思维提升从“画”中来——关于小学数学画图的思考

赵万丹 钱 锦 毛鹏莱

数学是一门研究数量关系与空间形式的学科。现实生活当中蕴含着大量与数量和图形有关的问题。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》提出，义务教育阶段要培养的学生核心素养有以下三个方面：第一，会用数学的眼光观察世界；第二，会用数学的思维思考现实世界；第三，会用数学的语言表达现实世界。“画数学”即用数学的眼光（抽象能力和几何直观）观察世界，并用数学的语言简约、直观地描述现实世界中的简单数量关系与空间形式的过程。在小学数学学习的过程中，画图贯穿始终。

一、为什么要“画数学”

画模型、画流程、画思维导图等都可以称之为“画数学”。“画数学”能够帮助学生抽象出数学的研究对象及其属性，形成概念、关系与结构，理解背后蕴含的数学原理，体会数学的实质，能够让学生在数学与现实生活中及其他学科之间构建普适的数学模型，表达和解决问题。

例如，在“数的认识”教学中，用连线的方法找到数量之间的一一对应关系，并进行大小的比较，非常简洁明了。在“十以内的加减运算”教学中，用大括号、实线圈表示合起来，虚线圈、斜杠表示减去，就非常清楚直观。在“笔算乘法、笔算除法”的教学中，借助小棒图、点子图等，可以让学生很清楚地理解算理。

在解决复杂的问题时，利用线段等图形理解数量关系，数形结合可以有效提高学生分析问题和解决问题的能力。如在认识分数时，利用圆、长方形、正方形、线段等图形进行平均分操作，可以使学生深入理解分数的意义。在进行长方体和正方体的表面积教学时，学生先画出草图、标出数据，再进行计算，就不会出现错误。

二、“画数学”的相关实践

如果在教学中，教师不教授给学生长方体、正方体“三视图”的画法，也没有讲解过如何标注数据，同时，课堂上的画图只是“昙花一现”，课后“画图”作业又是空白，那么学生对画图就会表现出“踌躇不前”的畏难心理。为了改变老师一再强调画图，而学生却不为所动的状态，并且让学生能够发自内心认可画图的重要性，自觉自愿地画图，教师要利用长方体和正方体这一单元的相关“画材”，对学生进行“画”的能力训练。教师先示范，然后学生模仿画出全图，标出相应数据。在训练过程中，教师可以结合抽象程度，给出学生长方体的长、宽、高，或正方体的棱长等相关数据，让学生试着画出半图，并利用半图进行表面积、体积的计算。

（一）画出区别——让概念的理解更加深刻

在长方体和正方体的教学过程中，学生对于表面积和体积涵义的理解上有时会发生混淆的现象，以一道辨析题为例：

例1 辨析题“棱长为6 cm 的正方体表面积和体积相等。”有的同学通过计算后得出表面积和体积的结果都为216，因此有的学生判定这道题是正确的。原因在于学生错误地认为只要计算结果相等，那么这个正方体的表面积和体积就相等，却忽略了计算过程、计算结果所蕴含的实际意义。而学生通过画图（图1、图2）进行辨析，就可以清晰的理解表面积和体积的推导过程和结果所表达的不同含义。

图1

图2

1.画图可以体现出推导过程的不同。虽然二者都用算式“6×6×6”计算，但是结合示意图可以知道，两个算式的含义并不相同。求表面积时的推导过程（图1），“6× 6”求的是正方体一个面的面积，再乘以6 求的就是6 个面的总面积。而求体积时的推导过程（图2），“6× 6×6”表示用棱长为1 cm 的小正方体摆出棱长为6 cm 正方体的小正方体的个数：一排有几个,也就是正方体的长是几厘米；摆了几排,也就是正方体的宽是几厘米；有几层,也就是正方体的高是几厘米；一共用了几个小正方体,小正方体的个数也就是正方体的体积推导过程。棱长为6 cm 的正方体体积就相当于用棱长为1 cm 的小正方体一行摆6 个，一层可以摆6 行，一共可以摆这样的6 层，一共用了216 个小正方体，即6（厘米）×6（行）×6（层）=216（个）。

2.画图可以体现出推导结果的不同。图1 表示的是正方体的6 个面，其中阴影部分表示的是一个面的表面积，因此，可以很清晰地看出，正方体表面积表示的是正方体6 个面的面积之和，即棱长× 棱长，单位是cm。图2 表示的是216 个小正方体摆出的正方体的大小，很显然体积表示物体所占空间的大小，即棱长×棱长×棱长，体积的单位是cm。

（二）画出联系——让整体与部分的关系更加清晰

例2“刘叔叔将一个长方体的木块垂直于高裁去3 cm 后，木块的表面积减少了60 cm，变成了一个正方体，原来长方体木块的体积是多少？”根据问题，我们要想知道体积，就必须知道长、宽、高。这一问题，通过画图（图3）就可以轻松解决。通过画图可以看出，减少的表面积等于裁去长方体木块前、后、左、右4 个面面积之和即60 cm。而长方体裁去一部分后变成正方体，说明原长方体的长和宽相等（即裁去长方体的4 个侧面面积相等），并且比高少3 cm。列式如下：

