基于教材单元主题的数学史与数学文化的扩充教学

河南省驻马店市第二十八小学 龚保全 付永红

数学教材中蕴含着丰富的数学思想、数学方法、数学精神、数学名人故事及数学史料，所有这些构成了丰富的数学文化。数学史和数学文化有的蕴含于主题探究之中，有的蕴含于习题之中，还有的在教材中以“你知道吗？”“生活中的数学”的插入形式进行简要介绍。但是，由于教材编排体系是以知识为主，教材编写是以让学生学会知识为目的，数学史和数学文化只能作为暗线隐藏于数学学习之中，即使以“你知道吗？”“生活中的数学”这样的专题形式做专门性介绍，也是极其简单，无法使学生领悟到背后所牵涉的数学精神和知识的发展史。蜻蜓点水似的渗透，学生浅尝辄止，无法从整体上把握数学史和数学文化，不可能深入领悟数学所蕴含的魅力，无法助推高阶思维的发生，从而导致对单元主题的把握流于表面。那么，如何对数学教材中蕴含的数学史和数学文化充分发掘，把隐性知识变为显性知识，使学生在学习中形成清晰的脉络认知，助推单元学习主题的达成和学生高阶思维的发生呢？

一、基于教材概念，围绕单元主题挖掘数学史和数学文化

数学史和数学文化的挖掘不能随意，不能把小学数学课堂学习当成大学的研究性史料学习，要基于教材为单元主题教学服务，围绕单元主题进行开发，其学习形式可以是了解式的，如介绍数学史料；也可以是体验式的，如进行相关游戏活动。在体验中深刻理解数学方法，体会数学思想，使学生对单元主题学习更深入，对单元大概念的理解更透彻，引发学生深度学习。

比如在学习“因数和倍数”时，围绕质数这个数论中最重要的核心概念，我们进行了“梅森素数”的挖掘，设计了专门的拓展课例。让学生了解质数的发展史，感受质数的神奇和魅力，体会质数在数论中举足轻重的地位，知道哥德巴赫猜想的由来和内容，了解世界数学爱好者对哥德巴赫猜想的不懈研究史，知道中国的陈景润在研究哥德巴赫猜想中的伟大贡献和所处的领先位置，生发民族自豪感，树立民族自信心，形成自主学习、自主探究数学的愿望。

学习“圆”时，围绕“圆周率”这个核心概念，基于数学教材中的“你知道吗？”板块，我们进行了“两编一课”的数学史和数学文化的教学工作。“两编”就是收集、整理、编写两篇有关圆周率研究的文章：《中国古代数学奠基者— 刘徽》《擦亮数学明珠圆周率——祖冲之》，推送给学生进行自主阅读，引领学生共读，体会“割圆术”这个中国古代极限思想的佳作，了解我国古代劳动人民对圆周率研究的悠久历史和所取得的伟大成就，知道“祖率”的含义，深化对圆周率的理解，对先人怀有崇敬之心。“一课”是设计了“π 的传奇”课例，引领学生了解π 的发展史，知道人们对π 的迷恋和狂热，明确π 在研究曲线图形时所起到的开创作用。经过这样基于教材，围绕单元主题所进行的数学史和数学文化的学习，学生对知识学习不再局限于练习应用，而是通透知晓，形成整体化和结构化的知识体系，为深度思考和以后研究打下基础。

二、基于教材活动，围绕探究方法植入数学史和数学文化

课堂教学围绕主题进行探究活动，借助探究活动既培养了学生自主探索和合作学习的能力，又使学生在活动中体会数学思想、明确数学理念、掌握数学方法，从而逐步在学生头脑中建立数学内涵，构建起知识、思想、理念、方法相互融合的数学知识体系。

