基于深度学习的初中数学公式教学探究——以“24.4弧长和扇形面积（1）”教学为例

福建省福州屏东中学 郑丽娟

党的十八大明确提出“把立德树人作为教育的根本任务”。随着课堂教学改革的进一步发展，“核心素养”成为当前基础教育理论与实践研究的重点。以布鲁姆认知维度层次划分理论为基础的深度学习模式，以学生已有的知识经验为基础，探求知识背后的规律，激发学生学习热情，培养学生深度思考学习能力，是形成数学核心素养的重要途径。初中数学深度学习是指在教师的引领下，学生围绕具有挑战性的数学学习主题，全身心积极参与，体验成功，获得发展的有意义的数学学习过程。在这个过程中，学生获得数学核心知识，把握数学的本质和思想方法，提高思维能力，发展数学学科核心素养。教师通过精心设计问题情境和学习任务，引发学生认知冲突和深度思考，关注对学生的形成性评价。

一、基于深度学习的初中数学公式教学

笔者在初中数学公式教学中进行了深度学习的一些探索，现以市级公开课“24.4弧长和扇形面积（1）”教学为例交流如下。

（一）明确深度学习目标

1.教材内容地位与作用

本节选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）九年级上册，是第24章“圆”第四节“弧长和扇形面积”第1课时的内容。本节内容是在学生学习了圆的有关概念、性质、圆心角等内容之后，进一步学习弧长和扇形面积的计算公式，研究弧长和扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的应用。弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的重要公式，是以圆的周长和面积公式为依据的，既为后继学习中圆锥侧面积公式的推导打下基础，也是高中阶段进一步学习弧长和扇形面积公式的基本内容。

2.课程标准中关于“弧长和扇形面积”的定位

理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积；在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想。

3.学生情况

首先，学生的生理、心理特点分析。九年级学生的生理、心理都还在发展过程中，他们的可塑性很强。这个阶段的学生喜欢动脑思考，具备一定的探究能力，几何直观探索和推理能力也已形成，但也比较容易出现情绪的变化。因此既要尽量结合学生的兴趣开展教学，又要适当引导，在教学中培养学生的数学思维能力和实践探究能力。

其次，学生的“最近发展区”分析。学生的现有知识水平是圆的周长和面积公式，圆的有关概念、性质、圆心角等内容，学生能够感知到弧长和扇形面积分别与圆的周长和面积有关，但是对于公式推导过程中圆心角的作用不易理解。通过教师的引导，学生潜在发展水平达到对公式推导过程中圆心角作用的理解。

最后，学生的挑战性内容分析。挑战性内容一：教师引导，合作探究弧长公式。学生联系已有知识，在新、旧知识之间建立有意义的联系。教师利用圆心角的特殊情况进行引导，学生感知弧长与弧所对的圆心角有关。弧长是圆周长的一部分，在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系合作探究推导出弧长公式。挑战性内容二：类比弧长公式的探究过程，合作探究扇形面积公式。类比弧长公式的探究过程，应用相同的研究方法，在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积。学生类比学习、建立前后知识的联系以及对探究方法进行迁移，实现高阶思维的形成。挑战性内容三：把握本节课的数学思想方法，学会探究公式的一般方法。掌握学科的数学思想方法是深度学习的内涵之一。在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受“特殊到一般”“整体与部分”“类比”等数学思想。

4.教学重、难点

重点是弧长和扇形面积公式的推导及应用；难点是弧长和扇形面积公式的推导。

（二）教学过程

1.创设情境，引入课题

一年一度的校科艺节要到了，小霞买了一批扇子作为活动道具，她想给每把扇子外围镶上花边，扇面贴上彩纸当装饰。可她犯愁了：买多长的花边、多大面积的彩纸合适呢？这就要涉及弧长和扇形面积的计算问题。

设计意图：由学生感兴趣的校园文化艺术节引入课题，创设情境，把生活中的问题转化为数学问题，体现数学来源于生活、服务于生活，激发学生学习活动的需求与真诚的热情，步入课堂深度学习。

2.探究弧长的计算公式

问题一：半径为2的圆的周长是_____________。

问题二：求半径为R的圆中，圆心角α所对的弧长（表1）。

表1

设计意图：基于学生已有的学习经验基础，设计从特殊到一般的探究过程，有助于学生深刻地理解和体会弧长公式的生成。在这个活动过程中，学生愿意去学，有信心去学，从而学得更深刻，理解得更到位；在经历弧长公式的生成过程中体会“特殊到一般”“部分与整体”的归纳方法，实现了数学深度学习。

问题一：公式中每个字母分别表示什么？

问题二：公式中180、n为什么不能带单位？

问题三：公式中揭示的是哪几个量之间的相等关系？已知其中的几个量可以求出其余的量吗？

问题四：公式中当R为定值时，l与n是什么函数关系？当n为定值时，l与R又是什么函数关系？

设计意图：设计问题串，强化对公式的再认识，抓住公式的本质。渗透了函数的思想和方程的思想，让学生感悟到“知二求一”的方程观点。学生经历数学知识再发现的过程，在不断反思、质疑中对学习对象深度加工，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，发展数学学科核心素养。

根据弧长计算公式，完成表2。在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l。并通过表格的补充，掌握弧长计算公式的应用，帮小霞解决扇子花边长度问题。

