规律源自猜想 精彩源于变式 素养成于实践——以“两条直线成为折线型平行线的条件”教学为例

⦿广州市骏景中学 顾桂新

《义务教育数学课程标准》指出:学生通过义务教育阶段的学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力.猜想是获得规律的方法，在观察中获得的特殊例子放到一般情况下看看是否也有这种可能性，即从特殊到一般.一题多解的变式教学可以激发学生的学习兴趣和求知欲，向学生展示不同的思考过程，根据学生的最近发展区适当地拓展解题思路，从而让学生主动学习，实现有意义地建构，也能使不同层次学生的数学思维能力都得到提高，这是数学教学中十分重要的一环.基于此，笔者根据人教版七年级下册数学，执教了“两条直线成为折线型平行线的条件”，从“特殊到一般”“一题多解”上下功夫，收获良多.

1 从特殊到一般，以旧引新，大胆猜想，导出主题

学生已经学习过“平行线的判定方法”“平行线的性质定理”等知识，明确“角的数量关系”与“两直线位置关系(平行)”之间是可以互推的.如何从这些旧知识出发，使学生想到，“两条直线成为折线型平行线的条件”呢？

问题1我们知道平行线判定方法有四种.如图1，AB，CD被BD所截，∠B，∠D满足什么数量关系时，AB∥CD?

图1

设计意图：通过动态改变AB的位置，明确“∠B+∠D=180°”与“两直线平行”可以互推，唤醒学生的知识储备.

问题2如图2，当点O在线段BD上运动时,猜一猜:若AB∥CD,则∠B+∠D与∠BOD须满足什么数量关系?

图2

设计意图：通过增加点O，在两个同旁内角基础上增加了一个平角.当∠B+∠D=180°时，AB∥CD；而∠BOD=180°.从而引导学生得到当点O在线段BD上移动时，∠B+∠D与∠BOD须满足某个数量关系，AB，CD方可以成为平行线.

问题3当点O从线段BD上移动到平面内任意位置，即变成折线型时，不妨研究点O向左移动时的情况.如图3,猜一猜：∠B，∠D，∠BOD须满足什么数量关系,才有AB∥CD?

图3

设计意图：在问题2的基础上引出本节课主题“两条直线成为折线型平行线的条件”，同时通过问题2的特殊情况，引导学生从“特殊到一般”探究规律的过程中，通过观察，猜想三个角之间满足什么数量关系，两条直线能成为“折线型”平行线.

在问题3中，学生猜想三个角之间满足∠B+∠D=∠BOD时,AB∥CD，即为两条直线成为“折线型”平行线的条件.接下来证明猜想的正确性.

2 一题多解，突出思维之道

证明两条直线平行的方法有多种，通常从“三线八角”的基本图形中寻找同位角、内错角、同旁内角等，运用平行公理或平行线判定定理解决.若没有现成的“三线八角”，就需要构造，这是初中数学学习的难点.

问题4问题3猜想的证明如何通过添加辅助线来构造“三线八角”，找出解题路径呢？

设计意图：教师先引导学生构造同旁内角互补，证明两直线平行，证法1作为例题加以讲解；然后学生模仿证法1，由平行线的判定方法，从内错角相等、同位角相等、平行公理等角度思考，添加辅助线解决问题.证法2～5是学生提出来的各种解法.

证法1：如图4，连接BD，构造同旁内角互补，证明两直线平行.

图4

在△BOD中，∠2+∠3+∠BOD=180°.

又∵∠BOD=∠1+∠4，

∴∠2+∠3+∠1+∠4=180°.

∴∠ABD+∠BDC=180°.

∴AB∥CD.

证法2:如图5，延长BO，与CD交于点E，构造内错角相等，证明两直线平行.

图5

在△OED中，∠1+∠D=180°-∠DOE.

又∠BOD=180°-∠DOE，

∴∠1+∠D=∠BOD.

∵∠BOD=∠B+∠D，

∴∠1+∠D=∠B+∠D，即∠1=∠B.

∴AB∥CD.

证法3：如图6，过点O作直线a∥AB，从平行公理的角度思考，构造中间量，由直线a∥AB知∠1=∠B.

图6

∵∠BOD=∠1+∠2，

∠BOD=∠B+∠D.

∴∠1+∠2=∠B+∠D.

∴∠2=∠D.

∴a∥CD.

∴AB∥CD.

证法4：从将∠BOD拆解成两个小角的角度思考.如图7，作∠BOE=∠B，则OE∥AB.

图7

∵∠BOD=∠BOE+∠DOE，∠BOD=∠B+∠D，

∴∠BOE+∠DOE=∠B+∠D.

∴∠DOE=∠D.

∴OE∥CD，

∴AB∥CD.

证法5:构造垂直，将AB，CD直接联系起来.如图8，过点O作AB的垂线，交AB于点E，交CD于点F，则∠BEO=90°，且∠1+∠B=90°.

图8

∵∠1+∠2+∠BOD=180°，∠BOD=∠B+∠D，

∴∠1+∠2+∠B+∠D=180°.

∴∠2+∠D+90°=180°.

∴∠2+∠D=90°.

∴∠OFD=90°.

∴∠OFD+∠BEO=180°.

∴AB∥CD.

上述证法是学生通过猜测、尝试，在教师指导下得出的证明方法.通过一题多解，启发学生基于原有经验，突破思维局限，创新探究思路，完成探索推理，概括获得新知；通过一题多解，培养学生积极思考，勇于尝试的精神.

3 归纳共性，揭示问题本质规律，触类旁通

通过对问题3猜想的五种证法的学习，发现除了证法1外，其他的方法都是以点O为切入点，也就是所作的辅助线都与点O有关系，如过点O作平行、延长BO、过点O作垂直等，其目的是依据现有的图形通过作辅助线，构造“三线八角”和三角形这两种基本图形，从而根据“三线八角”角度之间的数量关系与三角形内角和为180°进行等量代换，得到角的关系，最终证明两直线平行，这是该研究的根本所在.

问题5刚才研究了点O向左运动的情况，那么当点O在平面内向其他方向运动时，还可以得到哪些不同的新图形呢？对每种新图形，∠B，∠D，∠BOD满足什么数量关系时,AB∥CD？请证明你的猜想.

设计意图：学生通过动手作图、试验，得到不同类型的两条直线成为折线型平行线的图形.如图9所示，点O可以向右运动，向左上运动，向右上运动，等等.对于每一种图形结论的猜想与证明，引导学生在课后根据自己的选择，选取自己喜欢的方法完成，并体会运动变化中不变的规律.

图9

4 结语

变式教学即通过不断改变问题情境、问题条件，探索变化规律以及变化中的不变性质.在整个教与学的活动过程中，学生既要参与解题，更要参与数学思考，在思考的过程中去体会“变”与“不变”的辩证思想，体验数学创造、数学探究与数学发现的过程.

通过变式教学，不仅改变了学生被动的学习方式，也大大开阔了教师的解题视野.教师不必再停留在繁忙的找题、做题、讲题的题海战术之中，而是可以更好地利用经典试题进行深度剖析，充分演变，揭示问题的本质规律，达成举一反三、触类旁通的教学效果．

本节变式教学课，从特殊到一般，给学生创造观察、探究、猜想、归纳等学习机会，引导学生“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”,让学生在活动中增强求知欲，凸显学生学习的主体地位，克服学习中的思维定式.通过“一题多解”的变式教学，向学生展示不同的思考过程，根据学生的最近发展区适当地拓展解题思路，从而让学生主动学习，实现有意义地建构，也能使不同层次学生的数学思维能力都能得到提高，这是数学教学中十分重要的一环.