选用合适的方法，提升证明不等式的效率

汪程

不等式证明题的题型多变，解法多种多样，对同学们的数学思维和逻辑推理能力有较高的要求.证明不等式的方法有很多种，如比较法、分析法、综合法、导数法、构造法、放缩法等.下面重点探讨一下比较法、综合法、分析法、放缩法.

一、比较法

比较法是证明不等式的基础性方法.运用比较法证明不等式，需將不等式左右两边的式子作商或作差，然后将商式与1进行比较，将差式与0作比较，再根据所得的结果证明不等式.

例1.

二、综合法

综合法是证明不等式问题的常用方法，对一些较为复杂的不等式证明题，通常采用综合法求证.运用综合法证明不等式，往往要将已知条件与所证目标关联起来，从已知条件出发，寻找相关的公式、定理、性质等对不等式进行变形，通过一系列的推理、运算，推出目标不等式.

例2.

本题中的目标不等式较为复杂，需由条件出发，根据指数的性质和不等式的可加性、传递性、可乘性证明结论.

三、分析法

分析法是指从所要求证的目标出发，利用相关的公式、定理、性质等进行推导，逐步找到使得命题成立的充分条件，直至得到使不等式明显成立的条件.运用分析法证明不等式，需“执果寻因”，采用“要证——则证——即需证——即证”的格式.

例3.

四、放缩法

有些不等式较为复杂，利用相关的公式、定理、性质无法直接证明不等式，需将不等式一侧或两侧的式子放大或者缩小，再利用不等式的传递性证明不等式成立.若要证明A≤B，可以将B缩小成为D≤B，或者将A放大成为A≤C，然后证明A≤C≤D≤B，从而证明不等式.

例4.

解答本题，主要运用了放缩法，先将不等式左边的式子平方，并缩小，只要证明缩小后的代数式依然大于1，则可利用不等式的传递性则证明不等式左边的式子也大于1.

同学们在证明不等式时，要仔细观察所要求证的不等式，抓住其特点，明确其结构，并将其与已知条件关联起来，然后将其左右的式子作商、作差，放缩，利用相关的公式、定理、性质进行推理、运算，灵活运用比较法、综合法、分析法、放缩法来证明.

（作者单位：湖北省十堰市郧阳中学）