怎样比较函数式的大小

袁鹏辉

比较函数式的大小问题在函数中比较常见，常见的命题形式有（1）比较两个或三个同名函数式的大小；（2）比较两个或三个不同名函数式的大小；（3）比较底数、指数均不同的函数的大小.这类问题侧重于考查基本初等函数的性质.本文主要介绍三种解答比较函数式大小问题的途径.

一、采用比较法

比较法包括作差比较法和作商比较法.在解题时，需根据所要比较的两个函数式的特点，选择作差比较法或者作商比较法进行求解.运用作差比较法比较两个函数式的大小，需将两式作差，若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a1，则a>b；若ab<1，则a

例1.

由于a、b、c都大于零，所以利用作商比较法求解：将三式两两作商，再將所得的结果与1进行比较.运用作商比较法解题，需确保要比较的函数式均大于0.

这里运用作差比较法，将a与b、a与c作差，从而比较出a、b、c的大小.

二、取中间值

中间值法是比较函数式大小的常用方法.在比较函数式大小时，往往要结合要比较的函数式的值，选取合适的中间值，再将要比较的函数式分别与中间值进行比较，最后根据不等式的传递性比较出各个函数式的大小.

例2.

以0、1为中间值，分别比较a、b、c与0，1的关系，即可大致确定三者的大小关系，最后结合指数函数的值域得出结论.常取的中间值有-1、0、1、-x等，这样便于运算.

三、利用函数的单调性

有些函数式的函数名称相同，或可通过变形，将其转化为同名函数，此时可利用基本初等函数的单调性来比较两个函数的大小.运用该方法解题，通常要明确函数式中的自变量，熟悉基本初等函数的单调性.

例3.

a、b、c均为指数函数，但底数和指数均不相同，于是根据当0

除了上述三种途径，求解比较函数式大小问题的途径还有很多种，如估算法、基本不等式法、构造法等.但是无论运用哪种途径解题，同学们都要熟练运用基本初等函数的性质、图象、运算法则，根据解题需求选择与之相应的方法，如比较法、取中间值法、利用函数的单调性.

（作者单位：甘肃省灵台县第一中学）