表2

设计意图：学生利用弧长公式进行表格解题的过程中，进一步领悟了“知二求一”的方程思想，并学会思考问题的方法。设计与实际相关的问题，引导学生解决。学生明白数学与日常生活密切相关，公式运用并非只是单纯的计算数据，而要真正学以致用。

3.探究扇形面积的计算公式

类比弧长公式的探究，合作探究扇形面积的计算公式。

设计意图：教师要求学生以小组合作的方式进行推导探究。由扇形的定义可知扇形是圆面的一部分，扇形面积公式的生成类比弧长公式的学习经验和学习方法。从特殊到一般的研究方法，理解部分与整体之间的关系，感受经验和知识之间相互转化，体会学习方法的迁移和应用，从而更好地促进学生的深度学习。

扇形面积公式的辨析：学生类比弧长公式的辨析自主进行扇形面积公式的辨析，教师进行引导和完善。

设计意图：类比弧长公式的辨析由学生自主进行扇形面积公式的辨析，让他们进一步感受经验和知识之间相互转化，体会学习方法的迁移和应用；加深了对“类比”“方程”“函数”等数学思想方法的进一步领悟，把握数学的本质和思想方法，提高思维能力。

学生类比弧长公式的应用中教师设计的表格，小组合作探究设计扇形面积公式的应用表格并填写该表格，最后小组汇报成果。探讨教材例题和例题变式中扇形面积计算公式的应用，并帮小霞解决扇面装饰问题。

设计意图：学生运用类比的方法进行扇形面积公式的运用学习。求“弓形面积”渗透了“转化”思想，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积。再次联系生活问题引导学生去解决，让学生体会到数学的价值，真正体现“人人学有价值的数学”，感受到学习数学的乐趣，体会到成功的喜悦。

4.扇形面积公式与弧长公式的联系

问题一：比较扇形面积和弧长公式，扇形面积和弧长都与哪些量有关呢？能否用弧长来表示扇形面积呢？请写出推导过程。

问题三：类比弧长公式的辨析自主进行该公式的辨析。

问题四：S扇形、l、n、R这四个量，已知其中的几个量可以求出其余的量呢？

设计意图：设计问题串，以融会贯通的方式对数学公式进行组织整合，尽可能地体现公式本质之间的联系，掌握公式之间内在联系，为学生创设条件和机会，让他们建构出自己的知识结构，并不断将其优化，实现数学公式的深度学习。

5.体会分享，课堂小结

本节课你有什么收获？

设计意图：深度学习蕴含理解、总结和反思的过程，学生从知识和方法上进行多角度的总结和梳理，培养学生善于反思的学习方式，为其后续新知的学习积累基本的活动经验。

二、初中数学公式教学中深度学习的思考

（一）应精心设计问题情境和问题串，引发学生认知冲突和深度学习

数学公式的学习往往是枯燥无味的，传统的数学公式教学一般停留在对学生数学公式的记忆和技能的熟练与重复，学生学起来索然无味，更谈不上思维能力的发展。从学生身边熟悉的现象出发精心设计问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲；基于学生学习经验，站在学生学习的“最近发展区”精心设计层层递进的问题串，引发学生认知冲突和深度思考。

（二）应给学生足够的时间和空间对公式的生成进行探究和深度学习

教学过程是一种特殊的认知活动，更是一种情感过程、探究过程和体验过程。数学探究教学是以探究数学问题为主的教学，是学生获得数学知识并培养探究能力的有效途径。合作探究式教学作为一种重要的教学形式，日益凸显出它的优越性，也得到了教育界广泛的认可与推广。以往的公式教学侧重于记忆应用公式，忽略了公式的探索过程。学生死记硬背、生搬硬套，不会灵活运用公式。学生只有真正理解了公式的本质，才能活学活用。教学中，放手让学生通过设计表格、填写表格、小组讨论等活动进行合作探究学习，学生经历了公式的生成过程，形成了积极的情感体验和对公式的正确认识、理解，而不是只看到“冰冷”的公式。在探究过程中，学生找到了公式探究的一般方法，在学习中学会类比数学方法，在对比中进行学习、成长，既是对已有思想方法的回顾，也是探索新公式的必经之路。在课堂教学过程中，教师要学会放手，培养学生独立思考的习惯，重视学生是思考过程和想法，培养其创新能力，通过学生自主探究、小组合作讨论，逐步实现发展。

（三）应注重对公式的辨析，激发深度学习

公式教学不仅要让学生了解公式是怎样获得的，让学生掌握公式本身，还要让学生关注公式的变形及其应用，理解公式变量之间的关系，对比公式与公式间内在联系和形态上的同构，开阔学生的视野，培养学生思维的灵活性。在这个学习过程中，学生获得了数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，增强了发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，发展了数学学科核心素养。

（四）应注重数学思想方法的渗透，促进深度学习

在公式的生成探究、推导、辨析、应用过程中，不仅包含了数学的基础知识、基本技能、基本活动经验，还蕴含着丰富的数学基本思想，如“特殊到一般”“整体与部分”“类比”“方程”和“转化”等。公式推导的过程不仅是对公式进行强化的过程，更深层次的是对数学思想方法进行提炼的过程。学生在教师的引导下，在实践中体验，在体验中感悟，在感悟中思维得到提升和发展；在类比学习中迁移能力得到提高，真正促进了自身的深度学习，能够综合应用所学知识去解决新问题。