建立几何量感 发展空间观念——以“体积和体积单位”教学为例

广东广州市花都区教育发展研究院（510800） 程 彦

在故事《孔融让梨》中，孔融把大的梨留给了他的兄弟姐妹，自己则选择了一个最小的梨；小孩子在分蛋糕的时候，知道哪块大、哪块小；学生知道自己在教室里占据了一定的空间，而且自己占的空间比一个铅笔盒占的空间要大……对于体积，学生有自己的原始感知；从数学的角度来解读，学生有判断物体大小的直觉和经验。对此，在“体积和体积单位”教学中，教师要利用好学生的已有认知和经验，教学时深入体积的本质，促进学生深度理解体积的意义，以此丰富学生对数学活动经验的积累，增强学生的空间观念。

一、凸显度量本质，建立几何量感

学生对物体的大小、多少、粗细、长短、厚薄、轻重、软硬等有一定的感性认识。因此，帮助学生准确建立度量单位的表象是形、体知识块教学的重点和关键。以下是两位教师对同一内容的同课异构的教学片段。

【A教师】

师：在学习面积时，有面积单位来描述物体面积的大小。同样，体积也有统一的单位，即立方厘米、立方分米和立方米。什么是1 立方厘米、1 立方分米和1 立方米呢？请仔细阅读课本，找出它们的定义。

生1：棱长为1 厘米的正方体的体积是1 立方厘米。棱长为1 分米的正方体的体积是1 立方分米。棱长为1米的正方体的体积是1 立方米。

师：现在我们一起来认识1 立方厘米。请按照任务单（如图1）上的提示独立完成。

图1

【B教师】

师（运用信息化技术手段：先呈现一个点，将其拉伸成一条长为1 厘米的线段；再将线段平移，“扫出”一个面积为1 平方厘米的面；接着展示面变成体的过程）：请说说看了这段视频后的想法。

生1：我发现，正方形变成了正方体。

生2：测量长度用1 厘米长的线段，测量面积用边长为1 厘米的正方形。那我们可以用边长（应是“棱长”）为1 厘米的正方体来计量物体的体积，这个物体包含了几个边长（应是“棱长”）为1 厘米的正方体，体积就是多少。

师：这位同学能够学以致用，非常棒！事实上，无论是1 厘米、1 平方厘米和1 立方厘米，我们都可以把它们当作一个标准来进行度量。下面就亲自动手感受1立方厘米究竟有多大。

师：先找出1 立方厘米的模型，用手摸一摸，闭眼感受，边比画边说出1 立方厘米的大小；再利用手中准备的橡皮泥，对照标准量捏出自己心中的1立方厘米。

生3：我用橡皮泥捏了一个1 立方厘米的正方体，将它与原来的模型进行了对比，发现它们是一样大的。

生4：我也用橡皮泥捏了一个1 立方厘米的正方体，用尺子量出这个正方体的棱长是1厘米。

……

师：刚才有个同学用橡皮泥捏了一个1 立方厘米的正方体，但是不小心弄变形了。

师（出示已经变形的正方体）：想一想，这个变形的物体的体积是多少？

生5：应该还是1立方厘米。

师：我把刚才这位同学不小心弄坏的这团橡皮泥搓一搓，看——变成了一个球！这个球的体积是多少呢？

生6：这个球的体积还是1 立方厘米，因为这团橡皮泥的大小没有发生变化，只是形状改变了。

“体积和体积单位”属于图形与几何领域，这类知识的学习，需要学生具有较强的空间想象力与抽象能力。其实，无论是长度、面积或是体积，都需由一个“标准”来度量。对于学生来说，这种“标准”的建立和度量需要经验的积累，需要一个学习的过程。由一个点形成一条线段，然后到一个面，接着形成一个立体图形；或是将一个立体图形分解，让学生看到这个立体图形由几个面组成……学生在这个过程中就会感受到体、面、线、点之间的关联。虽然学生对图形的认识和建构并不一定依据点、线、面、体或是体、面、线、点的变化过程，但有必要让学生在真实情境中经历度量的发生和发展过程：基于已有量感—唤醒量感—积累量感—提升量感—运用量感。学生在这个过程中能认识到：计量图形大小的过程就是用统一的“标准”去度量的过程。

以上课堂教学中，A 教师紧紧控制着教学流程，学生亦步亦趋，课堂扎实但效果欠佳。B 教师让学生通过操作建立不同体积单位的表象：在建立立方厘米表象时，准备了数个1 立方厘米的小正方体；让学生用橡皮泥捏1立方厘米的正方体，感知1立方厘米的大小；请学生将用橡皮泥捏成的1 立方厘米的正方体和手中的学具比较；把已经捏成的1立方厘米的橡皮泥改造成其他物体。学生在思考和比较中发现：这些物体虽然形状不同，但体积都是1 立方厘米。反过来，体积为1 立方厘米的物体和形状、材质无关。学生初步感知体积的“守恒性”，在层层递进的过程中有操作更有思考，有交流更有创造，有效地建立和完善了1 立方厘米的表象。

另外，B 教师将信息技术与教学初步融合，在体积大小比较的活动中，突破了“教师运用课件演示，学生被动观察”的传统课堂教学瓶颈，让学生在自己的iPad（平板电脑）上任意调整模块的大小、位置、方向，直观感知一个物体所占空间的大小以及一个物体中包含了多少个单位体积。在任务单和真实问题的驱动下，学生经历了观察、动手、感受、度量等多元的数学活动。这些数学活动将抽象的数学概念直观化，不仅促进学生建立体积和体积单位的表象、理解体积的概念，更是凸显了度量的本质，对学生空间观念的培养大有裨益。

