核心素养视域下培养数学模型思想策略探微

蔡文霞

摘要：数学是研究数量关系与空间关系的科学，也就是数学模型。数学模型是经过对表象事物的抽象过程，采用数学的语言模仿所形成的数学结构，从客观上反映事物的本质数学关系。这种数学关系是实际事物的一种近似值，所得出的数量关系也能够用于同类型问题的解决，也就是所谓的“建模思想”。

关键词：小学数学；核心素养；数学模型；自主建构

数学模型是对所研究事物的一种表象概括，涵盖其数量关系与空间关系的一种结构载体。数学模型的建立，往往会舍弃对实际事物的“规定值”，从“量”方面进行描述刻画，经过数学逻辑推理，包括表象的挖掘以及抽象概括等思维过程，所建立的对应数学关系，用于处理类似或者相同类数学问题的解决。模型建立是极具创造性的过程，需要在实际问题中引导学生经历对于事物表象的感悟，在操作中完成对数学规律的摸索，再经过系统的数学推理过程，最终帮助学生完成数学模型的自主构建，实现学生学科核心素养的稳步提升。

1    提供感性材料，积累表象

对于感性材料的认知是学生在数学模型建立过程中的基础，教师在日常教学活动中要不断提供与教学内容相符合的感性材料，让学生从不同角度对事物的特征与数量关系进行感知。教师要引导学生产生思维上的认知冲突，引出个人思维的深刻度与灵活性，才能够使学生在问题解决过程中挖掘其中的内涵规律。学生在与之相关的思维活动中寻找其规律所在，进而构建较为系统实用的数学模型，从而解决相关问题。例如，在“三角形面积”的相关知识学习过程中，笔者便采用为学生提供感性材料进行表象积累的教学方式，引发学生思维认知上的冲突，从而在对实际事物的探索中挖掘其中的规律，构建数学模型。首先，笔者采用拼接法作为课堂教学的主线索，引导学生将两个相同的三角形进行拼接，组成平行四边形，从而求得面积大小。但在实际教学过程中，如果仅仅采用一对三角形作为教学模具，笔者发现，学生不能很好地领悟其中的关系，从而出现认知瓶颈。因此，笔者便在教学之前组织学生寻找各类角度不同的三角形，分别是等边三角形2个、直角三角形4个、钝角三角形2个，直角三角形分别为等腰直角三角形2个与普通直角三角形2个，进而引导学生通过拼接以上的三角形进行面积求解。在课堂中，引导学生进行实际操作，让学生使用不同的三角形进行拼接，发现：两个不相同的三角形拼接后所形成的图形不能运用所学知识有效计算面积；两个相同的三角形，将底边重合，便形成了一个平行四边形：两个相同的普通直角三角形可以拼成长方形；两个相同的等腰直角三角形可以拼为正方形。在进行深度思考的过程中，学生考虑到长方形与正方形也是特殊的平行四边形。此时，笔者便要求学生对三角形面积求解，学生敏锐地发现，只需要利用之前已经掌握的知识求出平行四边形的面积，便能够得出三角形的面积。最后，笔者适时总结归纳，便得出三角形面积公式S=底边×高÷2，从而完成了对三角形面积的探究。

对感性材料的不断积累认知有助于学生从大量感性材料中自主挖掘数学规律，在思维發生认知冲突时，学生能够从不同种类的感性材料中系统性地进行研究，并不是利用非特殊情况下偶然得到的数学规律强行得出最后结论，而是采用能多维度经得起推敲的感性材料所发现的规律为数学规律做出解释，从而得到数学模型，完成对问题的探索研究。

2    引导学生动手操作，发现规律

在探索数学实际问题的过程中，教师应积极引导学生运用动手操作的形式解决数学问题，让学生在客观事物的探索中挖掘隐性的数学规律，从而降低学生在得出概念规律时的抽象感觉。数学模型的构建往往处于对隐形规律挖掘的瞬间。因此，在引导学生进行数学建模时，应广泛采用动手操作的形式，发现规律内容，从而进行总结归纳，构建数学模型；同时还可以增加学生的实践经验，提升学生的实际动手能力。

