因“型”制宜话大小——指、对、幂型数(式)大小比较

柴泽礼

(甘肃省永昌县第一高级中学，甘肃金昌，737200)

比较大小问题在高考中一直占有一席之地，我们都是通常利用对应函数的单调性来进行大小比较.但对于指数、真数、底数不同的情况混合在一起进行比较大小时，由于形式各异，而且不能具体计算出该式子的值，也不能直接利用函数的单调性进行比较，这就成了很多同学无法逾越的“障碍”，所以只能通过乱猜、靠运气.[1]现就对此类问题进行分类举例，对常用的方法和技巧进行归纳总结，以飨读者.

1 通过公式化为同底或同指

A．b

(2) (2013年新课标全国Ⅱ8)设a=log36,b=log510,c=log714则( )

A．c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

解析给出的a、b、c的“型”一样，故只需进行等价变形，化为同底、同指、同真即可.

(2)a、b、c的底、真都不同，但三个式子的真数都可以分解成含底数的两个因数的乘积形式，所以可以用对数的运算法则与换底公式化为同底的形式，进而利用对数函数的单调性进行大小比较.即

2 借助“中间量”或确定大致范围

如果给出的式子既有指数式又有对数式，直接无法比较其大小，更无法相互进行转化为同底或同指或同真的形式，则借助“中间量”分别与要比较的数进行比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.而对指对数式而言，优先选取的“中间量”通常为0和1，这在兵法上可称为“分割包围，各个击破”.有时候0、1会“失效”，这时就要看给定的式子中是否有定值，若有则可选此定值为“中间量”，若无则需根据所给式子的范围进行估计.如log23，可知1=log22

A．a

A．a

解析给出的a、b、c的“型”不一样，则需先对同“型”的进行比较，再取“中间量”与其进行比较.

3 利用函数的图象

如果不是直接给出几个具体式子的大小比较，而是以方程根的形式给出，若可以求解该方程的根，则只需求解出根用方法一、二比较即可，如2a=6可得a=log26.若该方程是以“超越方程”的形式出现，则无法求解出根，直接比较很困难.此时常常要将问题转化为两个函数图象交点的横坐标大小问题，再借助图象进行求解.

A．c

4 构造函数

如果给出的是结构相似或相同的式子或不等式的大小比较，看似无“型”，实则有“型”.通常可以考虑通过变形得到同“型”不同“量”的几个式子，进而构造函数，利用函数的单调性进行比较.

典例4(1) (2020·全国Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y，则( )

A． ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0

C. ln |x-y|>0 D. ln |x-y|<0

(2) (2021·武汉市质量监测)已知a=4ln3π，b=3ln4π，c=4lnπ3则a、b、c的大小关系是( )

A．c

指、对、幂函数值比较大小的试题是高考中的常见题型,此类试题虽然题目简短但内涵丰富,不仅考查指数函数,对数函数,幂函数的运算,性质,图象等内容,还可以综合考查导数和不等式等知识.[2]而此类问题处理的核心就是“求同存异”，将几个数(式)变形为具备某相同的部分，从而转化比较的对象，使它们同“型”，将“无法比较”转变为“可以比较”.