基于“三教”理念培育学生数学学科核心素养——以二次函数与一元二次方程、不等式为例

邵 泽

(云南师范大学数学学院，云南昆明，650500)

培育学生核心素养是我国教育的应然要求，数学作为高中阶段的一门重要学科，数学教学中培育学生数学学科核心素养不容忽视.教育部印发的《全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》明确指出将立德树人长效地贯彻在教育的每一个阶段，对学科核心素养的培育即是落实立德树人根本任务的主要要求之一.教师教学应从关注知识的传授上升为关注学生人格的培养，在发展关键能力的基础上，形成正确的价值观和必备的品格.数学是学习物理、化学等学科的基础，也是参加社会生产和生活的基础，培养数学学科核心素养至关重要.数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现[1].在高中数学教学、学习压力大的形势下，数学教学中“唯分数论”现象明显，教学以关注学生知识的掌握、考试成绩为主，与立德树人根本目标背道而驰.现代教育背景下，改变该现象迫在眉睫.

贵州师范大学吕传汉教授于2014年提出在数学教学中教思考、教体验、教表达(简称“三教”)的教育理念，在“三教”教育理念的引领下让学生学会思考数学、体验数学和表达数学，进一步培育学生的学科核心素养[2].教思考，旨在培养学生的数学思维；教体验，旨在突出学生的主体地位；教表达，旨在培养学生的数学交流能力.教思考、教体验与教表达“三教”并举，让学生在体验中思考，思考中体验，最终进行规范的数学表达，并在表达中进行再思考、再体验.

在高中数学教学内容中，人教A版数学新教材二次函数与一元二次方程、不等式是由初中较为具体的数学知识到高中较为抽象的数学知识的过渡并与初中数学知识具有较强联系，蕴含了丰富的数学学科核心素养.二次函数与一元二次方程、不等式内容与旧教材一元二次不等式及其解法内容相比变动较大，加强了与初中知识的联系，将其与二次函数和一元二次方程结合起来，更具逻辑性.而在一定的程度上，教师教学该内容时仍不能脱离旧教材的形式，仅把一元二次不等式解法作为该节内容的教学重点，此背景下学生对其学习也存在一定困难，往往局限于求解一元二次不等式的形式上.为培养学生数学学科核心素养，本文选取二次函数与一元二次方程、不等式为例，借助吕传汉教授的“三教”教学理念进行教学设计，旨在设计落实核心素养的高中数学教学案例，以期为一线教师提供参考.

1 二次函数与一元二次方程、不等式的教学设计

1.1 内容分析

一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式贯穿函数、方程及不等式内容，具有广泛应用性，是学好后续函数、导函数性质等内容的基础.本节内容用函数的观点把方程和不等式联系起来，突出函数观点统一方程和不等式的数学思想方法，在教学过程中不仅要关注不等式的解法，更要重视对学生数学思想方法的传递.事实上，在初中的学习过程中，学生已经学习了一元二次函数及方程，掌握了用一次函数看一元一次方程和不等式的方法，且在前面等式性质与不等式性质的学习过程中对不等式有了深刻的认识.该节内容在学生已有认知上提升了对数学抽象等核心素养的要求，突出数学思想方法，教师教学必须利用学生已有基础，培育数学核心素养，再次强调用函数观点统一方程和不等式的思想方法.

1.2 教学目标及重、难点

教学目标及重、难点教学设计是整个教学设计的核心所在，教学过程设计往往是围绕目标及重难点设计展开的.笔者在仔细研读普通高中数学课程标准的基础上，结合“三教”教育理念及学生已有认知设计合理的教学目标及重难点.

教学目标：从实际数学情境中认识一元二次不等式的定义；根据实际问题引发学生思考，为解决实际问题进行再思考再体验；体验具体二次函数的作图过程，回顾一元二次方程的解，通过观察二次函数图象建立二次函数与方程的联系，层层递进建立二次函数与一元二次不等式的联系；经历特殊推广到一般的过程，掌握二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系；用严谨的数学语言表达解一元二次不等式的步骤，建立数学自信.

教学重点：了解一元二次不等式的定义，会求解一元二次不等式并用集合表示解集.

教学难点：掌握二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系，体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法.

