“完整地学”：小学数学学科育人的有效路径

江苏南京市长江路小学（210018） 丁爱平

尽管数学课程改革不断强调要发挥数学学科的育人价值，但是现实情况不容乐观。一是学生缺少整体思维。教与学的割裂形成的碎片化教学，学习内容与学生发展脱节，均会使得学生没能建立完整的认知结构。二是学生缺失过程体验。过度重视结果性考量，会导致学生没有经历自主探究和学习进阶的全过程，难以形成持久的学习力。三是学生缺乏价值体认。部分教师过分去情境化和儿童化，很少关注学习情感、态度和价值观的培育，使得学生感受不到数学学习的乐趣和价值。这些问题在一定程度上阻碍了学生数学素养的全面发展。

学生的数学学习应当是一个完整的过程，因为学生要成长为一个完整的人，就需要完整地学习。基于此，笔者提出“完整地学”的教学主张，为小学数学学科育人提供有效路径。

一、“完整地学”的内涵特征

“完整”是指具有或保持着应有的部分，没有损坏或残缺，完好无缺。在本文中“完整”是指完全展开、过程充分、具有整体结构、不断走向自我完善。

“完整地学”是指在学科育人背景下，基于数学素养体系和结构课程论提出的一个小学数学教学主张。“完整地学”有三层含义：

其一，学习内容的整体关照。教师立足数学课程的整体框架，运用高观点对数学知识的本源、发展和联系做整体分析。学生在教师的引导下自主建构意义，获得对知识的深度理解与自主迁移，构建完整的认知结构，为后续的数学学习储备知识和数学思想方法。

其二，认知过程的完整关注。学生在充分的独立探究、交流合作和评价反思中积累丰富的活动经验，获得学习知识的过程性、生长性和完整性。

其三，生命成长的全面关怀。学生的学习不是追求快速获取学科知识和技能，而是能够在充满智慧、自由、分享的学习环境中充分感受学科的精神价值，获得智力的发展，以及形成高尚的品格和道德，实现完整愉悦的生命成长。

基于核心素养的教育背景，“完整地学”这一教学主张以培养人、塑造人为宗旨，由真实的学习促进学生完整地成长，实现从“教为中心”向“学为中心”的教学转型，让学科育人真正落地生根。

二、“完整地学”的实践策略

1.“U型”教学思考：学习内容的整体性建构

在传统的教学设计中，教师主要思考的是“教什么”和“考什么”，“教”和“考”点对点，连接成一条“线段”，而作为主体中心的“学”被挤掉了。“U 型”教学思考则能突出“学”和“教”的关键要素。它源自企业管理领域中的“U 型思考”，其核心理念是做任何一个重要决策之前，需要先通过下探核心问题发现问题的本质，再解决问题。小学数学“U 型”教学思考是对教学内容做统揽和贯通，做出深入浅出的“U 型”教学决策。教师要努力把目标“化解”成任务，把知识“转译”成问题，把方法“沉淀”成活动，这是一个整体性的建构过程。

首先，聚焦数学核心知识，实现教与学的融通。

教师先透过数学知识的外显层确定核心问题；再到达中间的思维方式方法层，找到数学知识的本质和蕴含的数学思想方法；然后抵达数学知识最深处的隐性层，即在数学知识探索过程中所积淀的各种价值体验；最后再“上浮”，用符合儿童思维特点的教学方法，比如创设故事情境、多元表征、批判思考、渗透文化等，呈现解决问题的显性层。

例如，图1 为“分数的基本性质”一课的“U 型”教学思考。左侧下沉的是层层深入的教学分析：教师先近观学情，基于学生的经验（关于“大小相等”的直觉思维）确定一个核心问题（探究“大小相等”的数学道理）；再引导学生抽象概括，思考知识的本质，即计数单位和个数共同决定数的大小；最后，分析知识的工具价值，得出的分数的基本性质为后续分数的四则运算提供支撑。往更深处看，这类关于数的性质的教学内容渗透的数学思想主要是推理和建模，教师要有意识地引导学生运用推理和建模思想去发现数学内部或生活中的“变中有不变的规律”。右侧是学程规划，由学理深处向上浮现出具体的学习环节：关联思考是大部分学生比较欠缺的，需要教师有意识地引导；感受文化和批判思考是引领理性思维抵达知识本质的重要渠道；再往上，就是承载核心问题的情境，要最大限度地发挥学生的自主性，给予学生多元表征的机会。

