数学建模：优化应用型本科高校创新人才培养的路径

中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议指出，我国已转向高质量发展阶段，人力资源丰富，但创新能力不适应高质量发展要求。创新人才培养是当务之急，其培养是一项极其复杂、极具挑战性的系统工程，需要社会、学校特别是高等院校等多方共同参与。高等教育在人才培养模式上正在由重视知识传承向强调具有知识创新能力转变。应用型本科高校创新人才培养有很多切入口，也有多种途径。数学建模作为一门以数学为核心并与各学科各专业相交融的课程，作为一项为各行业提供优化设计、优化控制、优化决策方案的活动，在应用型本科高校创新人才培养中发挥着越来越重要的作用。

一、数学建模的价值与特点

数学建模是数学走向应用必经之路，是启迪数学心灵必胜之途；数学建模学习与实践集知识、能力、素质培养为一体，有力促进创新型人才培养。[1]应用型本科高校通过数学建模课程的教学和数学建模活动的开展能够使学生创新性地运用数学的思维、数学的方法，更有效地解决各行业错综复杂的实际问题，并获取最佳效益。

数学建模指对现实世界的特定对象，为了某特定目的，做出一些重要的简化(以便准确把握事物之间的联系，认识事物的本质)和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构，以解释特定现象的现实性态，预测对象的未来状况，提供处理对象的优化决策和控制，设计满足某种需要的产品等。数学建模是一个从实际到数学，再从数学到实际的过程，是沟通现实世界与数学世界的桥梁，并应用现代计算技术，解决复杂问题。[2]

数学建模与各学科专业间存在着紧密关系，通过数学建模可以解决各学科中的现实问题。数学建模通过创新数学模型、数学模型的创新应用，对许多行业中的实际问题进行优化设计、优化控制、优化决策，以获得最佳效益。

二、数学建模与创新能力培养

数学建模活动在全过程中激发学生的创新意识与创新能力。数学建模过程包括实际问题的数学语言描述→模型假设→模型建立→模型求解→模型改进→结果分析与检验→模型在实际问题中的应用等。数学建模竞赛是数学建模最具代表性的活动，既检验学生活动开展过程的创新能力，又检验活动结果及应用的创新性。以全国大学生数学建模竞赛(CUMCM，简称国赛)为例，竞赛中的创新可体现在以下方面：①建模中模型本身的创新以及模型简化的好方法、好策略等；②求解模型算法的设计及软件的选择应用；③结果表示、分析、检验，以及模型的检验；④模型的推广及应用；⑤相关学科前沿知识的掌握与创新。

(一)数学建模竞赛应用背景前沿知识的掌握与创新

参加数学建模活动，即从定量的角度分析和研究一个实际问题，首先要了解问题的实际背景，在短时间内找准理论支持的相关学科知识，定位在该学科或行业中要解决的问题。如，每年国赛赛题都来自有很强实际背景的问题，没有固定范围，涉及不同学科、领域。1992年至2018年每年本科组赛题分为A、B题，2019年开始则分为A、B、C题。每年赛题实际背景的不同使参赛队伍没有现成的借鉴模式，只有积累知识与方法，开展创造性工作。

如，2019年国赛A题为“高压油管的压力控制”，主要是利用物理知识建立数学模型，对高压油管压力进行控制，在石油等资源利用中达到节能减排的目的；2019年国赛B题为“同心协力(同心鼓)策略问题”，是利用物理等知识对同心协力这一团队协作拓展项目方案进行优化设计达到题目要求的不同效果；2019年国赛C题为“机场出租车资源优化配置”，主要背景问题是交通领域出租车资源的优化利用及司机均衡收益管理问题。

每个问题涉及哪些学科、领域，只有判断清楚才能有针对性地找到解决问题的方法，这就要求学生具有在有限时间内迅速查阅大量文献资料，准确获取所需信息的能力。当判断好问题来源后，参赛者要有效解决问题，就要深入具体学科领域的前沿，了解需要解决的具体背景问题是否已有方法解决过。如已解决，截至目前解决的最好方法是什么，结果是否理想，问题解决中是否用到了数学模型，用的是什么数学模型，在掌握以上信息的基础上继续思考“有没有更好的方法、更适合的数学模型可以解决该问题”。如果前人从未解决过此类问题，依据文献判断什么方法可以用。学科前沿知识是创新的源泉，学生在学科前沿知识收集中得到启发，从而提出新方法，或者把老方法和经典数学模型创新应用于新问题的解决。