1.3 教学过程

数学教材是数学教学的重要资源，该教学设计主要围绕教材展开，以教材为主线贯穿教思考、教体验、教表达，培养学生数学核心素养.教学过程主要包含一元二次不等式定义构建、二次函数与一元二次方程、不等式关系构建；二次函数与一元二次方程、不等式关系表达；一元二次不等式应用及再思考四部分.以问题串的形式对每部分的教学进行设计，旨在让学生在问题中思考、体验并表达.

1.3.1 一元二次不等式定义建构

思考问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？

首先将矩形一条边长设为x，根据面积公式结合题意的(12-x)x>20，其中x∈{x|0

设计意图：以生活中的实际问题为导向，让学生体会到数学来源于生活又应用于生活.课堂一开始，立即激发学生对本节课的学习兴趣，同时引发学生的“数学思考”，在“数学思考”的过程中培养学生用数学的眼光看世界的思维习惯.并在具体问题的解决过程中发现问题，提出新问题，抽象出一元二次不等式的定义.

值得注意的是，解决思考问题1这类问题的核心在于提取问题关键信息，构建恰当的数学模型.教师应该着重引导学生在头脑中构建出栅栏模型，把文字信息转化为数学信息，使实际问题数学化、直观化，既做到把实际问题与数学问题紧密结合，又能培养学生逻辑抽象的数学学科核心素养.另外关于变量x的取值范围学生也易忽视，应该着重强调，体现数学的严谨性，养成良好的数学学习习惯.

事实上，思考问题1属于创设实际情境，引入课例环节.此环节中，教师容易忽视数学知识本质，仅以激发学生学习兴趣作为情境目标显然是不够的.问题情境必须紧紧围绕数学知识，以教会学生数学地思考为目标，在此基础上激发学生数学兴趣.因此必须对提出的问题深入探究直至解决.

1.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式关系建构

思考问题2：要解决思考问题1，必须求出思考问题1中得到的不等式解集，即能得出种植花卉的栅栏矩形的边长，问题1中不等式的解集应该如何求解？通过初中的数学学习，我们已经掌握了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式(三个“一次”)的思想方法，所以先解决如下问题：

a) 解方程2x+3=0.

b) 作函数图象y=2x+3.

c) 解不等式2x+3>0及2x+3<0.

设计意图：突破数学教学中常用的教师为主体的复习导入法，以问题解决的形式对已有知识进行回顾，再次引发学生深入思考回顾，唤起元认知，加深对已有知识的把握，同时为引出本节重点内容(三个“二次”)打下坚实基础，因此在解决问题2的同时应引导学生结合问题1，以数学的眼光看待和发现问题，提出新问题3.

通过初中的数学学习，学生已经拥有了独立解决该问题的能力，教师应该充分把时间还给学生，跳出“一言堂”的教学模式，时刻把学生的主体地位牢记于心并在实际教学中付诸实践.教学中秉承不抛弃不放弃每一个学生的教学原则，针对本课例中衔接新旧知识的思考问题2，应该保证每一位学生都能准确解决，在解决问题的同时有所思考，这实质上也是一种把培养核心素养落到实处的教学行为.

思考问题3：与思考问题2类似，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法？考察探究以下问题：

d)解方程x2-12x+20=0.

e)作函数图象y=x2-12x+20.

f)解不等式x2-12x+20>0及x2-12x+20<0.

设计意图：引导学生在思考问题2的基础上通过类比的思想思考、解决上述问题，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养，从已有的事实出发，类比推理得到不等式x2-12x+20>0及x2-12x+20<0的解.

值得一提的是对于思考问题3的教学难点在于引导学生通过观察二次函数图象y=x2-12x+20找到其与之对应得一元二次方程x2-12x+20=0解的联系，在此过程中抽象出一般二次函数的零点概念，即使得ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.此基础上进一步引导学生结合函数图象观察得出不等式x2-12x+20>0及x2-12x+20<0的几何意义并表示出两个一元二次不等式的解，通过这一过程的思考探究最终促使学生可以独立抽象出求解一般的一元二次不等式解集的方法.

1.3.3 二次函数与一元二次方程、不等式关系表达

思考问题5：回顾以上探索过程，对于一般的一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式(三个“二次”)它们三者之间有什么关系？并把下面的表格表1补充完整，把它们之间的关系以表格的形式表达出来.