课堂活动中如何围绕探究方法挖掘数学史和数学文化，在学生头脑中逐步植入数学思想、数学理念和数学方法呢？在长期实践中，我们形成了围绕主题自主探究，植入数学史，融入数学文化的活动过程。在开展围绕主题的探究活动时，先让学生自主探索，合作交流，进行猜想、尝试、验证等，尝试多样化解决问题。在学生探究过程中，寻找适当契机植入数学史，使学生知道所探究的内容在数学发展中的地位，在小结时归纳学生的探究方法，点明蕴含的数学思想，使学生感受到数学文化的博大精深，拥有活动成就感，享受学习数学的快乐，体验到数学的生动有趣。

比如在学习“圆”时，围绕主题“圆周率”进行探究活动，我们设计了两个主要探究活动，一个是探究测量并计算圆的周长，一个是探究计算圆的面积。在进行第一个探究活动时，首先让学生自主或合作测量给定的实物圆的周长，学生有的用滚动的方法，滚出一条线段，再测量出线段的长度就是圆的周长；有的用绳子围圆一周，把绳子拉直，度量出绳子的长度就是圆的周长；有的学生把圆周长平均分成若干份弧，用直尺测量出一小段弧的近似长度，再计算出整个圆的周长；有的学生直接用卷尺围圆一周，得出圆的周长。在进行评价时，教师点出其中蕴含的数学思想方法——化曲为直。探究第二阶段，让学生想办法测量或计算出探究单上所画圆的周长。个别学生沿用第一阶段中把圆周长平均分成若干段弧的方法，连接弧的两端成一线段，测量出线段的长度再计算出整个圆的周长。但是这样做很麻烦，误差较大。有的学生用剪刀把圆从纸上剪下来，在另一张纸上滚动成线段或者用线绕圆一圈，用卷尺围一围，继而得出圆的周长，但是这样做费工费时，同时破坏了探究纸张的完整性。教师提出问题：“有没有简洁的办法找出圆的周长呢？”引导学生回顾发现长方形和正方形周长公式的探究过程，反思其中蕴含的数学思想。在变中找不变，以不变应万变，即寻找出变中数量之间的不变关系，用关系式解决所有同类问题。继而引导学生观察所测量圆的周长和直径的几组数据，学生发现所有圆的周长除以直径的商都是约等于3，由此得出圆的周长与直径的倍数的定值关系。教师在评价中告诉学生这是一个伟大的发现，它是古人探究曲线图形的一个里程碑，开启了由直入曲的迷宫钥匙。教师在此时介绍圆周率，介绍圆周率的产生、作用和发展史，介绍历史上古人对圆周率值的探究，圆周率的应用等，使学生对圆周率的发展史有一个完整的认识，了解到在不同的数学发展阶段圆周率所处的地位和所起的作用，并对孜孜不倦进行探索的古今中外数学家产生深深的敬意。这个活动中，由于学生深刻理解了圆周率并知道了圆周率的由来，那么圆的半径、直径和周长之间的互相换算也就不是问题，这就是深度学习的结果。这个过程中，教师再次强化了数学学习中让学生寻找规律的意识，在变中找不变的数学思想。

第二个探究活动，当学生用以前学习的数方格法、单位图形度量方法都不能解决问题时，教师要引导学生用剪拼的方法重新组合图形。学生有的拼出了长方形，有的拼出了三角形，还有的拼出了梯形。教师提出问题让学生思考：“这种剪拼重组的方法蕴含着什么样的数学思想？”那就是化圆为学过的图形—— 化圆为方、化曲为直、化不规则为规则。其中还蕴含着什么样的数学思想？极限思想、微积分思想等。在推导完成圆的面积公式后，教师提问学生：“推导过程中蕴含着什么样的数学方法和数学思想？”其中蕴含分析法、等量替代法、归纳法、逻辑推理思想和等积变形理念、符号意识等。在活动中适机进行问题引领思考和点拨，渗透了数学史和数学文化，如此学生对学习主题的理解更加透彻。

