从八省联考数列题研讨线性递推数列通项公式

［摘  要］ 新高考下的数列试题，着重对等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式进行考查，数列与函数、不等式、几何等知识的综合依然是高考考查的重要方面.注重贴近教材，创新试题情境，进而达到考查学生逻辑推理和数学运算等素养的目的. 文章结合一道八省联考数列题，谈谈对线性递推数列通项公式的备考，进而把握好数列教学，更好地体现数学的核心素养和价值.

［关键词］ 线性递推数列；特征根；数学运算

二阶递推数列问题在课改前即大约2010年前一度成为高考的热点，并且难度居高不下，是高考试题的一道亮丽风景. 课改后数列试题的难度有所下降，主要考查等差数列和等比数列，不再考查或很少考查二阶递推数列，似乎从此数列无难题. 但2021年新高考的八省联考却出乎意料地在第一大题的位置就考查了二阶线性递推数列. 其实这并不意外，实际上，二阶线性递推数列已经出现在普通高中课程标准实验教科书上了.

题在试卷，根在课本. 八省联考这道数列题与课本题目如出一辙. 课本题目只有一问，是通项公式的探索性试题；而八省联考数列题设置了两问，实际上，第（1）问是为第（2）问题求通项公式设置的台阶，这样就大大减小了试题难度. 另外，八省联考数列题相对于课本题目来说，要特殊一些，课本题目更具有一般性. 因此，本文先通过对一阶线性递推式进行解法研究，从中提炼出线性递推数列通项公式的求解通法和一般性结论——特征根法和特征根通项公式. 然后用所得公式求解线性递推数列的通项公式，体验公式在简化运算、缩短解题长度的作用，最后再迂回解答这道八省联考数列题.

希望本文能使读者对特征根法的来龙去脉以及所蕴含的数学思想方法有一个比较全面而深刻的认识.

题目再现

题1：普通高中课程标准试验教科书人教版必修五第69页复习参考题B组第6题.

题2：八省联考.

解法探究

1. 一阶线性递推式求通项

已知一阶线性递推式求数列通项公式这是我们所熟悉的问题，所用思想方法是：用一个待定系数构造等比数列或等差数列.

2. 二阶线性递推式求通项

分析：对于二阶线性递推式求通项问题，可以采用方法类比，用两个待定系数将二阶线性递推式数列求通项公式的问题转化为一阶线性递推式数列求通项公式的问题来处理.

例4 八省联考.

解析：（1）证明略；

求二阶线性数列的通项公式，既可用特征根法直接求解，也可用证明定理所用的待定系数法和方程思想求解.

作者简介：缪苇伟（1986—），本科学历，中小学一级教师，省奥赛高级教练员、徐州市优质课一等奖获得者、县带头优师、县数学教研組中心成员.