表1 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

设计意图：以表格的形式引导学生梳理二次函数与一元二次方程、不等式的关系，引导学生清晰、有条理地表达所学知识，在表格填写中突出数学中“自然语言”“符号语言”“图形语言”的转换.

问题5：回顾探究过程，我们是如何求解一元二次不等式的，请大家思考并交流求解一元二次不等式的具体步骤.提示学生思考时借助流程图表达解一元二次不等式步骤，使其可视化，其中求解过程如图1所示.

设计意图：引导学生回顾上述求解一元二次不等式的数学体验过程，达到在体验中思考，在思考中体验，并能够最终把其具体步骤数学的表达的效果，把“教思考、教体验、教表达”很好地融合起来，贯穿于教学活动的始终.这一教学环节实质上也是对数学核心素养的培育过程.

图1 一元二次不等式求解步骤

2 一元二次不等式应用及再思考

思考问题6：解下列不等式：(1) 3x2-7x≤10；(2) -2x2+x<-3.

设计意图：在掌握“三个二次”的关系的基础上，了解解一元二次不等式的步骤，通过练习加强对知识的应用能力，在解决问题的过程中，加强数学体验，使学生深刻感知数学学习的价值.在解不等式问题的设计中，一元二次不等式的二次项系数设置有正有负，学生能够灵活思考并应用已学知识得出不等式的解集，这样设计旨在培育学生数学运算的核心素养.

值得一提的是，若不将二次项系数为负的一元二次不等式化为正数的情形可以直接解一元二次不等式？让同学们以小组形式讨论，根据以上从二次函数图像看二次项系数为正的一元二次不等式解，讨论二次项系数为负的情形，加深学生对二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系的认识.这一看似使问题变复杂的讨论事实上是对学生数学思维的培养，通过学习，学生不仅要达到快速解题的目标，还应该发展数学思维，形成良好的学习习惯，学会多角度思考问题.

思考问题7：设m为实数，解关于x的不等式：mx2+2mx-3<0.

设计意图：通过解含参不等式，进一步提升对一元二次不等式解法的应用，同时引发学生对于m<0，m>0或m=0不同种情况的分类思考，分类思考往往是学生学习过程中容易忽视的地方，教师除正确引导学生解决问题外，还应该引发学生对解一元二次不等式方法步骤的在思考，思考该解法的真正内涵所在，在此过程中培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养.

3 结束语

首先，本课例以“基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验(四基)”作为问题的出发点和归宿设计问题串，学生在7个思考问题中深度探索，深度思考，获得基础知识的同时，也提高了基本技能.在思考的过程中教师应提倡为学生“让学”的教育理念，其中“让学”指在某一时段老师安排学生进行自主学习的课堂行为[3]，给予学生充分的自主学习时间，只有充分思考才能达到充分理解.

其次，本课例通过搭建“三个一次”关系的脚手架展开，学生以此为支架对求解一元二次不等式形成认识，最终建立“三个二次”的关系.在“三个一次”关系的脚手架中体验一次函数作图过程，体会一元二次不等式与一元二次函数、方程的联系，在此基础上进行更深层次体验，体验二次函数作图及解一元二次方程过程，通过观察建立“三个二次”的关系.通过学习掌握解一元二次不等式的方法，用其体验解题的乐趣，建立学生的数学自信.基于体验的学习方法认为学习者获得技能和构建知识是体验的直接结果[4]，课例中对一元二次不等式定义及“三个二次”关系的构建皆以教师引导学生自主构建为主，充分体现教师的主导地位和学生的主体地位，给予学生充分体验的机会.

再次，学生在问题中充分思考和体验后进行准确的数学表达，提升数学交流能力和数学表达能力.本课例主要涉及“三个二次”关系及解一元二次不等式步骤的表达，教师引导学生在“三个二次”关系中以表格的形式表达，在解一元二次不等式步骤中以流程图的形式表达，更加清晰明了.

总之，教师在数学教学中应该给予学生充分思考、体验及表达的机会，学生能在掌握数学知识的同时发展关键能力，其次教师应引导学生逐步形成正确价值观及必备的数学品格，正确把握“三教”理念，培育学生数学学科核心素养[6].