汪程
不等式证明题的题型多变,解法多种多样,对同学们的数学思维和逻辑推理能力有较高的要求.证明不等式的方法有很多种,如比较法、分析法、综合法、导数法、构造法、放缩法等.下面重点探讨一下比较法、综合法、分析法、放缩法.
一、比较法
比较法是证明不等式的基础性方法.运用比较法证明不等式,需將不等式左右两边的式子作商或作差,然后将商式与1进行比较,将差式与0作比较,再根据所得的结果证明不等式.
例1.
二、综合法
综合法是证明不等式问题的常用方法,对一些较为复杂的不等式证明题,通常采用综合法求证.运用综合法证明不等式,往往要将已知条件与所证目标关联起来,从已知条件出发,寻找相关的公式、定理、性质等对不等式进行变形,通过一系列的推理、运算,推出目标不等式.
例2.
本题中的目标不等式较为复杂,需由条件出发,根据指数的性质和不等式的可加性、传递性、可乘性证明结论.
三、分析法
分析法是指从所要求证的目标出发,利用相关的公式、定理、性质等进行推导,逐步找到使得命题成立的充分条件,直至得到使不等式明显成立的条件.运用分析法证明不等式,需“执果寻因”,采用“要证——则证——即需证——即证”的格式.
例3.
四、放缩法
有些不等式较为复杂,利用相关的公式、定理、性质无法直接证明不等式,需将不等式一侧或两侧的式子放大或者缩小,再利用不等式的传递性证明不等式成立.若要证明A≤B,可以将B缩小成为D≤B,或者将A放大成为A≤C,然后证明A≤C≤D≤B,从而证明不等式.
例4.
解答本题,主要运用了放缩法,先将不等式左边的式子平方,并缩小,只要证明缩小后的代数式依然大于1,则可利用不等式的传递性则证明不等式左边的式子也大于1.
同学们在证明不等式时,要仔细观察所要求证的不等式,抓住其特点,明确其结构,并将其与已知条件关联起来,然后将其左右的式子作商、作差,放缩,利用相关的公式、定理、性质进行推理、运算,灵活运用比较法、综合法、分析法、放缩法来证明.
(作者单位:湖北省十堰市郧阳中学)