压轴变易，同构助力

何群 李青林

【摘要】在解决不等式恒成立或者能成立问题中，往往有些题目经过某种变形之后可以将不等式两边构造成相同结构的代数式，进而可以根据两边相同结构式构造相应函数模型，如f（x）≤0H（g（x））≤H（h（x）），则将不等式问题转变为同一个函数的两个函数值的比较大小问题，即为同构思想.解题时如果能够利用这种同构的特点，构造相应的函数模型，进而利用其性质解题，可以大大减小计算量.下面以一道高考导数题为例进行分析，进而以微专题的教学方式针对性解决指数函数与对数函数混合的不等式恒成立或者能成立问题，这类问题往往以压轴题的形式出现，由于题目变形较多，寻找函数模型增加困难，所以需要有敏锐的观察能力才能快速找到函数的原型，这也要求学生需对母函数熟悉，才能达到目的.

【关键词】不等式问题；解题方法；同构思想；能力提升

导数中的同构思想在解题中是常见的，同构化解题意识与技巧也是一种常见的解题思路，所以在解题过程中善于分析观察其式子结构的共性问题，尤其是解决较难的问题时，如果能够根据具体问题恰当地运用构造法，那么就会化难为易、化繁为简，使问题迎刃而解.

1高考题呈现

已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.（2020年山东卷）

解（1）略.

（2）解法1隐零点法

因为f′（x）=aex-1-1x（a>0，x>0），

f″（x）=aex-1+1x2≥0，

所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，

又当x→0时，f′（x）→-∞；

当x→+∞时，f′（x）→+∞，

所以x0∈（0，+∞），

使得f′（x0）=0，

即aex0-1=1x0，

有lna+x0-1=-lnx0，

所以f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

f（x）min=f（x0）

=aex0-1-lnx0+lna

=1x0-lnx0+lna

=2lna+1x0+x0-1.

因为f（x）≥1，

即f（x0）≥1，

所以2lna+1x0+x0-1≥1，

即2lna≥2-1x0+x0，

当且仅当x0=1时，a=1，满足题意，

所以a≥1.

分析隱零点法主要是在导数零点不可求的情况下生成的，这类问题特征明显，含参函数试题中经常碰见，处理这类问题，往往利用设而不求，整体代换的方法，当然还有很多处理技巧也很值得我们深入研究.

解法2半分离法

f′（x）=aex-1-1x，

易知f′（x）在（0，+∞）上单调递增，

因为y=aex-1与y=1x在（0，+∞）上有交点，

所以x0∈（0，+∞），

使得f′（x0）=0，

易知f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

即f（x）≥f（x0）

=1x0-lnx0+1-x0-lnx0

=1x0-x0-2lnx0+1

≥1.

令g（x）=1x-x-2lnx，

易知g（x）在（0，+∞）单调递减，g（1）=0，

所以x0∈（0，1］，

lna=1-x0-lnx0，x0∈（0，1］，

故a≥1.

分析含参不等式恒成立或者能成立问题中，半分离、数形结合也是一种很好的方法，在部分题目中尤其是小题压轴题，这种方法更加方便，可以很好的避开分类讨论.

解法3切线放缩法

aex-1+lna-lnx≥1（x>0，a>0），

所以aex-1≥lnx+1-lna，

因为ex-1≥x，当且仅当x=1时等号成立，

所以aex-1≥ax，lnx+1≤x，

当且仅当x=1时等号成立，

只需证ax≥x-lna，

即a（x-1）≥-lna.

当0<a<1时，a（x-1）<0<-lna（舍去）；

当a≥1时，显然成立，

所以a≥1.

分析纵观历年全国高考数学卷，在导数综合问题中经常考查切线放缩法，这类问题常常将指数函数与对数函数混合考查，如果利用切线放缩法达到“以曲代直”的功效，可以使题目难度大大减低，但是哪些题目利用放缩、利用哪个函数放缩、如何放缩有效？这就需要对题目能够分析到位，明确放缩的目的和方向，才能正确利用好此方法，因此在复习教学中，教师有必要引导学生作此方面工作.

解法4必要性探路——直接法

f（x）≥1，

即aex-1-lnx+lna≥1.

当x=1时，f（1）=a+lna≥1，

即a≥1.

下面证明a≥1时，f（x）≥1成立，

f（x）≥ex-1-lnx≥x-lnx≥1，

所以a≥1.

解法5必要性探路——间接法

f′（x）=aex-1-1x在（0，+∞）上单调递增.

若0<a<1，f′（1）=a-1<0，f′1a>0，

则x0∈1，1a，使得f′（x0）=0，

所以f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

故f（x0）<f（1）<a+lna<a<1（舍去）.