例如，在“圆柱体的体积”的学习中，笔者便充分引导学生采用动手操作的形式完成对问题的探索。笔者在实际应用后进行了总结和分析，了解和认识到学生在解决与几何图形相关的问题时，一般采用的解决方式是“割、补、平移、旋转”，在实际解决时，将需要求解的几何图形转换成之前学习过的图形，从而运用公式进行解答。举一反三，学生在考虑圆柱体的体积该如何求解时，首先便想到了可以利用同样的解决方式进行求解。在之前的学习中，学生在回顾旧知识时想到在长方体体积求解时学习到的长方体体积为V=底面积×高，因此，学生认为，圆柱体也可以进行补割，将其拼凑成长方体。为了让学生的猜想得以验证，笔者想到可以利用泡沫制作成的圆柱体状模型，结合学生的思考方式，让学生将圆柱体利用小刀等尖锐器具进行分解，然后完成拼凑。学生在动手操作后，发现最后拼接的物体呈现出一个类似长方体的形状，经过分析后，认为圆柱体底面积就是底圆的面积，因此圆柱体的体积就应为底面积×高，即V=sh。稍后，笔者再通过多媒体技术将两个体积相同的圆柱体与长方体采用填充沙子的方式进行了展示，即将圆柱体中的沙子填充到长方体中，发现可以完全填充，从而验证了学生的猜想是正确的，随后再经过一系列系统的推敲，帮助学生进行了认知，便建立了关于求解圆柱体体积的数学模型，深度理解了公式得出的原理。

通过动手操作的教学形式帮助学生培养数学模型构建的核心素养，对于学生而言，能够在寻找知识异同的过程中发现其中隐藏的规律，再进一步的实际操作过程中，学生能够根据问题驱动中的题干内容，从思维体系中提取完整的数学体系，从而解答问题，对学生核心素养的发展具有重要意义。

3    自主抽象概括，经历过程

数学模型的构建过程本质是学生思维活动、分析与综合、抽象与概括的过程，采用创设情境的方式让学生根据生活经验进行摸索是学生在数学建模中经常运用的思维方法。也就是在生活情境中对问题进行探索，能够有效帮助学生理解情境与抽象之间的联系。因此，在教学中，教师应该善于引导学生进行自主探索，经历整个抽象过程，从而在归纳与总结中得到数学规律，进而构建数学模型，这样，学生对于数学知识的认知可以进一步提高。

例如，在数学问题“付整找零”的认知学习中，笔者便引导学生主动进行模型构建，如：妈妈本月月初和月中共收入766元，其中295元是月中兼职赚取的，试问月初时妈妈收入多少钱？学生遇到这样的问题，在寻找正确的解题方式时，一般不会出现较大的失误，都知道采用减法就能解决问题，即对应采用的算式算法不会出错，但对于766-295=471（元），在实际计算过程中，学生采用的方法则显得过于笨拙，容易出现数据上的错误。因此，笔者便引导学生深入理解，首先剥离问题，再进行抽象重组。笔者问学生，假如兼职赚取的金额为300元，那么妈妈月初收入多少钱，学生便能迅速作答：466元。问其算理，学生则能够想到是“整百”的计算，在计算中，可以通过口算得出结果。那300元比295多多少呢？笔者便会向学生展示766-300+5的算式，学生在实际思考中发现，这与原来的算式是相等的，这就是经典的付整找零的计算方式，在减去300的过程中，多减去了5，因此需要加回來，但算式整体没有发生变化，学生也能迅速得出答案，同时构建了新的数学模型，即在数学计算中，可以首先将一个数值看作整百数字进行运算，再将多减去或者多加上的数字进行相应的计算，得到最终结果。在将抽象问题联系到学生日常所见的情境问题中后，学生能够实现现实与抽象之间的联系，也因此构建新的数学模型，用于日后问题的解决。

在引导学生剥离问题本质时，通常需要利用生活中的实际情境作为抽象的载体，让学生在对现实载体的剥离过程中抽象出较为完整的数学体系，从而在问题的探索过程中，让学生的思维活动围绕着数学模型自主建立的过程理解其中蕴藏的数学规律，然后再进行总结归纳，从而形成新的数学模型和良好的建模思维。

4    开展深度探究，触及本质

教师可以引导学生对所学数学知识开展深度探究活动，让学生通过深度的探究了解数学知识的本质，使学生可以对数学知识形成自己的认知和理解，从而更好地构建数学模型。同时，学生还可以在深度探究的过程中提升自身的核心素养，体会如何通过数学知识建立合格的数学模型，学生的建模思想也就会在这个过程中得到培养和提升，进而很好地形成自身的数学建模思想。

