一道中考压轴题的探索与变式

2022-10-26 08:30湖北省宜昌市第六中学

中学数学杂志 2022年20期

关键词：变式线段正方形

⦿湖北省宜昌市第六中学李玲

1 引言

解答一道复杂的数学题，以特殊情形为起点，往往能抓住数学问题的本质.现以2021年浙江省衢州市中考数学第24题解答探索及变式研究为例，探讨如何就题变式、就题借力，追寻解题教学初心，有效发展学生思维能力，力求解题教学效能最优.

2 试题呈现

推理:

如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.

(1)求证：△BCE≌△CDG.

运用：

图2

拓展:

3 解答研讨

3.1 “两等两线”看折叠，洞察结构得思路

思路分析：第(1)问，识别折叠具有轴对称的本质，洞察到“两等两线”结构：折痕BE所在直线既是∠FBC的平分线、也是对应点连线段CF的垂直平分线；还有全等三角形及等腰△BCF，△ECF这样的基本图形.执果索因，容易得到△BCE≌△CDG.

3.2 给定比值求线段，联想构造妙转化

第(2)问，在推理的基础上添加了线段比及一条线段长两个条件，紧扣“两等两线”如何去找关联？结合条件及图形分析，直接求解；或构建方程模型整体求解；或搜索关联相似三角形进行转化；或从直角入手建立坐标系，借助点的坐标去求线段长；或面积法入手建立方程等.

图3

思路一：由条件易求出EF,HF,HD的长度，从正方形内折叠的图形结构联想转化，想到双勾股法.

思路二：由图3中的对顶角和平行线，易得GH=FH=5，HD=4，再结合AB=BF=BC这个条件，在Rt△ABH中用勾股定理，先求出正方形的边长，再利用线段和差关系间接求DE的长.

解法2是从条件出发，顺思联想，从前一问找思路.这样的解答似乎还少了从设问间找关联，从结论出发逆推的思路.第(2)问还可以看透图形结构，求DE的长，由(1)易得GD=CE=EF,加上正方形易捕捉到AG=DE,从而在转化思想下，不妨直接设AG=DE=x，“由因导果、执果索因”，直取目标，计算上会优于解法2.

思路三：如图4,分别延长BH，CD交于点I,构造和DE有关的相似三角形，即△IDH∽△IFE，求出ID与IE的长.

图4

构造和DE有关的相似三角形有多种方法.结合图4，如，反“A”型△IDH∽△IFE，“A”型△IDH∽△ICB，“X”型△IDH∽△BAH，都可以求出DE的长，但在求解的过程中又引进了新的未知量，且计算的过程中同一个三角形三条边都需要用到，并涉及勾股定理，总的来说相似法计算难度较大.

思路四：建系，利用一次函数求出D，E的坐标.

图5

利用两点间的距离公式及FH=5找等量关系，理论上可求出t的值，但因为计算量大，在此处不追求解法的数量，仅供了解.

思路五：当图形中出现多处垂直，可以由垂直联想到高，进而联想到面积，用不同方法求同一个图形的面积就可以得到等量关系，常称作面积法.相较于前面4种解法，等量关系表面复杂，但计算并不复杂，计算难度较低，能顺利得到结果.

解法5：由给定条件易得DG=9，HD=4.如图3，设DE=x，由S梯HDCB=S△HDE+S△HEB+S△EBC，得

以上5种解法，学生最容易想到的思路是双勾股法、勾股、相似、建系，计算上最为简便的是解法1的双勾股法和解法5的面积法.笔者尤其要提到面积法难想易算这一点，启示我们无论做什么题，潜意识里不要见题就算，要先宏观选择方向，再微观确定方法.

3.3 形变质不变，类比迁移可得法

第(3)问，当“正方形”的条件换为“矩形”，比值的条件不变时，联系第(2)问的运用，发现问题表面上虽有变化，但在求解第(3)问时仍可沿用第(2)问的方法及思路.反过来，当把第(3)问的结果求出时，令k=1，利用第(2)问的结果来验证计算过程是否正确.沿用(2)的解题思路及方法，字母代替数，比值代替相等，体现了变化中的不变性.因此，从特殊到一般，可以帮助我们厘清思路，找到解题方法及问题的本质.

图6

因为运算量大,勾股法在第(3)问中不适用，所以不做详细解答.同样，对于沿用第(2)问中的相似法、建系法，实际计算过程繁杂，都不适用于第(3)问.

点H在点D的右侧时，如图8，连接CH,仍设EC=x，则DG=kx.

图8

面积法的算式看起来非常复杂，但是化简计算过程非常简单.

4 变式拓展

结合以上解答探索，发现此题以正方形到矩形的折叠问题为探究背景，融入初中数学核心知识，渗透特殊到一般、数形结合、函数与方程、分类讨论等核心数学思想方法.若对试题相关的命题素材进行变式，将会引导学生注重知识体验的过程，优化学生思维方式，强化基本数学思想方法的感悟与内化，从而充分发挥此题的教学价值.基于此，笔者从以下三点进行了相关的变式思考.