二元关系传递性的等价定义及其判别法

孙凤芝

(大庆师范学院 教师教育学院，黑龙江 大庆163712)

0 引言

二元关系是离散数学中重要的基本概念，实际判定某个二元关系性质时，自反性、反自反性、对称性的判定比较容易，而传递性的判定有时则较困难，是学习的重点，也是难点。一方面，本文给出二元关系传递性的等价定义，得到解决途径:从逻辑蕴涵式的角度，给出一种等价的定义形式，该定义把判断集合A 上的二元关系R 是否具有传递性问题转化为判断蕴涵式的真假问题;另一方面，本文利用二元关系与其关系矩阵是一一对应的结论，给出矩形判别法，这样就突破了难点，使对二元关系传递性的判定准确而又迅速。

1 二元关系传递性的定义及其局限性

在现有的离散数学教材文献［1］［2］中，对二元关系反对称性和传递性分别定义如下:

定义1 :设R 为集合A 上的二元关系，对于(x，y，z ∈A，当＜x，y ＞∈R 且＜y，z ＞∈R 时，有＜x，z ＞∈R，则称R 在A 上具有传递性。

例1:设集合A={1，2，3，4}，R 是A 上的二元关系，R={＜1，2 ＞，＜3，4 ＞}，问R 在A 上是否可传递?

分析:正确答案为“R 在A 上是可传递的。”许多同学对此感到困惑，提出疑问:他们认为在A 中找不到元素x，y，z，使得＜x，y ＞∈R，＜y，z ＞∈R，当然也更谈不到＜x，z ＞∈R 了，所以他们认为R 在A 上是不可传递的。可见，直接根据传递性的定义不好判定二元关系的传递性。

2 二元关系传递性的等价定义及应用

在课程安排的先后顺序上考虑，把数理逻辑安排在二元关系(集合论)之前讲，把定义用逻辑部分的符号语言等价地表示出来，即得第二等价定义。

传递性等价定义 对于集合A 上的关系R，若

为真，则称R 在A 上具有传递性。

从上述定义中可以看出，定义的表达形式是蕴涵式，从而可以把判断集合A 上的二元关系R 是否具有传递性问题转化为判断定义中蕴涵式(1)式的真假问题。

应用传递性第二等价定义可以很快地判定前面例1 的传递性

例2:设集合A={1，2，3，4}，R 是A 上的二元关系，R={＜1，2 ＞，＜3，4 ＞}，问R 在A 上是否可传递?

解:对R 中的有序对＜1，2 ＞，不存在＜2，x ＞∈R，即＜2，x ＞(R(－ x ∈A)，蕴涵式的前件为假，蕴涵式为真;

对R 中的有序对＜3，4 ＞，不存在＜4，x ＞∈R，即＜4，x ＞(R(－ x ∈A)，蕴涵式的前件为假，蕴涵式为真;

因此，R 中的每一个有序对都使传递性定义等价形式中的蕴涵式为真，该二元关系是传递的。

3 二元关系的判别法及其应用

3.1 有关定义、定理及其证明

定义2:对于A 是有穷集合时，设A={x1，x2，…，xn}，R 是A 上的关系，

是R 的关系矩阵，记做MR。

定义3:设F，G 为二元关系，G 对F 的右复合记作F °G，其中

由传递的关系的定义1 及右复合运算的定义3，我们有以下的定理。

引理:设R 为A 上的关系，则R 在A 上传递当且仅当R°R ⊆R

由引理与关系矩阵定义2 及右复合运算的定义3，我们有以下的定理。

定理:设R(A×A，其中A 为有限集合(不妨设为n 元素集合)，MR是R 的关系矩阵，则R 是可传递的当且仅当在MR中，对于任意的k，若有aik=akj=1(1 ≤i，j ≤n)，则必有aij=1.

