一道与向量有关的课本例题的再探究

陈方涛

【摘要】高中数学教学要求教师与学生重视对课本例题的思考，这与现行的新课改理念相吻合，在教学过程中我们往往只重视问题的解决，而忽视对问题进一步的思考，特别是对大单元教学这一理念的关注不够.

【关键词】课本例题；向量；代数；几何

1例题再现

如图1，CD是△ABC的中线，CD=12AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形.

分析由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取{CD，DA}为基底，用它表示CA，CB.证明CA·CB=0，可得CA⊥CB，从而证得△ABC是直角三角形.

证法1如图2，

设CD=a，DA=b，

则CA=a+b，DB=-b，

于是CB=a-b，

CA·CB=（a+b）·（a-b）=a2-b2.

图2

因为CD=12AB，

所以CD=DA.

因为a2=CD2，b2=DA2，

所以CA·CB=0，

即CA⊥CB.

故△ABC是直角三角形.

2解法探究

在实际教学过程中，学生很难想到选取{CD，DA}为基底，实际上若选择从同一点C出发的两个向量{CA，CB}为基底来解决这一问题，不仅学生易于理解解决此类问题的本质，更突出利用这一节课对学生核心素养的培养，具体解法如下：

证法2如图2.

设CA=a，CB=b，

则CD=12（a+b），AB=b-a.

因为CD=12AB，

所以|CD|2=14|AB|2，

即14（a+b）2=14（b-a）2，

易得a·b=0，

所以CA·CB=0，

即CA⊥CB，

故△ABC是直角三角形.

3思路總结

课本安排本例题的目的是借助向量具有数、形两重身份来解决平面几何问题，重点是基底的选择，关于基底的选择，教师教会学生按“三步曲”进行，第一步，选择从同一点出发的两个向量作基底（如证法2）；第二步，选择与基底相关向量，一般可从题中所给的条件中确定；第三步，利用向量的三角形法则或平行四边形法则用基底表示有关向量，再结合题中所给的条件，如距离、夹角等，列出向量相关等式，如例题中，由已知条件CD=12AB，转化为|CD|=12|AB|，再进行向量运算，把运算结果“翻译”成几何元素.

值得注意的是选择什么样的两个向量作基底，一方面要满足作为基底向量的基本要求，即两个向量不共线，另一方面要为后续相关向量的表示提供思考角度，如课本中证法选择了{CD，DA}为基底，虽然满足了作为基底向量的条件，但对后续有关向量的表示设置了障碍，本人认为不符合常规思维，也不便于教学.