(二)数学方法与数学模型的创新及应用

一方面是实际问题的数学化及创新。数学建模问题几乎都来自实际领域的“原生态”问题[3]，也是社会热点问题[4]，这些实际问题的数学化本身需要一定的创新。[5]实际问题数学化需要数学建模者拥有抓住要点的洞察能力，善于从原型中抓住其数学本质；需要数学建模者有一定的数学语言翻译能力，把经过一定抽象和简化的实际问题用数学的语言表达出来，形成数学模型。[6]

另一方面是数学模型的创新及模型应用的创新。数学建模竞赛全过程按工作性质可分为建模、编程(软件使用)、写作三部分，其中建立模型是重中之重。数学建模不要求统一的解决方法和结果，同一背景问题可以从不同的视角，运用多种数学方法和思路，建立多种数学模型，得到多样化的优化决策方案。这需要学生了解现代数学中的各种数学方法，把所掌握的数学工具创造性地应用于具体问题，构建其数学结构。[7]数学建模竞赛成绩的高低主要由数学模型的优劣来判断，[8]一个好的数学模型包括模型的合理性和模型的创造性(创新性地改造已有模型或者创造原始模型)。而多种方法的使用能达到方法相互比较和结果相互印证的作用，需要学生拥有更强的创新思维与创新实践能力。不同的竞赛队伍对同一竞赛问题的解决可以从不同视角、利用不同方法进行合理分析、建模，给出优化对策方案，这正是数学建模创新性工作的最突出体现。以2016年国赛B题“小区开放对道路通行的影响”为例，有的队伍建立了微观交通仿真模型，得出小区开放会增加道路网密度、车流量和提高平均车速等结论，并且借鉴经济学中投入和产出分析，建立道路网系统的DEA模型，对各类型(片块式、轴线式、集约式)小区开放前后周边道路通行效率进行评价，从城市规划和交通管理两个方面对不同类型小区提出相应开放方式的方案。这支队伍采用的方法涉及经济学、城市规划、交通管理、数学建模中的多目标规划的DEA方法、仿真系统等知识，体现了多学科多专业知识的综合及数学知识的创新应用。有的队伍利用熵权法、简单加权平均算法建立小区开放对道路通行能力影响的定量评价模型；构建多目标优化模型，即构建基于用户平衡(UE)模型的交通流量动态调整和均衡分布模型；根据不同时段不同类型小区给出道路通行能力综合评价指数；最后构建0-1规划模型给出小区开放对周边道路通行能力的建议。该队伍所用方法涉及信息论原理、定性与定量分析相结合、数学建模中的多目标规划模型、0-1整数规划模型等，给出优化小区周边交通的方案。有的队伍运用相关系数矩阵、特征向量、主成分综合评价函数模型、车辆分流模型等对不同类型(居住型、办公型、商业型)小区开放分流提出优化方案。这体现了数学模型创立的灵活性以及数学模型应用的灵活性，需要靠学生的创新思维使问题得到更完美的解决。

(三)数学软件等现代计算技术的掌握与创新应用

数学软件等现代计算技术的掌握与创新应用，即求解数学模型的算法设计等方面的创新。[9]数学建模不但要求学生把所掌握的数学工具创造性地应用于具体的实际问题，而且由于实际问题对应的模型复杂(包含的变量、因素和约束条件多)，需要学生熟悉各种数学软件，熟练地把现代计算机技术应用于模型的求解，以便顺利、高效地解决实际问题。[10]

根据历史数据统计分析表明，随着数学建模竞赛的发展，竞赛题目对参赛者创造性解决问题的要求越来越高，经常出现模型建立后无法求解的问题，因此高水平的Matlab编程和熟悉常用方法对参加数学建模竞赛相当有帮助。[11]Matlab是一个集数值计算、符号计算、图形处理和程序设计等强大功能于一体，且已发展成为在一个多学科、多平台工作的科学和工程计算软件。[12]除了Matlab软件常用于数学模型的求解，其他软件如Lingo、Python、Visual C++、SPSS、EXCEL、R软件近年来也广泛运用于数学建模实际问题的解决中。

数学软件等现代计算技术除应用于求解模型，还可用于模型的检验及结果的检验等工作。借助软件的应用，学生既可以实现各种经典算法，又能够站在计算机的角度思考问题，有利于借助计算机解决新问题。[13]