证明:不妨设A={a1，a2，…，an}。对于任意的i，j(1 ≤i，j ≤n)，若存在＜ai，aj＞∈R，则在MR中有aij=1;否则aij=0.反之亦然。

必要性:R 是可传递的，即若对于任意ai，aj，ak∈X，每当(＜ai，ak＞∈R)∧(＜ak，aj＞∈R)时必有＜ai，aj＞∈R，则有在MR中，对于任意的k，若有aik=aki=1，则必有aij=1。

充分性:已知在MR中，对于任意的k，若有aik=akj=1(1 ≤i，j ≤n)，则必有aij=1。进而有对于任意ai，aj，ak∈X，每当(＜ai，ak＞∈R)∧(＜ak，aj＞∈R)时，必有＜ai，aj＞∈R。故证得R 是可传递的。

3.2 矩形判别方法与应用

由上述定理，在R 是可传递的等价条件中所涉及的关系矩阵MR中元素aik、akj及aij再加上主对角上元素akk，如果将这四个点用直线分别沿所在的行和列连起来，则恰好构成一个矩形，由此可以得到传递关系R 的矩形判别法:

(1)依次选取MR中主对角线上元素akk(k=1，2，3，...，n)(并以此元素为中心点划横、纵线各一条，即在第k 行与第k 列上各划一条线，可用实线表示);

(2)对第k 行元素中依次找出所有非零元素，设为akj(1 ≤j ≤n)，(并在此元素所在的第j 列上划一条线，可用虚线表示)，显然，akj=1;

(3)对(2)中的每个元素akj，在第k 列元素中依次找出所有非零元素，设为aik(并在此元素所在的第i行上划一条线，可用虚线表示)，显然，aik=1;

(4)判别:若对于(2)、(3)中所有非零元素aik、akj，元素aij非零(即(2)、(3)中两条虚线的交点处的元素非零)，则可以判别关系R 是可传递的(见图1)。

图1 传递关系R 的矩形判别法

注:1)在中，akk只是提供了判别的一个顺序号，使思路清晰，不重不漏，而akk=0 还是akk=1，对判别没有影响;

2)在判别方法中，亦可将(2)、(3)中的“行”“列”互换;

3)若要验证或判别关系R 是可传递的，则须在MR中对于每一个k(k=1，2，3，...，n)验证出对于所有的i，j(1 ≤i，j ≤n)，或者aik与akj至少有一个为零，或者aik、akj或者aij都等于1.=0

例3 设A={a1，a2，a3，a4，a5，a6}，

R={(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，(a1，a6)，(a5，a4)，(a6，a2)，(a6，a3)，(a6，a4)}，

试判断R 是传递关系吗?

方法一:用矩形判别法判别R 是传递的:

当k=1 时，由于在第1 列中元素均为0，故进行下一步;

当k=2 时，第2 行中有两个元素a23=1，a24=1，而在第2 列中有两个元素a12=1，a62=1，由此只须进行四次判别:

在a23=1 且a12=1 的情况下判别是否有a13=1;

在a23=1 且a62=1 的情况下判别是否有a63=1;

在a24=1 且a12=1 的情况下判别是否有a14=1;

在a24=1 且a62=1 的情况下判别是否有a64=1;

由MR知a13=1，a63=1，a14=1，a64=1。

当k=3 时，情况与k=2 时类似，……

当k ＞3 时，读者可类似地讨论。

例2 已知

A={a，b，c，d，e，f}，R={＜a，a ＞，＜a，b ＞，＜a，c ＞，＜a，f ＞，＜b，b ＞，＜b，c ＞，＜b，f ＞，＜d，a ＞，＜d，b ＞，＜d，c ＞，＜d，d ＞.＜d，f ＞，＜e，a ＞，＜e，b ＞，＜e，c ＞，＜e，d ＞，＜e，e ＞，＜e，f ＞，＜f，a ＞，＜f，b ＞}，试判断R 是否是传递关系。

方法二:

图4 传递关系R 的矩形判别法

由矩形判别法，如图4，因为a62=1，a23=1，而交叉点a63=0，所以，R 不是传递关系。

4 结 语

通过给出二元关系传递性的等价定义和矩形判别法，并通过实例对它们进行了应用，使对二元关系传递性的判断直观、高效。

［1］左孝凌，李为鉴，刘永才.离散数学［M］.上海:上海科学技术文献出版社，1982.

［2］耿素云，屈婉玲，张立昂.离散数学［M］.北京:清华大学出版社，1991:75－86.

［3］耿素云，屈婉玲.离散数学［M］.北京:高等教育出版社，1997:1－105，132－156.

［4］Kolman B，Busby R C，Ross S C.Discrete Mathematical Structures［M］.Beijing:Higher Education press，2001.

［5］杨思春，王小林.二元关系传递性研究［J］.微机发展，2003，13(10):88－89.