六法求“二面角”

袁明 张欣蕾

【摘要】“求二面角”问题是高中数学的热点问题.根据所求两面是否有公共棱可将二面角问题分为两类：有棱二面角问题及无棱二面角问题.对于前者，通常采用找点、连线或平移等方法来定位出二面角的平面角；而对于后者，则一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使棱出现，从而进一步定位二面角的平面角.

纵观近几年的高考试题和模拟试题，二面角问题在立体几何部分的考察热度有所提升.而学生对该问题掌握程度欠佳，教材及辅导资料等对其方法总结又较为粗略.有鉴于此，本文对二面角问题进行了系统的梳理归纳，将该问题的解决方法概括为六法，即定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法、坐标法以及向量法，以期能够通过上述方法实现学生对于二面角问题的认知升级并培养其数学学科核心素养.

【关键词】二面角；六法；核心素养

二面角问题在高中教学中的重要性不言而喻，而學生对此类问题理解得却不够透彻，导致失分率较高.具体表现为：学生对二面角概念的理解停留在表面上，容易遗忘；在法向量的求解上，计算能力不够，从而造成计算上的失误；掌握解决二面角问题的方法远远不够.为此，本文试图探索解决二面角问题的六种方法，并引以实例作为佐证，在试图帮助学生突破这一重点问题的同时也为今后空间立体几何的教学提供一定的方向与支撑.

1定义法

利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.

例1如图1，在三棱锥V＼|ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝3，求二面角V＼|AB＼|C的大小.

解取AB的中点D，连接VD，CD，如图2.

在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，

所以△VAB为等边三角形，

所以VD⊥AB，且VD＝3，

同理CD⊥AB，CD＝3，

所以∠VDC为二面角V＼|AB＼|C的平面角，

而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，

所以二面角V＼|AB＼|C的大小为60°.

图1图2

2三垂线法

如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线.连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.

图3

例2如图3，在三棱锥S＼|ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.

（1）证明：平面SBC⊥平面SAB；

（2）求二面角A＼|SC＼|B的平面角的正弦值.

解（1）因为∠SAB＝∠SAC＝90°，

所以SA⊥AB，SA⊥AC，

又AB∩AC＝A，AB，AC平面ABC，

所以SA⊥平面ABC，

又BC平面ABC，

所以SA⊥BC.

又AB⊥BC，SA∩AB＝A，

SA，AB平面SAB，

所以BC⊥平面SAB.

又BC平面SBC，

所以平面SBC⊥平面SAB.

（2）取SB的中点D，连接AD，

则AD⊥SB，如图4.

由（1）知平面SBC⊥平面SAB，

平面SBC∩平面SAB＝SB，

AD平面SAB，

所以AD⊥平面SBC.

作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，

则DE⊥SC，

图4

∠AED为二面角A＼|SC＼|B的平面角.

设SA＝AB＝2，则

SB＝BC＝22，

AD＝2，

AC＝23，SC＝4.

由题意得AE＝3，

在Rt△ADE中，

sin∠AED＝ADAE＝23＝63，

所以二面角A＼|SC＼|B的平面角的正弦值为63.

3垂面法

二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角.

图5

例3如图5，在三棱锥S＼|ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E＼|BD＼|C的大小.

解因为SB＝BC，且E是SC的中点，

所以BE是等腰△SBC底边SC的中线，

所以SC⊥BE.

又SC⊥DE，BE∩DE＝E，

BE，DE平面BDE，

所以SC⊥平面BDE，

所以SC⊥BD.

又SA⊥平面ABC，BD平面ABC，

所以SA⊥BD，

而SC∩SA＝S，

SC，SA平面SAC，

所以BD⊥平面SAC.

因为平面SAC∩平面BDE＝DE，

平面SAC∩平面BDC＝DC，

所以BD⊥DE，BD⊥DC，

所以∠EDC是所求二面角的平面角.

因为SA⊥底面ABC，

所以SA⊥AB，SA⊥AC.

设SA＝2，则

AB＝2，BC＝SB＝22.

因为AB⊥BC，

所以AC＝23，∠ACS＝30°.

又DE⊥SC，

所以∠EDC＝60°.

即二面角E＼|BD＼|C的大小为60°.

4射影面积法

若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cosθ=S′S.

图6

例4如图6，在四棱锥P＼|ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.

解如图6，

因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，

所以PA⊥AD，

又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，

PA，AB平面PAB，

所以AD⊥平面PAB，

同理BC⊥平面PAB，

所以△PCD在平面PBA上的射影为△PAB.

设平面PBA与平面PCD所成二面角为θ，

所以cosθ=S△PABS△PCD=12a212a·2a=22，

所以θ＝45°.

故平面PBA与平面PCD所成二面角的大小为45°.

5坐标法

n1，n2分别是二面角α＼|l＼|β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

cos〈n1，n2〉=n1·n2|n1||n2|，cosθ=±cos〈n1，n2〉.

（特别说明：有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需学生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）

图7

例5如图7，已知正四棱柱ABCD＼|A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．

（1）求證：BD⊥A1C；

（2）求二面角A＼|A1C＼|D1的余弦值.

解（1）因为四棱柱ABCD＼|A1B1C1D1是正四棱柱，

所以AA1⊥平面ABCD，BD⊥AC.

因为BD平面ABCD，

所以AA1⊥BD.

因为AA1∩AC=A，

所以BD⊥平面A1AC.

因为A1C平面A1AC，

图8

所以BD⊥A1C.

（2）如图8，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D＼|xyz，

则A1（2，0，4），C（0，2，0），

D1（0，0，4），D（0，0，0），

B（2，2，0），C1（0，2，4），

D1A1=（2，0，0），

D1C=（0，2，-4），

DB=（2，2，0），

因为BD⊥平面A1AC，

所以 DB=（2，2，0）是平面AA1C的法向量.

设平面A1D1C的法向量n=（x1，y1，z1），

则n·D1A1=0，n·D1C=0，

即x1=0，2y1-4z1=0.

令z1=1，则y1=2，n=（0，2，1），

故cos〈DB，n〉=DB·n|DB|·|n|=45×22=105，

因为二面角A＼|A1C＼|D1是钝二面角，

所以二面角A＼|A1C＼|D1的余弦值为-105.

6向量法

利用向量之间的运算关系，求出余弦值，从而求解二面角的平面角.

例6二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，求该二面角的大小．

解由题意知

CA·AB=0，AB·BD=0，

CD＝CA＋AB＋BD，

所以|CD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋

2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD

＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA，BD〉

＝（217）2．

所以cos〈CA，BD〉=-12，

又〈CA，BD〉∈［0°，180°］，

所以〈CA，BD〉＝120°，

即〈AC，BD〉＝60°，

所以二面角的大小为60°．

在实际教学中，学生在理解二面角定义、求解平面的法向量、判断二面角钝锐等问题上仍然存在一定的障碍，数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等几大数学学科核心素养还有待进一步培养.那么通过本文介绍的求解二面角的六种方法，希望能够培养学生的空间想象力，帮助其在脑海中呈现空间几何形式，将复杂问题简单化，从而加深对二面角问题的理解，在不断的练习中实现解题能力的逐步提升并充分感受到学习“贵在得法”的魅力.