(四)把创新实践过程和结果转化为论文的创新设计

数学建模竞赛的最终展现形式是论文，要求每个队完成一篇用数学建模方法解决实际问题的科技论文。竞赛过程数学模型建立了，如何用最佳的方式把分析问题、解决问题的过程与结果展现给决策者，使决策者对决策根据和决策方案一目了然，这就需要数学建模者在论文写作上开展创新设计，既要符合竞赛论文的规范要求，又要保证可视性。在保证论文含有足够信息量基础上，通过文字、数表、图像优化结合使表达简炼、直观。

数学建模竞赛论文写作，既能锻炼参赛者的知识表达能力——对用数学的理论和方法推演和计算得到的结果，用大众化的语言表达出来[14]，并把自己的实践过程和结果叙述成文字和图表的写作能力，又能锻炼参赛者论文展现效果的创新设计能力。

(五)团队合作提升创新成效

一个人的思维总是有限的。因此，团队合作更容易激发创新思维，从而更有效地解决问题。数学建模竞赛3人一队，竞赛过程同一队的队员们充分讨论甚至争论，在充分沟通中创新的思想火花相互碰撞，创新思路逐渐明晰、完善，使问题能够得到较完美解决。

这在提升团队合作精神的同时提高了队员们的沟通交流能力。因而，数学建模竞赛的团队合作模式是培养团队合作精神的一种很好方法，赋予了队员们特别的创新动力和源泉，提升了团队创新成效。

三、国内外数学建模竞赛的特点与趋势

(一)具有多学科交叉的特点

数学建模活动可以看作以数学学科知识以外的其他学科知识内容作为数学模型应用背景的活动，也可以看作含数学学科在内的多学科交叉的学术活动与实践活动，后者在国际大学生数学建模竞赛活动的赛题结构与题型中体现得尤为明显。

1985年开启的美国大学生数学建模竞赛(Mathematical Contest in Modeling，简称MCM，也称国际大学生数学建模竞赛)自2000年开始增加交叉学科建模竞赛(Interdisciplinary Contest in Modeling，简称ICM)，MCM与ICM两项赛事同时进行，其中MCM每年出2道题，即A、B题，ICM每年出1道赛题，即C题。参赛小组从A、B、C中任选一题解答。2016年，赛题增加到6道，A、B、C为MCM赛题(具体题型为A连续型，B离散型，C大数据)，D、E、F为ICM赛题(具体题型为D运筹学/网络科学，E环境科学，F政策)，参赛小组从6道题中任选1题解答。可见，国际大学生数学建模竞赛与交叉学科建模竞赛已不分彼此。MCM赛题以其他学科知识内容为应用背景，ICM赛题则以数学模型为核心，两种类型竞赛采用统一标准进行。

国际大学生数学建模竞赛已经使数学学科与其他各学科深度融合，参赛的大学生必须掌握包含数学学科在内的多学科前沿知识才能顺利解决问题，这必将使他们在掌握多学科基础知识、前沿知识的基础上不断提升自身的创新能力。全国大学生数学建模竞赛同样具有多学科交叉的特点，只是赛题并没有分成MCM和ICM两种类型，近年来本科组3道题也分别来自没有固定范围的各领域。

(二)具有前瞻性和开放性的特点

国际大学生数学建模竞赛MCM赛题与ICM赛题均具有前瞻性的特点。赛题内容涉及经济、管理、环境、资源、生态、医学、安全等众多领域，且需要解决的问题均是这些领域的前瞻性问题，从历年国际竞赛题目可见一斑。如全球变暖问题、可再生资源问题、水资源短缺问题、机场安检问题、新能源汽车问题、疾病防治问题等，这些前瞻性问题通过数学建模竞赛的形式来解决，并且得到优化方案，进一步体现了数学建模的价值和意义。这些前瞻性问题的解决着重强调研究和解决方案的原创性，是对大学生创新性思维和创造力的检验。

国际大学生数学建模竞赛具有开放性特点，体现在竞赛解题过程、解题工具与解题结果等方面。首先，竞赛赛题来自不受限制的任何领域的实际问题若干个，由工业界和政府中的在职数学家以及ICM的科学家选择现实的开放式问题。其次，竞赛3人一组，团队成员可以充分交流，在4天内合作完成模型建立、模型求解、模型验证到论文撰写等全部工作。再次，竞赛过程可以利用任何图书资料、互联网上的资料，解题工具可以利用任何类型的计算机和软件等。最后，竞赛结果没有固定的答案，只要求结果的合理性，同一问题可以有不同的解决方案和结果。这些开放性的特点为充分发挥参赛学生的创造性提供了广阔的空间。

