破解极值点偏移问题的几个“妙招”

邹永喜

在连续区间（x1，x2）上，通常有f（x1）=f（x2），此时极值点x0=x1+x22.由于每个函数在单调区间上的变化率不同，所以有些极值点会出现一定程度的偏移，导致x0≠x1+x22及x1+x2＞2x0（或＜2x0）这些不等关系出现.极值点偏移问题的难度通常较大，往往需要采取一些相应的解题技巧，才能使问题顺利获解.本文主要介绍破解极值点偏移问题的三个“妙招”，供大家学习和参考.

一、换元

换元法是求解极值点偏移问题的常用方法.通常需引入新变量，将比值x2x1或差值x2-x1替换，然后根据已知關系式消去x1、x2，从而构造出关于新变量的函数式，再利用函数的性质解题.

例1.

解答本题，需首先借助关系等式f（x1）=f（x2）=0，将参数a转化为lnx2-lnx1x2-x1，将目标式转化为关于x2x1的式子，然后用参数t替换x2x1，通过换元，将目标式转换为关于t的式子，再构造函数f（t），并利用导数法证明f（t）＞2，即可证明x1x2＞e2.

二、构造对称函数

构造关于极值点x0的对称函数，能使极值点偏移问题快速获解.运用构造对称函数的技巧解题的基本思路是：①根据题意求出极值点x0的值，构造与极值点x0有关的对称函数F（x）=f（x）-f（2x0-x）或函数F（x）=f（x0+x）-f（x0-x）；②对函数F（x）求导并得到对应的单调区间，从而判断出f（x）、f（2x0-x）之间的大小关系；③根据f（x1）=f（x2）判断出f（x1）、f（2x0-x2）的大小关系；④利用f（x）的单调性得出结论.

例2.

解答本题，主要运用了构造对称函数的技巧.根据题意构造对称函数F（x）=f（x）-f（2-x），然后对F（x）求导，判断出函数的单调性，即可比较出f（x）和f（2-x）、f（x1）和f（2-x2）、f（x2）和f（2-x2）的大小关系，进而证明不等式成立.

三、利用对数均值不等式

对数均值不等式ab＜a-blna-lnb＜a+b2在解题中应用广泛.运用对数均值不等式求解极值点偏移问题，需根据已知条件找出等量关系式，将其变形为等价的对数式.可在等式的两边同时取对数或分离等式中的对数式，然后根据化简后式子的结构特点选择合适的对数均值不等式，将其代入不等式中并放缩，即可解题.

例3.

首先根据f（x）=xlnx和f（x1）=f（x2）=m建立等量关系式，由于该等式中含有对数式，可直接将对数式分离，然后根据对数式的结构特点，运用对数均值不等式a+b2＞a-blna-lnb将对数式放缩，从而证明结论.

例4.

解答第二个问题，需首先根据第一个问题的结论得到关系式x1x2=1，然后根据对数均值不等式x1x2＜x1-x2lnx1-lnx2进行放缩，即可证明不等式成立.

虽然极值点偏移问题较为复杂，但是在解题时，我们只要仔细审题，根据已知条件建立恰当的关系并进行合理的变形，就能通过换元，构造对称函数，利用对数均值不等式求得问题的答案.

（作者单位：广东省韶关市新丰县第一中学）