图1

其次，用好“世界”这本活教材，实现从知识技能到实践智慧的联通。

教育的目的是培养“完整的人”，这个“完整的人”联结的是“真实世界”。如果将数学学科育人的目标只锁定在知识技能，而忽视关键能力、学科素养、价值目标等，那么学生的发展必然不充分和不完整。因为，知识会被慢慢遗忘，只有关键能力、学科素养等才会终身发挥作用。“完整地学”着重让学生自己成为学习的网络连接者、内容组织者、实际应用者，从而用好“世界”这本活教材，树立正确的学习观和价值观。该语境下的“U型”教学思考，“U型”的左侧是学生习得的数学知识技能和数学思想方法，“U 型”的右侧是数学素养在学生学习和生活中的价值体现，是学生的实践智慧。

例如，笔者所在学校的操场比较小，每次开运动会都很拥挤，对此，数学组的教师在全校开展“我来筹划运动会”的跨学科学习活动。高年级学生绘制操场平面图，计算人员密度，估算各项比赛的时长和所需场地的面积，撰写秩序册。在这个过程中，有的学生通过实验反复验证后得出“跑道太短会影响长跑成绩”的结论，建议学校扩建操场；有的学生设计了操场空间结构图，提出“空中裁判员和观众席”的设想；有的学生创作图文并茂的运动会宣传卡片；有的学生测算出摄像机的点位、角度和距离……如此，数学和儿童的生活世界完全联通，数学以它的严谨求真、广泛应用、至善尚美为儿童创造了“完整的世界”。

2.“进阶式”课堂学习：认知过程的全方位体验

数学课堂学习应以“进阶式”行进，以学生亲历探究过程为主要方式。学生只有完整地经历独立尝试、深层互动、评价与反思，经历拾级而上的思维爬坡，才能在真实、深刻、完整的认知体验中有所收获。

首先，精准设“阶”，让认知体验富有层次。

教学并不只是解决学生认知发展过程中的问题，还需要明确学生认知发展过程中用以“踏脚”的具体的点——这就是学习的“阶”。学习的“阶”是学生与知识之间主客体共同决定的结果，教师只有找到学生每一次进步的“踏脚点”，设计有挑战性的任务和评价——一个个“阶”，才能帮助学生获得更为深刻而完整的认知。

例如，学习“认识周长”时，学生在经历了四个“阶”的思维推进后，对“周长”这一概念的数学理解实现了“经验性—原理性—文化性”的完整学习。笔者先在《课前小研究》中设计了两个“阶”。第一阶“认周长。观察身边的物体或图形，说一说、画一画你眼中的‘周长’”。第二阶“量周长。你能想办法量出树叶、长方形、凸字形图形的周长吗？”。每个学生都在自己的最近发展区踏“阶”行歌。 然后，笔者在课堂上让学生交流《课前小研究》，感悟化曲为直、化繁为简，优化学生思维后再进入第三阶“玩周长。一根丝带怎样‘玩出周长’？”学生在小组合作中深刻理解概念：所谓“周长”，“周”是特征，“长”是本质。最后，笔者给出第四阶“爱周长。请依次观察和描摹所在省、市等版图的周长。”

其次，重视亲历全过程，让认知体验更加深刻。

陶行知先生的“教学做合一”理论认为，学生是创造的主体，必须使这个主体身体力行，躬行实践。他说：“《墨辩》提出三种知识：一是亲知，二是闻知，三是说知……我们拿‘行是知之始’来说明知识之来源，并不是否认闻知和说知，乃是承认亲知为一切知识之本。闻知与说知必须安根于亲知里面方能发生效力。”重视“亲知”是实现“完整地学”的有效之策。数学作为一门以理性和逻辑为特质的学科，具有高度的抽象性。小学生的学习以感性和直观为主，教师要让他们在学习数学的过程中多一些体验，给予他们自主探求“亲知”的机会，只有这样，他们才会通过独立思考和合作探究发展高阶思维。

例如，教学“认识轴对称图形”时，学生在课始会提出很多问题：轴是什么？和车轴的意思一样吗？轴对称图形在生活中有什么用？……对此，笔者一共设计了三个数学活动。第一个数学活动是“怎样用一张纸撕出一个爱心”。学生在动手操作的过程中发现折痕起到至关重要的作用，只要画出一侧图案就能得出一个完美的爱心，于是对“轴”“对称”有了丰富的感性认识。第二个数学活动是“想一想，它们都是轴对称图形吗？”，展示各种平面图形，要求学生在观察、猜想、操作、验证后获得批判性的理解。第三个数学活动是“创造轴对称”，先通过黑体字“平”和“朋”强化学生对轴对称概念的理解；再要求学生设计各种与轴对称有关的图案、玩具、工具，学生的想象力和创造力由此得到了自由生长；最后展示享誉世界的中国古典建筑、京剧脸谱、剪纸艺术等，涵养学生的文化自信。

