强化代数推理教学 提高学生核心素养*

⦿南京市江宁区教学研究室 黄秀旺

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《2022年版课标》)首次提出了“数学核心素养”，并指出推理能力是学生数学核心素养的主要表现之一.虽然我国的数学教学历来都十分重视对学生推理能力的培养，但在具体实施过程中，却过分依赖“几何”知识培养学生的推理能力，而忽视了利用“代数”知识培养学生推理能力.本文中首先阐述对“代数推理”的认识，然后分析代数教学中在培养推理能力方面存在的主要问题，最后指出代数推理教学的三个阶段.

1 对代数推理的认识

早在1963年，在前苏联数学教育体系影响下，教育部颁布了《全日制中学数学教学大纲(草案)》，从此我国数学教育体系初步形成.该大纲首次明确提出了“培养学生正确而迅速的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力”的目标，这个阶段逻辑推理能力的培养主要体现在几何知识的教学中.

义务教育之前，初中数学教材一直按《代数》与《几何》分别编写，其中《代数》4本，《几何》2本.有很多学校的数学教师只教《代数》，有的只教《几何》，于是出现了张三是代数老师，王五是几何老师的中国特色“称谓”.这个时候“自上而下”人为地把原本一体的数学知识分为代数、几何两部分.大部分教师认为主要通过几何教学培养学生的数学推理能力，这势必削弱了对学生推理能力的培养力度.

2001年《义务教育数学课程标准(实验稿)》颁布后，课程内容分为“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域，相应的教材便采用“混编”的形式，从根本上结束了义务教育阶段数学教材“分科”的历史.这样一来，培养推理能力的“载体”理所当然地包含“代数”内容，但是仍然没有引起教师们的足够重视，在推理能力培养上还是以几何教学为主.

目前随着《2022年版课标》的颁布，教师应彻底转变主要依赖几何培养学生数学推理能力的观念，重视代数推理在培养学生核心素养方面的作用.

(1)培养推理能力是整个数学教学的任务

《2022年版课标》指出:“推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力.”[1]从推理能力的界定上看，推理能力不是几何“独属”的一个名词.在整个数学教学的过程中，都要把培养学生的推理能力作为首要的任务.在实际教学中，无论讲授的内容属于哪个领域，我们都要充分发挥具体知识所承载的培养推理能力的作用，既要让学生掌握相应的数学知识，又要利用这些知识来培养、发展和提高学生的数学推理能力.

(2)新课标对代数推理提出了明确的要求

在以往的数学《教学大纲》或《课程标准》中都没有出现“代数推理”的字样，《2022年版课标》在“课程内容”中明确提出了“了解代数推理”[1]的要求，特别强调了代数推理问题.新课标表述“推理”的词有很多“散现”于“数与代数”领域，例如“能利用乘法公式进行简单的推理”“通过基于符号的运算和推理，建立符号意识，感悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，提升运算能力”[1]等.因此加强代数推理教学符合《2022年版课标》的要求.

代数推理是以代数知识为背景，通过逻辑推理解决数学问题的过程.它比几何论证更加抽象，对思维能力、逻辑论证能力要求更高，更能“反映”学生抽象思维能力的层次.在“数与代数”领域内容的教学中，“计算”是核心，这种计算要依据一定的“原理”(公式、法则、运算律等)，在计算中处处含有推理(算理)的过程.现实世界中的数量关系往往有其自身的规律，用代数式、方程、不等式、函数刻画这种数量关系或变量关系的过程中，也不乏分析、判断和推理.这是一个经历观察、猜想、归纳、证明的过程，是一个既有合情推理又有演绎推理的过程[2].

代数推理同几何推理一样，也包括演绎推理、归纳和类比推理.例如，从若干运算结果中归纳出有关运算规律，就是归纳；根据运算法则推演出运算的规律或者公式，就是演绎；而根据有理数的运算法则得到无理数的运算法则、实数的运算法则等就是类比[3].

2 代数推理教学的现状

自2001年课程改革以来，教师没有发挥好“数与代数”领域内容在学生推理能力培养方面“应有”的作用，突出表现在两个方面.

(1)教师研读教材的力度不够

《2022年版课标》指出:“数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、知识结构和基本线索，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源.”[1]在教材的编写过程中，由于受篇幅的限制，教材隐去了很多知识的产生过程或利用知识解决问题的过程，其实这些过程中蕴含着大量的推理思想.教师在研读教材时，应该把这些“省略”的推理过程“挖掘”出来.而在教学中是否“补充”给学生，要根据学生的实际接受能力而定，即使不能“补充”，教师也要在心中整体把握这个完整的推理过程.

例1(青岛版教材中的例题)在下列各题中的空格处，分别填上大于号或小于号(“>”或“<”)，并说明理由.

(1)2.50； (2)-10；

(3)1-100； (4)-3-2.

解：(1)2.5>0(正数大于0)；

(2)-1<0(负数小于0)；

(3)1>-100(正数大于一切负数)；

(4)-3<-2(在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大).

设计意图：设置此例题，一是利用法则比较两个有理数的大小，二是培养学生的说理意识.由于学生刚升入初中，说理能力比较弱，因此教材采用了“把比较两数大小的依据填在结论后面的括号内”的处理方式，这样有助于培养学生的说理意识.