例如，在教学“简易方程”的时候，教师会发现学生都存在一个共同的问题，即在对简易方程第一步设未知量的时候经常会出现迟缓、怀疑的现象，这就说明学生对于简易方程相关知识的理解不透彻和不充分。为了让学生更好地理解简易方程的本质，教师可以引导学生对简易方程进行深度探究。可以先从简易方程的符号入手，让学生明白简易方程中符号的意义。如：小明买了10支铅笔和5本笔记本，其中一支铅笔1元，总共花了小明20元，请问笔记本多少元一本？学生在解决这种数学问题的时候首先就会设笔记本为x元，这个时候教师可以对学生进行引导：x是用来表达什么的？学生就会回答：表达笔记本的价钱。教师可以趁机延伸：笔记本的价钱在问题中是什么呀？学生就会联想到不知道的量、需要解决的量等描述，教师可以对学生的回答进行精简：那么是不是未知的量就叫作未知量？学生听到这个称呼，就会很好地理解简易方程中的数学符号代表的就是数学问题中的未知量，学生也就可以放心地使用数学符号列出简易方程。

学生对数学知识进行深度探究的过程不仅可以帮助其更好地理解数学知识的本质，还可以培养学生探究性的学习能力和思维，让学生带着问题去理解自己所学习的数学知识，借此来对自身在思维上存在的问题和缺陷进行查漏补缺，从而加强和提高学习数学的效率，还可以优化学生看数学的角度与高度，对数学做到“俯视式”的学习。

5    联系生活现象，重新认知

学生在学会运用数学模型解决具体数学问题之后，教师还可以利用数学知识与生活紧密相连的特性，让学生把数学模型跟实际生活联系起来，借此引导学生对抽象化的数学知识进行仔细的观察和分析，从中获取数学知识在生活中的形态和构成，使学生可以通过实际生活经验对数学知识的模型形成全新的认知，也可以更好地把数学知识与实际生活结合起来构建数学模型，强化学生的数学核心素养和建模思维。

例如，在教学“小数的意义和性质”时，教师会发现学生对于小数的认知不够深入，大部分学生认为数字就是数字，并没有其他的意义和性质，因此，在学习小数的性质和意义的时候，大部分学生都学习得不是特别认真。针对学生的这种学习态度，教师可以利用实际生活中的一些数学模型对学生进行引导，让学生重新认识数学知识，从更深的层次对数学知识进行理解。教师可以先从学生经常接触的圆、角、分入手，先询问学生：如果小明有55角，他买1元的铅笔3支，那么他还剩下多少钱？这是学生在实际生活中经常可以遇到的问题，学生会很快回答还剩下25角或者2.5元。还有与学生身高有关的生活现象：小明的父母每一年都会记录小明的身高，小明6岁的时候身高1米，现在7岁的身高长了10厘米，那么小明现在是多高？通过这些类似的问题，学生很快就会发现小数好像不仅仅是一个数。通过这些实际的“数学模型”，学生很快就会意识到他们轻视了小数。这样学生就会重新认识小数：小数不仅仅是一个数，更是一种数学符号，还是对实际生活中数的一种补充，也是对实际运算当中一些单位的补充，非常方便人们在日常生活中运用。

数学模型与实际生活的结合可以激发学生的学习兴趣，在激发学生求知欲的同时保证学生学习数学的积极性不会衰减，同时还可以更好地激活学生现有的生活经验，将其与自身所学到的数学知识相结合，从而可以把蕴藏在生活中的数学知识很好地用数学语言表达出来，进一步加强数学知识与实际生活的联系。

6    结语

在不断的模型构建中，教师要积极引导学生对数学实际问题进行探索求解，也要适时对学生所构建的数学模型进行检查，体验学生的建模过程。还要积极引导学生进行具体应用，在应用中检索学生是否具备利用模型解决实际问题的能力。这样，教师才能提升学生的模型构建能力与运用能力。

数学模型的构建与应用，均是学生学科核心素养培养的重点。在对学生的实际培养过程中，教师要遵循学生的客观认知规律，寻找到与之相符合的教学方式。通过以上的教学方式，能够帮助学生准确、清晰地认识并理解数学的意义，从而使其核心素养稳步提升。

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