二、借助有效操作，发展空间观念

在教学“立方厘米”后，可根据学生已有的“面积和面积单位”的经验，引导学生通过类比创造体积单位。

【A教师】

师：老师为大家准备了一个1 立方米的正方体纸箱，现在请一些同学摸一摸这个箱子，观察后可以钻进箱子里感受一下。

【B教师】

师：我们已经认识了1立方分米，现在来研究1立方米。你们还能像刚才那样轻松比画出1 立方米的大小吗？请先在小组内讨论。

组1：我们可以先根据“棱长为1 米的正方体的体积是1 立方米”去想象1 立方米的大小，再说一说1 立方米的大小，最后找一找生活中体积为1 立方米的物体。

师：为什么你们要想象1 立方米的大小？

组1：因为我们觉得1 立方米的物体太大了，找不到1 立方米的学具。

组2：在教室的角落里，我们小组的3位同学每人贡献一条胳膊，再借助两面墙就搭了1 立方米大小的空间。

师：为什么你们只用了3条胳膊？

组2：我们用3 条胳膊分别代表正方体的长、宽和高。如果有3根1米的小棒也可以。

师：同学们的想法都非常有价值！我事先准备了3 条吊有重物的绳子代替3 条棱，请3 位同学借助墙壁搭建一个1 立方米的空间。其他同学请闭上眼睛，想象一个棱长是1 米的正方体，然后睁开眼睛看这个1 立方米的空间，判断是否和你想象的一样大，再钻进去感受一下。

关于立方米表象的建立，两位教师的设计各有千秋。A 教师提供一个1 立方米的正方体纸箱，让学生摸一摸它，再钻进去感受，学生发现1 立方米比自己想象中的要大得多；B 教师用了3 条吊有重物的绳子代替3 条棱，借助墙壁搭建了1 立方米的空间，并请学生钻进去感受它的大小。可见，教师适时对度量单位进行梳理和比较，就能帮助学生构建从一维到二维，再到三维的完整的基本度量单位体系，从而帮助学生建立清晰且具有实际意义的直观表象。

三、关注持久理解，促进深度学习

对于三个体积单位的定义，学生通过类比、迁移后很容易从字面上理解，但是这三个体积单位的实际大小以及在生活中的应用对学生来说却很难掌握，把学习目标聚焦于学生最需要理解的内容对概念教学来说意义重大。因此，数学知识的教学要从核心概念、数学本质、数学方法以及学生理解概念的障碍点这四个角度出发，贯穿学习的全过程。

由于数学知识认知过程的复杂性，部分学生洞察到问题的实质后往往不能很好地解释或证明，有些时候学生会用公式求解，但有可能只是套用和迁移，并不代表真正理解，而且如果学生还只是停留在套用公式阶段，并不利于知识的真正形成以及核心素养的提升。概念理解是学生对所学概念不断加深认识、逐步完善其联系、抽象概括本质属性的过程。例如按照以往的学习方式，对“体积和体积单位”的学习往往从背诵概念开始：物体所占空间的大小叫作物体的体积；常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米……这样的学习最多也只能达到初步理解的水平。

上述教学片段中，通过创建理解概念的活动和开放的思维空间，学生就能真切地感受到这三个体积单位的实际大小，通过动手操作、观察评述，开始关注“体积和体积单位”的本质属性，学生原有的知识“生长点”不断生长出知识的“延伸点”。要达到真正的深度学习，就要经历创造的过程，尤其是单元结构化的过程，单元设计是引导学生进行全局式学习和思考的基础，教师必须要重视单元教学设计。

首先，要基于学情。“体积和体积单位”所在的单元处于五年级下册“长方体和正方体”单元。横向观察，本单元分三小节编排：长方体和正方体的认识，长方体和正方体的表面积，长方体和正方体的体积。纵向对比，学生在低年级已经初步认识了一些简单的立体图形，本单元就是在此基础上系统介绍长方体和正方体的有关知识，使学生形成初步的空间观念，这也是学生学习其他立体图形的基础。另外，长方体和正方体的体积的计算是学生理解体积概念、掌握体积的计量单位和计算各种几何体的体积的基础。因此，教师在教学“体积和体积单位”之前就要确立本单元的单元问题、基本问题、引导性问题和综合性操作任务，做好单元教学设计、课时教学设计和评价形式设计。

其次，要基于课堂。课堂上的操作、交流、展示等活动都能引导学生将已有经验和新知学习建立联系，这是能让学生持久理解和深度学习的关键。体积单位是由长度单位、面积单位推导出来的，教师如果能在课堂上引导学生建立长度、面积和体积单位之间的联系，那么，学生在多维参与的过程中，形成的体积单位的表象会更加清晰。学生在“捏”1立方厘米、“钻”1 立方米的过程中，真切感受到体积单位的实际大小，建立了正确的体积观念。特别是在体验1 立方米的大小时，两位教师出示了棱长为1 米的“正方体”，让学生亲身体验这个“正方体”的大小，在激发学生学习兴趣的同时，调动了学生的多感官参与，使其空间观念得到进一步发展，持久理解能力得以逐步增强。

作为一线数学教师，不但要结合学科以及学段的特点，借助强大的信息技术引导学生进行有效的观察与操作，还要通过建立正确的表象，引导学生合理想象，提高学生的空间观念，帮助学生积累数学基本活动经验，从而促进学生思维能力的提升。

［本文系广州市教育科学规划课题“小学数学课堂混合式教学范式研究”（202012597）的研究成果。］