国内各层次大学生数学建模竞赛同样具有开放性的特点，但相对国际数学建模竞赛，赛题前瞻性稍弱些，竞赛问题更具体一些，多数来源于各行业各领域具体的优化设计、优化控制与优化决策类型的问题。

(三)具有多方参与组织的特点

国际大学生数学建模竞赛由COMAP(the Consortium for Mathematics and Its Application，美国数学及其应用联合会)主办，得到了SIAM、NSA、INFORMS等多个组织的赞助。除了设置基本奖项Outstanding Winner(特等奖)、Finalist(特等奖提名)、Meritorious Winner(优异奖，即一等奖)、Honorable Mention(荣誉奖，即二等奖)、Successful Participant(成功参与奖)，还设置了冠名奖项，由相应颁发机构在特等奖(Outstanding Winner)论文中评选出。冠名奖项有INFORMS Award(颁发机构为The Institute for Operations Research and the Management Sciences，简称INFORMS，即国际运筹学与管理科学学会)、SIAM Award(颁发机构为The Society for Industrial and Applied Mathematics，简称SIAM，即美国工业与应用数学学会)、MAA Award(颁发机构为The Mathematical Association of America，简称MAA，即美国数学学会)、ASA Award(颁发机构为The American Statistical Association，简称ASA，即美国统计学会)、Ben Fusaro Award及Frank Giordano Award(颁发机构为COMAP公司)。

全国大学生数学建模竞赛由中国工业与应用数学学会(CSIAM)主办，陆续得到了高等教育出版社、北京迈斯沃克软件有限公司、中国知网等单位的赞助和支持，设有高教社杯、MATLAB创新奖、知网研学奖、一等奖、二等奖。相比国内数学建模竞赛，国际数学建模竞赛参与组织的机构更加体现了社会对数学建模在多学科交叉与应用方面的肯定与支持。

四、数学建模在优化创新人才培养模式上的实施策略

为更好地发挥数学建模在应用型本科高校创新人才培养中的作用，在数学建模课程与活动实施和推广中，需要进一步增强其在各学科专业中的融合与应用，提升数学建模竞赛品牌作用，优化应用型本科高校创新人才培养路径。

(一)把数学建模思想与方法融入各学科专业课程中

其一，在数学类公共基础课程中融入数学建模思想。各类应用型本科高校多数专业开设数学类公共基础课，如高等数学、线性代数、概率论与数理统计等。这些课程知识点本身就包含数学模型，如各类函数表达式、线性方程组、概率分布式等。但目前多数课程课堂教学中，教师很少把知识点“融入”或“提炼”为“数学模型”，学生并不明确这些式子就是实际应用中众多数学模型中的一部分，很难把数学理论知识与数学模型联系起来。因此，教师要让“数学模型”的字眼较频繁地出现在数学类公共基础课的授课过程中，在课程教学过程中突出数学思想的来龙去脉，揭示数学概念与公式的实际来源及应用，即说明所讲授知识点应用背景、如何利用对应的数学模型解决各行业实际问题。如此即能解释清楚数学模型与数学理论知识点之间的关系，明确数学建模如何架起数学与实际应用的桥梁。数学建模在数学类公共基础课程中的融入，使众多学生拥有了“数学建模”意识与思想基础，也为数学模型的广泛应用打下方法基础。

其二，在数学类公共基础课程内容中增加软件学习与操作内容。为用好数学模型这一工具，数学类公共基础课除了在理论内容中融入数学建模思想，还需增加数学软件实践操作。这是因为在实际问题解决中，对应的数学模型一般比较复杂，即模型规模大——决策变量多、约束条件多，目标函数也较复杂。模型计算远远超出手算可执行范围，即使可行也需要耗费很多时间与精力。借助Matlab等软件求解数学模型，高效且准确，增强了模型的可应用性，拓宽了模型应用的范围。对应用型本科高校而言，应用能力的培养是核心。在学生基本掌握了数学理论计算方法后，需要培养学生应用数学软件快速精确求解问题的能力。有了数学软件知识与操作经验，解决实际问题不再桎梏于繁琐计算中，能够极大提升学生的热情，推动学生利用数学建模创新性地解决问题。

