浅谈高中数学中的数形结合思想

郭州雄

【摘要】数形结合思想是数学中的重要思想，特别是自从笛卡尔发明了直角坐标系，把平面上的点和有序实数对对应起来以后，数形结合思想才有了崭新的面貌.在笛卡尔和费马创立解析几何的过程中，数形结合的思想体现得淋漓尽致.数形结合思想也是高中数学中学生必须要熟练掌握的一种数学思维，本文浅谈数形结合思想在高中数学中的一些应用，包括在解析几何、函数、概率论、集合论中的应用等.

【关键词】数形结合；函数；解析几何

数和形是数学中的两个基本对象，一直以来在数学中没有很好地把这两者联系起来.自从法国数学家笛卡尔发明了直角坐标系，才真正地把数和形联系起来了[1].通过笛卡尔直角坐标系，空间中的点和有序实数对做到了一一对应.于是可以用一个代数方程来表示一个图形，反过来也可以用一个图形来表示一个代数方程.具体地说，如果图形上的点和方程的解集能够通过笛卡尔直角坐标系建立一个一一对应，我们就说方程是图形的方程，图形是方程的图形，有了这种数与形的对应关系，我们就可以运用代数的方法来研究几何图形，反过来也可以用几何图形来解决代数问题.数与形结合的思想在高中阶段主要有以下运用.

1 数形结合思想在解析几何部分的应用

解析几何包括平面和空间两个部分.所谓平面解析几何，就是通过平面直角坐标系，使点和有序实数对间有一个自然的一一对应关系[2]，进而使得平面曲线和二元方程的解构成的集合之间有一个自然的一一对应关系.所谓空间解析几何，就是通过建立空间笛卡尔直角坐标系，使得点与有序实数三元组之间有一个自然的一一对应关系，进而使得空间曲线和三元方程的解构成的集合之间有一个自然的一一对应关系.这样就可以利用代数的方法研究相关的几何问题，反之也可以利用几何的方法研究相应的代数问题.

自17世纪开始，由于航海、生产的发展，大大促进了解析几何学的创立，并把解析几何中的方法广泛运用于数学的各个领域.在解析几何创立之前，几何和代数是两个彼此独立的互不相干的数学分支.而解析几何的创立第一次在真正意义上实现了几何和代数的融合，使得形与数真正的统一了起来，这绝对算得上是数学发展史上的一个重要的里程碑.

解析几何的诞生对变量数学的发展有巨大的促进作用，对微积分的建立有着重要的作用[3].解析几何是数形结合思想应用的典范，自从笛卡尔和费马创立解析几何以来，在解析几何部分总是能看见数形结合的影子，当人们在计算上遇到困难时，就可以用图形来直观化，对图形一些细微的地方难以把握时，就可以通过代数计算来使其精确化.具体地讲，在二维平面上，就是通过笛卡尔坐标系，把平面上的点与有序数对作一个一一对应，即平面上点的集合和有序实数对构成的集合具有相同的基数.现在如果有一个平面图形和一个二元代数方程，如果图象上的点的坐标构成的集合和二元代数方程的解构成的集合有一个一一对应关系，也就是说图象上的点的坐标构成的集合和二元代数方程的解构成的集合有相同的基数，我们就说图形是方程的图形，方程是图形的方程.图形之间的关系也对应着代数关系，例如两条直线垂直对应着斜率是负倒数关系，或者一条直线斜率为零、一条直线斜率不存在；两条直线平行对应着斜率相等（如果斜率存在的话）或者斜率都不存在.

当然除了笛卡尔坐标系，还有极坐标系、球面坐标系、柱面坐标系等等，它们用起来各有优缺点，同样一个几何图形在不同的坐标框架下有着不同的代数方程，代数方程的复杂程度也大不相同.例如，在极坐标系里，圆心在原点的圆的极坐标方程就非常简单，但是在笛卡尔直角坐标系中就稍微复杂一些.这就需要我们具体情况具体分析，遇到具体的问题时，我们可以选择最适合的坐标系，这些不同的坐标系都是联系数与形的一些框架.通过数与形的对应关系，我们就可以利用代数方法来研究几何图形，利用几何图形来使代数问题直观化.

2 数形结合思想在函数中的应用

函数的概念是高中数学中一个非常重要的概念，它的定义如下：设有非空集合H和F，若有一对应使集合H中任一元素在另一个集合F中有唯一的确定的元素和它相对应，则这样一个对应就称为函数.当然可用几何的方法来重新对函数定义，即函数图象就是这样的图形：如果用任何一条与纵轴平行的直线去截，至多只有一个交点的图形.函数图象与函数解析表达式就是数与形的一种对应关系，函数图象在函数的研究中起着至关重要的作用，利用函数图象可以使问题直观化，使人的思路更加清晰，还可以对人的解题思路有一定的启发，进而找到解决问题的突破点.例如曲线的切线这个几何直观就是微分学的来源之一，实际上函数在某一个点的切线的斜率正好就是函数在这个点处的导数值，莱布尼茨当时就是从曲线的切线出发来研究微分的，而函数曲线的切线斜率就给了函数导数值一个明确的几何意义.

通过函数图象可以直观地看到函数的增减性、定义域、值域等等.函数图象和函数的一些性质都有对应关系，比如函数的定义域就对应于函数图象在横轴的投影；函数值域就对应于函数图象在纵轴的投影；增函数就对应一条上升（从左往右看）的曲线，减函数就对应一条下降（从左往右看）的曲线；奇函数是对应一个关于原点对应的图象，偶函数是对应一个关于纵轴对应的图象；如果一个函数的一阶导数大于零，那么函数图象就是上升的，如果一个函数的一阶导数小于零，那么函数图象就是下降的.