若a≥1，则

f（x）≥ex-1-lnx≥x-lnx≥1，

所以a≥1.

分析在导数恒成立的问题中，有些题目可以根据取定义域内的某个特殊值（一般情况下是第一问所利用到的特殊值）先得到一个结果，此结果是一个必要性条件，这样求出的结果不一定是所求的参数范围，但是以此为前提缩小参数的取值范围，很大程度上可以减少工作量，教师在教学中也应对此类问题进行归纳总结，使得学生有一个系统性的认知.

解法6同构法

aex-1-lnx+lna≥1，

即ex-1+lna≥lnx-lna+1，

ex-1+lna+x-1+lna≥lnx-lna+1+x-1+lna，

即ex-1+lna+x-1+lna≥lnx+x=lnx+elnx，

构造函数g（x）=ex+x，

即g（x-1+lna）≥g（lnx），

由g（x）在R上单调递增可知

x-1+lna≥lnx，

即lna≥lnx-x+1，

故a≥1.

分析在解决不等式恒成立或者能成立问题中，有些题目可通过变形将不等式两边构造成相同结构的代数式，进而可以根据两边相同结构式构造相应函数模型，如f（x）≤0H（g（x））≤H（h（x）），则将不等式问题转变为同一个函数的两个函数值的比较大小问题，即为同构思想.解题时如果能够利用这种同构的特点，构造相应的函数模型，进而利用其性质解题，可以大大减小计算量.

此题解法很多，可以借助导数研究，找出f（x）min≥1，利用零点的条件，求出参数范围；也可以对不等式作变形处理，利用半分离的思想，数形结合法；当然也可以进行必要性探路，先找出参数取值范围，再加以证明；还可以利用切线放缩法；也可以借助我们的同构法解决.几种方法对比很容易发现同构法简单，思路清晰，解题过程简单，如果能够将此方法掌握，那么在解决这类问题时，可以很巧妙的化难为易、化繁为简，所以在导数压轴题中加以利用，可以有效降低难度.

下面以同构法处理指对混合函数微专题教学方式展开分析.

2同构技巧

（1）常见变形

我们以最常见的ex，x，lnx这三个函数的组合为例进行分析：

xex=ex+lnx，exx=ex-lnx，xex=elnx-x，

xlnx=lnxelnx，lnxx=lnxe-lnx，xlnx=elnxlnx.

（2）常见同构模型

①乘积类型

x1ex1≤x2lnx2，

即x1ex1≤elnx2lnx2，构造h（x）=xex；

ex1ln（ex1）≤x2lnx2，构造h（x）=xlnx；lnx1+x1≤lnx2+ln（lnx2），构造h（x）=lnx+x.

②商式类型

ex1x1≤x2lnx2，

即ex1x1≤elnx2lnx2，构造h（x）=exx；

ex1ln（ex1）≤x2lnx2，构造h（x）=xlnx；x1-lnx1≤lnx2-ln（lnx2），构造h（x）=x-lnx.

除以上常见同构模型以外，通常是构造xex，xex，exx，xlnx，xlnx，lnxx这六个母函数，当然ex±x，lnx±x也比较常见.

如果在做题目过程中能够对目标不等式做适当变形得到这六个母函数类型，再借助六个母函数的单调性或最值，求解不等式就会简单很多，但什么时候选择同构法、怎么用、怎么能够看出来、如何选择母函数进行构造，成为解题关键，下面通过典型例题分析，总结出指对同构的一些思想和用法以及注意事项.

这里面主要包含两类：一类是指对数完全符合构造的外层函数（母函数），一类是在此基础上含有多余的参变量，利用指对数切线放缩.

3举例分析

3.1函数f（x）=xex的应用

例1设λ>0，若对x∈（0，+∞），eλx-lnxλ≥0恒成立，求λ的取值范围.

解因为eλx≥lnxλ（λ>0，x>0），

所以λeλx≥lnx，

即λxeλx≥xlnx=lnxelnx.

令f（x）=xex，

即上述不等式等价于f（λx）≥f（lnx），

由上述函數图象易知

当x∈（0，1］时，不等式显然成立；

当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增，

所以λx≥lnx，即λ≥lnxx，

又lnxx的最大值为1e，

所以λ≥1e.

分析此题如果利用函数最小值大于等于0来解决，就会面临隐零点问题，计算过程复杂很多，但是构造母函数f（x）=xex，计算量明显降低，轻松化解多个地方含参、参数不易分离，既含指数又含对数类型的压轴题，总结起来只需：指对分离，参数集中；紧扣内层，无中生有；配凑同构，寻母定调；子己初成，弃重前行；奇思妙解，步步为营.

