解答立体几何问题的常用方法

胡叠珍

立体几何问题侧重于考查同学们的空间想象、逻辑推理以及运算能力.求解立体几何问题的常用方法主要有几何法和向量法.掌握并合理运用这两种解题方法，有利于迅速找到解题的思路.下面结合实例，谈一谈解答立体几何问题的常用方法.

一、几何法

几何法是解答立体几何问题的常用方法，也是比较重要的方法.在运用几何法求解立体几何问题时，要根据空间中点、线、面之间的位置关系，寻找平行、垂直关系，灵活运用立体几何中的定义、公理、判定定理和性质定理来分析、解答问题.

例1.

在解答立体几何中有关线线、线面、面面平行和垂直的问题时，往往需要首先根据图形理清点、线、面之间的位置关系，然后运用线线、线面、面面平行和垂直的定义、判定定理、性质定理来解题.对于第一个问题，需首先想到运用线面平行的判定定理；对于第二个问题，要证明面面垂直，往往需先想到运用面面垂直的判定定理，则需根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，只需根据勾股定理证明线线垂直.

二、向量法

1.基底法

基底法是指根据向量的基本定理，将各个向量用基底表示出来，通过向量运算来解题.运用基底法解题，需先根据立体几何图形的特点和位置关系，选择一组合适的向量，将其作为基底，再根据向量的基本定理，将各个向量用基底表示出来，利用向量的数量积公式、模的公式、共线定理等进行求解.

例2.

以AB=a、AC=b、AD=c为基底，并用这些基底将AE、CF表示出来，即可根据向量的数量积公式，求得AE?CF的表达式及值.运用基底法解题的关键在于根据题意和图形的特点，选取合适的基底.

2.坐标法

有些立体几何问题中的图形为特殊图形，如正方体、直棱柱、长方体、正棱锥、圆锥、圆柱等，此时可采用坐标法求解.首先要根据这些图形的特点，找到两条或三条垂直且交于一点的直线，将其作为坐标轴，建立空间直角坐标系；然后求得相關点的坐标、直线的方向向量以及平面的法向量，通过向量的坐标运算求得问题的答案.若用a、b表示直线a、b的方向向量，用m、n表示平面α、β的法向量，则（1）直线a、b所成角的余弦值为：cosθ=|（2）直线a与平面α所成角的正弦值为：sinθ=|cosa，m|=；（3）平面α、β的二面角的余弦值为：（依平面角与法向量夹角的大小而定）；（4）若A为平面α外一点，P为平面α上任意一点，则A到平面α的距离为：

例3.据《九章算术》中的记载可知，堑堵是底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马是底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体.如图3，在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC.

（Ⅰ）求证：四棱锥B-A1ACC1为阳马，并判断四面体A1-CBC1是否为鳖臑，若是，请写出各个面的直角（只写出结论）；

（Ⅱ）若A1A=AB=2，当阳马B-A1ACC1的体积最大时，求二面角C-A1B-C1的余弦值.图3

解

利用坐标法求解有关夹角或距离问题，关键是建立合适的空间直角坐标系.通常要使更多的点落在坐标轴上，这样便于计算.有时可通过添加辅助线来画出其中的一条坐标轴.

相比较而言，几何法和基底法的适用范围较广，对于大部分的题目，都可以采用几何法和基底法求解；而坐标法的适用范围较窄，只适用于求解方便建立空间直角坐标系的题目.但运用坐标法求解立体几何问题较为便捷，只需通过简单的向量运算即可.

（作者单位：安徽省宁国市宁国中学）