在解不等式的时候也可以运用几何方法，例如要解一个一元二次不等式x2+2x－3>0，转化成图形问题就是只需要找出横轴上方图形上点的横坐标即可，或者说对上方图形在横轴上做个投影，那个阴影部分就是不等式的解集.如果一个不等式两边都对应着一个函数，不妨设左边的函数大于右边的函数，那解这个不等式的时候我们可以这样做：在同一个平面直角坐标系中分别画出左边的图象和右边的图象，然后观察图象找出左边图象比右边图象高的那一部分图象，则比较高的那部分图象上点的横坐标的集合就是这个不等式解的解集合.如果要解一个含有绝对值的不等式，我们就可以把两个实数差的绝对值当成数轴上两个数之间的距离，一个实数的绝对值就是这个实数到原点的距离，然后把不等式问题转换成一个图形问题再加以解决.所以学生在学习函數这部分内容的时候，只要心中时时刻刻想着图象，那学习函数这部分内容的时候就一定会收到良好的效果，而这正是数形结合思想的魅力.

3 数形结合思想在概率与统计中的应用

在现实世界中，所有的现象可以分为两类，一类现象是事先知道发生的结果，例如太阳肯定从西方落下，我们把这类现象叫做确定性事件.这个世界上还有一类事件，它发生的结果并不确定，比如掷一枚硬币，出现正面或反面是不确定的，我们把这类现象叫做随机现象.而概率论就是研究这些随机现象的，它是数学中的一个重要分支，它起源于生活中的一些随机现象，如掷骰子，掷硬币等等，而概率论的目标之一是要对随机现象出现的可能性的大小给出一个恰当的度量，也就是说要给这些随机现象给出一个介于0和1之间的概率值.

下面就分两部分来讨论一下数形结合思想在概率论中的应用.一个应用就是几何概型问题，分为一维直线上的几何概型问题、二维平面上的几何概型问题、三维空间上的几何概型问题.例如在闭区间0到10上随机抓取一个点，抓到的点正好位于闭区间0到1之间的概率就是十分之一；对二维平面举一个例子，假设平面上有一个边长为1的正方形，里面内切一个圆，现在从这个正方形里面抓取一个点，这个点正好位于圆内的概率就是圆面积与正方形面积的比值；对于三维空间的情形，我们假设有一个棱长为1的正方体，里面有一个内切球，现在从这个立方体中随机抓取一个点，这个点正好位于球内的概率就是球体的体积与立方体的体积之比.于是就把求概率的问题转化成了求长度、面积、体积的比值，而现实世界中许许多多表面上看起来与长度、面积、体积无关的随机现象，经过转化都可以化成上述三种类型之一.

數形结合思想在概率论中的另一个应用是与密度函数有关的.随机变量就是样本点到实数集合的一个对应，正是因为有了随机变量概念的提出，这样才把随机现象与分析联系了起来，我们就可以运用数学分析里面的一些方法来研究概率论.这里以连续型随机变量为例来讨论一下数形结合思想的应用.对于概率空间上的连续型随机变量而言，密度函数就决定了其分布，随机变量在某一个区间上的取值概率等于这个区间对应的曲边梯形的面积，也就是说，要求随机变量在某个区间上取值的概率，就相当于在这个区间上求积分，这样就把求概率这个问题转化为一个求定积分的问题，在高中阶段最常见的例子就是正态分布.

4 数形结合思想在集合中的应用

集合是高中数学的第一个基本概念，自从康托尔创立集合论以来，集合思想慢慢渗透到数学的各个分支，对稳固数学的基石有很重要的意义.高中阶段学习的集合知识都是一些集合论中很基本的概念.集合论是数学中的一个分支，在整个数学中占有很关键的地位，如果把数学比作是一座宏伟的高楼大厦的话，集合论就是这座大厦的地基，故学好集合知识对以后的数学学习特别重要.

所谓集合就是由一些确定的元素构成的一个整体，元素与集合之间有属于和不属于的关系，集与集之间有包含、不包含、相等的关系，集合与集合之间运算有交、并、补、差等运算.集合概念是高中数学中一个很基本的概念，要求学生很熟练地掌握，但是如果只讲抽象的集合概念，学生接受起来就比较困难，所以如果能用比较直观的图形的方法来说明就比较容易接受.通过一维数轴和韦恩图表示集合可使有关集合的问题变得直观易懂.比如，在分析集合之间的关系时，常常使用韦恩图来表示集合之间包含或不包含的关系，两个集合的关系通过韦恩图一眼就能看出来，韦恩图使得集合之间的关系非常清楚，使人一目了然，并且通过韦恩图还可以发现一些之前我们不知道的集合关系.利用一维数轴求数集之间的并集、交集、补集较为直观且容易理解.

5 结语

综上所述，数形结合思想作为一种很重要的数学思想，在解析几何、函数、概率论、集合这些数学分支中有着广泛的应用，运用数形结合的办法，能将抽象的代数问题转化为直观的几何问题，从而使问题得以简化、直观，如果教师能够把数形结合思想贯穿于具体的数学教学实践当中，把一些很抽象的数学概念用合适的几何图形恰当地表现出来，那对数学教学是很有益处的，学生也比较容易接受，这样的话学生也能够比较深刻地领悟数形结合思想，在解题过程中也会渐渐地感受到数形结合思想的魅力.

参考文献：

[1]庞景红.论数学思想在高中数学解题中的应用[J].教育现代化，2018，5（27）：368-369.

[2]韩军.数学思想方法在数学解题中的应用[J].高考，2020，368（17）：27.

[3]王立嘉.整体思想在高中数学解题中的应用[J].中学数学教学参考，2021，815（09）：37-39.