三、基于教材习题，围绕解题方法开发数学史和数学文化

教材习题的编写，目的是巩固知识，提升学生综合运用知识的能力。教材的数学习题编排了许多基于数学史和数学文化的古典题目，而这些题目也是深化理解单元主题的经典素材。学生在解决这些问题时，只要围绕理解题意，分析解题方法，思古人所思，想古人所想，就能从源头上寻找到这些题目所产生的历史生活背景，通晓古人智慧，从而全面深刻地了解数学史的发展历程，体会数学文化的丰富多彩和博大精深。基于教材习题，围绕解题方法开发数学史和数学文化，有利于丰富学生单元主题知识背景，能够有力助推学生对单元主题的深入领会。

数学教材中有很多可用于开发数学史和数学文化的题目。比如人教版四年级上册第69 页有一道用七巧板拼图的题目，在学生动手操作完成后，笔者及时插入介绍七巧板的发展史，使学生知道七巧板最早发源于我国明清时代，其前身是宋代的“燕几图”和明代的“蝶翅几”，后来传往日本和欧洲。这样的插入介绍引发了学生了解燕几图和蝶翅几的好奇心，他们课后自主查阅，甚至有学生画出了这些图形。这样的插入介绍既丰富了学生对七巧板历史的了解，又引发了学生进一步用七巧板拼出不同形状图形的愿望，有助于加深他们对平面图形这一单元主题的认识。再比如在学习“数学广角— 优化”这个单元内容时，借助教材习题可以让学生了解田忌赛马的故事，助力学生了解“优化”的数学史，体会生活口语中的“三打两胜”“五比三胜”所蕴含的数学优化思想，也可以借习题展开介绍华罗庚的“优选法”，从而加深对单元主题——“优化”的理解。

四、基于教材作业，围绕单元主题了解数学史和数学文化

基于教材中的数学史料和单元主题，我们常常布置研究性作业，让学生围绕一个主题通过搜索信息、查阅资料、动手实验等方式去做研究，研究主题的来龙去脉，从产生、作用、地位、发展和未来等方面进行梳理，以是什么、为什么、怎么做的思路过程进行整理。我们根据学生年龄特点，让学生围绕主题综合所收集的资料绘制成手抄报或让学生在家长的帮助下制作关于主题内容的PPT，用数学演讲的方式进行展示，也让有写作能力的学生书写为数学小论文，用这些方法围绕单元主题了解数学史和数学文化，以此帮助学生理解单元主题。

根据小学阶段人教版数学教材中数学史的内容编排，我们从一年级开始就按计划布置数学史性的主题让学生在家长的帮助下通过利用周末时间到书店查阅资料、上网搜索、实物观测、做实验等方式围绕所布置的主题进行探究，根据指导要求收集资料，做成手抄报公开展示，做成PPT 进行演讲或按照书写要求归纳形成数学小论文。一般是低年级段做图文并茂的手抄报，高年级段书写成数学小论文，而做成PPT 进行演讲则从一年级开始锻炼和培养。下面是我们各个年级每学期所布置的主题。

一年级上学期：算筹；象形文字；中国古今计时工具

一年级下学期：七巧板；中国的货币

二年级上学期：测量单位；乘号；九九歌

二年级下学期：除号；记数方式的演变

三年级上学期：分数

三年级下学期：指南针；小数

四年级上学期：数的产生；阿拉伯数字；算筹计数法；计算工具的认识；亩；格子乘法；神奇的莫比乌斯带

四年级下学期：括号的由来；“鸡兔同笼”问题

五年级上学期：方程；九章算术；出入相补

五年级下学期：哥德巴赫猜想；几何学和欧几里得

六年级上学期：极限；黄金比；圆周率；恩格尔系数；杨辉三角

六年级下学期：负数；圆柱容球；抽屉原理；七桥问题

以作业任务做驱动，以数学史和数学文化为内容，通过围绕教材单元主题有计划连续性地系统性搜集整理资料，在阅读中思考，在想象中操作，在实验中验证，在总结中画、写、说，学生对单元主题的把握更全面具体，对单元主题的领悟更深刻透彻。总之，基于教材，围绕单元主题开展数学史和数学文化的渗透性学习，有助于提升儿童数学核心素养，助推儿童形成完备的结构化的知识体系，有利于深度学习的发生。