=0.73、F=0.1、ζ=0.05，其余参数取值与3.1相同，可得综合传递误差ε增大的三种Poincaré截面分岔图和TLE图如图7。

(a) Γn

当ε较小时(B1点左侧)，系统处于稳定的1-0-0运动，只存在齿面啮合。ε增大至B1点时，系统相轨迹与xn=D相切，1-0-0运动经擦切分岔转迁为1-1-0运动，系统中出现了轮齿脱啮，由于振动幅值较小，所以系统单双齿交替啮合影响较为明显，系统相轨迹出现波动，此时相图和时间历程图为图8(a)和8(b)所示。ε增大到B2点，系统经倍化分岔由1-1-0运动转迁为2-2-0，系统中存在齿面啮合和轮齿脱啮两种运行状态。

随着ε增大到B3点时，系统经擦切分岔由2-2-0运动退化为2-1-0运动，系统相轨迹穿过齿侧间隙的半值由之前的两次减少为一次，此时相图和时间历程图为图8(c)和8(d)所示。当ε增大到B4点时，系统经鞍结分岔由2-1-0运动转迁为混沌运动，混沌区域内系统出现齿面啮合、轮齿脱啮和齿背接触三种运行状态，此时相图和时间历程图为图8(e)和8(f)所示。

可见，随着综合传动误差波动幅值的增大，系统中逐渐出现了轮齿脱啮和齿背接触状态，其多状态啮合行为和运动特性变得复杂，稳定性随之恶化。因此，应提高直齿锥齿轮传动系统的制造精度、减小综合传递误差，以提高其运动平稳性。

4 结 论

考虑多状态啮合、载荷分配率、时变啮合刚度和齿侧间隙，建立了直齿锥齿轮传动系统弯-扭-轴动力学模型。采用微元法计算了载荷分配比和时变啮合刚度。基于Poincaré映射理论和分岔理论，研究了啮合频率和综合传动误差对系统动态特性的影响。结论如下：

(1) 结合本文建立的直齿锥齿轮传动系统弯-扭-轴动力学模型和三种Poincaré截面，可以更加准确地揭示系统的动力学特性。

(2) 根据直齿锥齿轮传动系统的啮合原理，采用微元法计算的载荷分配率和时变啮合刚度相比传统方法计算更加准确，更能反映系统参数的运行规律。

(3) 当啮合频率较小时，系统的非线性动力学特性和动态啮合特性简单且稳定，随着啮合频率的增加，系统的动态啮合特性变得非常复杂；随着综合传动误差波动幅值的增大，系统的动态特性变得越来越复杂，系统的传动平稳性也随之恶化。