教师在讲课时，可以按照上面的过程进行.但是教师在研读本课教材时，应该明确本题实质上完整地体现了“三段论”的推理模式.以第(3)小题为例说明如下：因为正数大于负数(大前提)，-100<0，1>0(小前提)，所以-100<1(结论).

有些大学师范生初到教学岗位时，总觉得初中数学太简单，课堂上需要讲的内容太少.果真如此吗？

(2)教学过程过于简略

在数学教学中，过程教学意义重大.由于揭示知识发生、发展的过程“费时费力”，因此很多教师往往直接给出结果，这样容易导致学生对知识的理解不深刻，同时也失去了培养学生推理能力的“机会”.

=2×14=28.

设计意图：很多教师在研读教材时没下功夫，教学中又不重视过程，就直接按照上面的解法讲给学生，这样就错过了培养学生代数推理能力的一次“机会”.

本题的解答过程其实隐含了涉及二次根式性质的两步推理过程：

在课堂教学中必须把推理过程“还原”给学生，按照上面的两步推理过程书写，这样就能帮助学生养成解答数学问题时做到步步有据的习惯，有助于学生代数推理能力的形成与提高.

从这个角度看，这不仅仅是一个计算题，同时也是一道推理题.学生通过解答既加深了对二次根式的性质、二次根式乘法的理解，又增强了运算能力，还能“感悟”到代数推理的过程，久而久之，学生的推理能力自然得到提升.

3 代数推理教学的实施

《2022年版课标》指出：“数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力.”[1]初中阶段“数与代数”领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题，这些内容是学生理解数学符号，以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容，是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体.教师在教授这些内容时，既要传授好这些基础知识，还要以这些内容为“载体”培养学生的数学推理能力，从而提高学生的数学核心素养.代数推理能力的培养可以划分为三个阶段.

(1)以探索发现为主，旨在培养合情推理能力

在规范学习几何“证明”之前，代数推理表现为“合情推理”的方式.在这个阶段的教学中，教师以“数与代数”领域的知识点为载体，创设问题情境，开展观察、实验、猜想(类比与归纳)等活动；在活动的过程中，学生能凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果，提高合情推理能力.

例3(苏科版教材中的一道复习题)3个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了几次手？4个朋友在一起呢?n个朋友在一起呢？

学生合情推理能力的提升过程不同于一般数学基础知识与技能的获取过程，需要在问题的引导下“悟”出来.根据“引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题”[1]的要求，教师要在第一阶段的教学中认真研读“数与代数”方面的内容，根据学生的认知水平，设计系列问题串，以引导学生探索发现，不断发展合情推理能力.

(2)以演绎推理为主，旨在培养推理论证能力

学生在学习了几何“证明”后，掌握了几何证明的基本模式，在叙述证明的过程中能使用“∵……，∴……”的符号语言.推理进入逻辑推理阶段，以培养推理论证能力为主.这时在“数与代数”方面内容的学习中，也要利用这种推理模式培养学生的演绎推理能力.

因为x10，x1-x2<0．

所以，当x<0时,y随x的增大而减小.

同理可证，当x>0时,y也是随x的增大而减小．

设计意图：初中阶段都是通过分析函数表达式和函数图象来探究函数性质的(是合情推理)，没有对性质进行证明(是基于课程标准的要求).事实上，学生已具备证明所需的知识及能力，因此教学中可适度拓宽要求，加强演绎推理以满足部分学生发展的需求．

例5已知函数y=x2+2mx-2m-1(m为常数)．

(1)当m=-1时，此函数的图象与x轴有几个交点？

(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．

解：(1)当m=-1时，y=x2-2x+1．

由Δ=(-2)2-4×1×1=4-4=0，可知一元二次方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根．

所以，此函数的图象与x轴只有1个交点.

(2)证明：因为方程x2+2mx-2m-1=0的根的判别式Δ=4m2-4(-2m-1)=4(m+1)2≥0，所以方程x2+2mx-2m-1=0有实数根．

因此，不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．

设计意图：本题的第(1)问虽然是解答题，但是解答过程离开演绎推理是没法进行的；本题的第(2)问要按照“几何”证明的格式写出证明过程.本题表面看是考查学生对一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识的掌握情况，深层看是以这些知识为“载体”，培养学生的逻辑推理能力.

(3)合情与演绎推理相融合，旨在提升推理能力

经过第二个阶段，学生具备了按照演绎推理形式对有关“数与代数”的结论进行证明的技能，此阶段的代数教学宜采用“合情推理和演绎推理相辅相成”的方式，让学生经历从合情推理到演绎推理的闭环，有利于提高学生的代数推理能力.

例6(苏科版教材中的一道复习题)计算下列各式，你得到什么结论?试用字母表示数,并说明结论的正确性.

8×8-7×9；11×11-10×12；80×80-79×81.

设计意图：本题包含“探索—证明”两个环节，教学中应引导学生先观察几个算式的结构特点，然后再计算.如果学生直接按运算顺序计算，教师暂不评论，在得到结果后(都为1)再引导学生观察算式的特征，在此基础上利用合情推理进行大胆猜想，并引入符号，将猜想表示为“n2-(n-1)(n+1)=1”,然后利用演绎推理对结论进行证明.因为左边=n2-(n-1)·(n+1)=n2-(n2-1)=1，右边=1，所以左边=右边，因此结论是正确的.

这样的教学，学生能体会到“合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论”.合情推理和演绎推理相辅相成，进一步提高了学生的推理能力.