例2x∈（0，+∞），2ae2x-lnx+lna≥0恒成立，则a的最小值是（）

（A）2e.（B）12e.（C）2e.（D）12e.

解2ae2x≥lnx-lna=lnxa，

因为a>0，x>0，

所以2xe2x≥xalnxa=lnxa·elnxa，

即构造函数f（x）=xex，

上述不等式等价于f（2x）≥f（lnxa）.

当lnxa≤0时，不等式显然成立；

当lnxa>0时，

由f（x）=xex在（0，+∞）上单调递增，可知

2x≥lnxa.

令xa=t（t>1），即x=at，

不等式等价于2at≥lnt，

即2a≥lntt，

由函数f（x）=lnxx，易知

lntt的最大值为1e，

所以2a≥1e，

即a≥12e，

故选（D）.

3.2函数f（x）=x+ex的应用

例3已知函数f（x）=aex+lnax+2-2（a>0），若f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围.

解法1aex>lne2（x+2）a，

因为a>0，x+2>0，

所以ex>1alne2（x+2）a，

等价于e2（x+2）ex>e2（x+2）alne2（x+2）a，

即（x+2）ex+2>e2（x+2）alne2（x+2）a

=lne2（x+2）aelne2（x+2）a，

构造函数g（x）=xex，

即g（x+2）>g（lne2（x+2）a），

由函数单调性易知x+2>lne2（x+2）a，

即x+2>ln（x+2）+2-lna，

lna>ln（x+2）-x，

易知ln（x+2）-x≤x+2-1-x=1，

即a>e.

解法2因为a>0，x>-2，

所以aex+lna-ln（x+2）-2>0，

elna+x>ln（x+2）+2-lna，

即elna+x+x+lna

>ln（x+2）+2-lna+x+lna

=ln（x+2）+（x+2），

所以elna+x+x+lna>ln（x+2）+eln（x+2），

即构造g（x）=ex+x，

易知g（x）在R上单调递增，

所以g（x+lna）>g（ln（x+2）），

即x+lna>ln（x+2），

lna>ln（x+2）-x，

解得a>e.

分析此题同时含有指数对数形式的不等式恒成立问题，可以借助同构思想将不等式左右两端化为结构一致的式子，再构造函数，通过此题的两种解法可知，解法1中在构造母函数时，先以构造f（x）=xlnx为母函数，再以f（x）=xex为母函数解题，解法2中以f（x）=x+ex为母函数，但是两个母函数的选择也会直接影响计算量，所以在做题目时要恰当选择.

3.3函数f（x）=xlnx的应用

例4已知x0是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则关于x0的判断正确的是（）

（A）x0≥ln2.（B）x0≤1e.

（C）2x0+lnx0=0.（D）2ex0+lnx0=0.

解因为2x2e2x=-lnx，x>0，

所以2xe2x=-1xlnx=1xln1x=ln1xeln1x，

构造函数h（x）=xex，h（2x）=h（ln1x），則

当ln1x≤0时，不成立，

所以ln1x>0，

即2x=ln1x，x0为方程的实根，

所以2x0=ln1x0，

即2x0+lnx0=0，

故选（C）.

分析此题在构造母函数时，先以构造f（x）=xlnx为母函数，再以f（x）=xex为母函数解题，两个函数模型均用上，满足六个函数之间的转化关系.

3.4利用同构变形求函数最值

例5求函数f（x）=2ex-x的最小值.

解f（x）=ex+ln2-x

≥x+ln2+1-x

=ln2+1.

例6已知关于x的不等式exx3-x-alnx≥1对于x∈（1，+∞）恒成立，则a的取值范围是（）

（A）（-∞，1-e］.（B）（-∞，-3］.

（C）（-∞，-2］.（D）（-∞，2-e2］.

解原不等式等价于

exelnx3≥x+alnx+1，

即ex-3lnx≥x+alnx+1，

易知ex-3lnx≥x-3lnx+1≥x+alnx+1，

即a≤-3，

故选（B）.

虽然很多题目都有很多种解法，尤其是导数题，千变万化，一题多解，但是在多个地方含参，参变不易分离，既含指数又含对数的方程或者不等式的恒成立或能成立的问题中，压轴变易，同构助力，不仅可以秒杀压轴题小题，也可以达到简化导数大题的作用.但始终要注意母函数的定义域、单调性、最值问题，在处理过程中，主要过程是指对分离，配凑母函数，借助母函数单调性简化不等式，求解参数取值范围.同构思想不仅可以用在这些地方，在求函数最值、不等式、零点、证明不等式等多个方面涉及，主要包括作差同构、化简整理之后同构、同构比大小、指对同构等多方面，还值得我们深入研究.