值得注意的是，不是所有的数学知识都需要学生亲自体验其发生和发展过程。让学生探求“亲知”，是针对当下学生的认知体验不完整而言的。“完整地学”倡导不同学习方式的优势互补，用高质量的“进阶式”课堂学习支撑学生数学素养的长程发展，为学生未来的数学学习赋能。

3.“话题式”作业与测试：学业评价的创新式旨趣

小学生的数学学习是为将来的学习和生活打基础，它应该带给学生美好的童年记忆。“话题式”学业评价是“完整地学”教学主张的一个创新举措，能让学生在一个个洋溢着数学味和人文气息的话题中正确认识自我价值。

其一，设计“话题式”作业，赏析学生的思维艺术品。

如果有一份数学作业，答案封闭单一，作业评价只有冷冰冰的“√”“×”“订正”，那么这份数学作业是不完善的。作业承载着育人功能，“话题式”作业就是一个“思维在场”的对话，它以一个开放性、挑战性的话题作为题干，吸引学生主动探究并且用喜欢的方式（文字、算式、图表、实验、表演等）将自我理解表达出来，凸显个性与创造，既让学生感受数学有趣又有用，又渗透了德育。图2 就呈现了“话题式”作业设计的整体布局，彰显了数学作业的育人价值。

图2

例如，（三年级下册“认识分数（二）”单元的课后作业）寻找丢失的铅笔：小马虎不小心丢了一些铅笔。如图3所示，盒子里的铅笔数是总数的，所有长铅笔的支数是总数的。小马虎说：“我记得丢的那3 支铅笔都是短的。”他说的是真的吗？资料显示，一支木质铅笔大约需要消耗3 克的木材。你想对小马虎说什么？

图3

“话题式”作业的空间很大，而“寻找丢失的铅笔”是学生所熟悉的情境，集数学的计算、语文的表达、品德的思考于一体。首先，推测小马虎说的话是不是真的，就能引导学生用数学的眼光观察“丢失铅笔”这个生活事件，用数学的思维思考丢失铅笔的数量及其长度。其次，数学服务于生活，“你想对小马虎说什么”这个话题渗透了节约资源的环保意识。数学使人聪明，更教人求真、至善，这样的作业是有灵魂的，是有力量的。

其二，创新“话题式”测试，提升超越课堂的真学力。

传统的小学数学纸笔测验给学生的印象是填空、计算、选择、操作、解决实际问题，冰冷而枯燥。这样的测试很难测评学生“真正的学力”，因为靠记忆力支撑的应试技巧再熟练，也是难以获得持续的学习力的。要培育核心素养，重要的不是“记忆”与“再现”，而是对现实世界的“现实”课题的“探究”或是“问题解决”。纽曼（F.M.Newmann）曾指出，所谓真正的学力，不是既有知识的“再现”，而是新知识的“生产”；不是知识的“记忆”，而是基于先行知识的“学术探究”；不是学校中封闭的知性成果，而是伴有“超越学校价值”的知性成果。“话题式”测试尝试改变考试内容的编排和测查方式，构筑一个充满希望、温情与智慧的学习世界。

例如，三年级下学期的期末考试不再是以一张试卷定成绩，而是分成几次小研究。

第一次小研究：吃一堑，长一智。请在你的错题中选择两道最有价值的题，附上思路分析和经验分享。

第二次小研究：看生活，会应用。图4 是一个长方形花圃的示意图，每个小方格的边长代表2.5米，白色部分种鲜花，灰色部分铺草坪。草坪的面积一共有多大？每平方米鲜花生长一周大约需要25 千克水，1 吨水够这些鲜花生长一周吗？如果把这个花圃分割成大小、形状完全相同的四个区域，有几种不同的规划？你还能获得哪些数学信息？

图4

第三次小研究：我调查，有感受。教育部要求小学生睡眠时间应达到10小时。请调查本校三年级学生每天睡眠的时间，制作统计表并进行数据分析。

第一次小研究是开放式的，可采用班级内学生互评的批阅方法，发挥易错题的最大效益——“看他人走过的路，让我们一起走得更好”。第二次小研究安排学生在课堂上独立完成，它包含长方形和正方形的面积、小数和分数以及吨的认识、两位数乘两位数的计算、解决问题的策略等多个单元的知识，解决问题的空间很广阔，方法很多元，不同学习水平的学生都能有个性化的展示。第三次小研究给了学生一个星期的时间，通过设计与真实生活关联、学习主体在场以及反思数学知识价值的综合实践活动，进一步走出现有学业评价体系中“只见习题不见人”的困境，激励学生活泼泼、暖融融地走向“完整地学”。

总之，“完整地学”的数学教学实践，从学习内容的整体性建构、认知过程的全方位体验、学业评价的创新式旨趣等维度全面关注小学生数学学习的整体性和发展性，为核心素养导向下的小学数学学科育人提供了一条有效路径。