其三，在各学科专业课程体系中增设数学建模课程并创新课程考核方式。数学建模思想与方法在数学类公共基础课程中的融入仅仅是为后续数学建模的应用打好了些许基础，毕竟数学类公共基础课中接触到的模型规模都比较小。学生要想用好数学模型，还需要比较系统地掌握数学建模的思想与方法。因此，应用型本科高校可在各学科专业人才培养方案中增设《数学建模》课程。第一，在全校范围内开设《数学建模》公共选修课，让有兴趣进一步应用数学模型的学生都能够选得上课，或者要求部分对数学建模方法需求比较多的专业实现数学建模公选课全覆盖。第二，对需要用数学建模进行优化设计、优化控制、优化决策的学科专业，如工程设计、工程管理、信息管理与信息系统、金融工程、经济统计学、投资学、工商管理、物流管理等，应开设《数学建模》专业课，或者开设与数学建模课程内容相近的《运筹学》课程，突出数学建模思想方法及其应用，让数学建模与各学科专业知识更紧密地结合，创新性地解决这些学科专业及对应的各行业中的复杂问题。第三，在应用数学专业，开设《数学建模》专业理论课、《数学软件与数学实验》课程、《数学建模》专业实训课，对数学模型的求解方法进行深入与提升，加强数学建模案例讲解和实战训练。第四，为了使数学建模知识的学习达到学以致用的目的，不管是《数学建模》公共选修课、专业理论课，还是专业实训课，考试不再以考概念、计算、简单建模的形式进行，而需要改革以解决实际问题的形式进行。如，可以采用专题报告、大作业或论文形式，可以采用各层次数学建模竞赛题作为考题，也可以从企业获取需要通过数学建模解决的问题为考题，让学生完成从模型建立、求解、检验到撰写论文的全过程，较系统地检验学生创新模型与模型创新应用的能力和水平。

(二)把数学建模竞赛作为创新人才培养的品牌项目

数学建模竞赛等活动的开展，创新了解决实际问题的思路、办法，培养造就了具有理性、宽广思维能力的创新人才。高等学校普遍把数学建模竞赛作为展示创新人才培养的品牌项目。[15]实践证明，数学建模竞赛在应用型本科高校创新人才培养中已经发挥了重要作用。应用型本科高校更需要把数学建模竞赛作为展示创新人才培养的品牌项目，持续做大做强竞赛项目，并争取得到学校和社会更广泛更大力度的支持，使竞赛成果惠及更大范围的学生并回报社会。

一方面，学校可以组织学生参加多层次的数学建模竞赛，如全国大学生数学建模竞赛、国际大学生数学建模竞赛、华东杯数学建模竞赛、数学中国数学建模网络挑战赛。通过参加多层次赛事，学生得到持续锻炼并不断提升创新思维。在组织力量允许条件下，学校可扩大学生参赛面，部分专业可实现参赛全覆盖，还可把参赛成绩作为该专业数学建模课程的期末考核成绩。学校可引导学生建立起数学建模竞赛与毕业论文之间的联系，如若当年赛题内容与参赛者专业知识相关度较高，赛后队员可对竞赛过程进行总结，并开展延伸研究，以此成果作为毕业论文内容。再如，引导学生把数学建模竞赛过程中从选题、查阅文献、建立模型、处理数据、应用软件直至撰写成稿等步骤的技巧完全应用于毕业论文的撰写。此类引导和举措能够使学生对数学模型和应用有更深入的探究与应用，也是把数学建模与专业知识完美结合的最佳途径之一。

另一方面，学校与企业合作开展校级层面的数学建模竞赛，不仅能够得到企业赞助支持，鼓励更多学生参与竞赛，而且可以以企业要解决的问题为竞赛赛题，为企业制定优化决策方案。学校还可以鼓励学生利用数学建模的思想和相关理论知识，积极申报大学生创新创业项目，培育一批具有创新思维和创业意识的青年创新创业人才。当这些措施得以实施时，由于学生的参赛数量和质量得到提升，数学建模竞赛的影响力则越来越大，数学建模竞赛对学生数学素质的提升及对学生创新能力培养的作用与效果就突显出来，数学建模竞赛作为创新人才培养品牌项目的品牌效应就产生了。