图3

长方体的长、宽（截取之后正方体的棱长）：60÷4÷3=5 cm；

长方体的高：5+3=8 cm；

因此体积=5×5×8=200 cm。

学生画出了图之后，并标明具体的数据，很快就可以看出整体与部分的关系，通过整理已知条件和问题，轻而易举地实现文字信息—想象—图形信息的转换。

（三）画出多种情境——让数学思维得到深化

在长方体和正方体中教学中，还涉及到切割和拼接后，增加了切割面，同时体积大小也发生了变化。

例3“两个完全相同的小长方体，长6 cm，宽5 cm，高3 cm，用它们拼成一个表面积最小的长方体，拼成后的长方体的体积是多少立方厘米？”两个相同的长方体拼在一起，一共有三种拼法。哪一种拼法拼成后表面积最小呢？其实拼接问题也可以看作是切割问题，即把两个长方体拼接在一起可以看作是把一个长方体切割成两个长方体。我们把拼接问题转化成切割问题后，问题就变成了有几种切割方法，哪种切割方法增加的表面积最小。我们可以预设三种切割方法：

预设1：长方体沿垂直于长的方向切一刀（图4），分成两个完全一样的长方体。

图4

预设2：沿垂直于宽的方向切一刀（图5），分成两个完全一样的长方体。

图5

预设3：沿垂直于高的方向切一刀（图6），分成两个完全一样的长方体。

图6

比较哪种预设切法表面积增加的最多？哪种切法表面积增加的最少？

由画图可知，沿垂直于高的方向切一刀（图6）表面积增加的最多。因为增加的两个面，每个面的面积都等于长方体表面的6 个面中面积最大的面（此题中为上、下面）。因此，学生能够很快想出要满足“表面积最小”这一条件，则需要把两个小长方体中最大的面拼接在一起。也就是把两个长为6 cm，宽为5 cm的面拼接在一起，也即图6切法。我们也分3种情况（图7）进行讨论验证，同样验证了，表面积最大的面拼接（图7中的②），即沿垂直于高的切割方法（图6）得到了最小的表面积。拼接后大长方体的长为6 cm、宽为5 cm、高为3+3=6（cm）。

图7

三、怎样“画数学”

（一）画出关键条件，充分发挥“画数学”的直观性优势

在实际的数学教学活动中，对于有画图条件的题，教师应引导学生将问题中的关键条件画出来，让学生充分感知到几何直观，培养学生良好的“画数学”习惯。引导学生在今后的学习过程中，通过画图来分析问题、解决问题，从而促进几何直观思维的培养。

以一年级的排队问题为例，例4“小朋友们排队做游戏，从左往右数，乐乐排第十，从右往左数，乐乐排第五，这排一共有多少名同学？”大部分学生都是用10+5=15（人）。此时再引导学生用画图的方法进行验证，先用△确定为题目中的“乐乐”，再用不同的图形，如○等表示出从左开始数的前九个人，从右开始数的前四个人。从图中可以发现，乐乐被算了两次，因此，正确列式为：10 + 5 - 1 = 14（人）。通过比较两次的解题过程引导学生发现：第一次列式计算得到的结果存在误差，而用画图的方法能够既快速又正确的得到答案，由此让学生认识到画图对理解较为复杂、抽象的题目，起到了十分重要的作用。

（二）营造“画数学”的氛围，促使学生主动“画数学”

在具体教学中数学教师应利用例题、习题中现有的“画图”资源，通过对比分析，向学生阐明“画数学”在解决问题时的优势，并创造条件让学生进行有效应用。对能阐明数学本质的优秀作品进行讲解，给予适当表扬和奖励，通过正强化促使学生增加“画数学”这一行为出现的频率，对于存在缺陷的画图给予学生引导和指正，不断提高学生的画图能力，营造“画数学”的氛围，促使学生自觉自愿地画图。

在学习了分数的相关内容以后，教师可以设计这样的题目，例5“有一盘饺子，小立吃了这盘饺子的2/5，小会吃了剩下的2/5，谁吃得多？”以下是三位学生的解答。学生1：五分之二表示把单位“1”平均分成5 份，取了其中的2 份。单位“1”大的，每份的数量就大，那么5 份当中的2 份也就比较大。所以，一盘饺子的五分之二大于剩下部分（五分之三盘饺子）的五分之二，小立吃得多。

学生1 虽然阐明了原因，并且正确判断出了小立吃得更多，但我们还可以通过其它办法来解决这个问题。而学生2 学生3 用不同的画图方式（见图8），不仅将剩下部分的2/5 直观表示出来，还通过不同的思考过程，将思维外显。遇到此类题目时，教师讲评的语言要具有明显的导向性，以促使学生在深刻体验到数学学习中“画数学”的优势之后，增强“画数学”的主动性。

图8

（三）采用多样画图方式，优化画图方法与技巧

在画数学的教学过程中，即使学生已经充分体悟到了画的主要特征与优势，并且能够主动采用画图的方法分析问题，解决问题。但是在遇到较为复杂的数学问题时，学生往往不能很快找到便捷而有效的画图方式，甚至会因此浪费较多时间。因此教师除了教会学生各种画图的方式之外，还应展示不同的画图技巧。然后让学生分析他们之间的区别、联系以及各自的优缺点，从而促使学生掌握更多简单易懂的画图技巧，为培养和提升学生的数学思维能力提供有力保障。

（四）“画”“话”结合，共“hua”本质

在“说理”课堂成长起来的孩子是敢于、乐于发表自己的数学理解的，他们不仅“听得懂、理得透”数学知识的本质，还“写得明、说得清”其中的道理。因此，把“画数学”和“说数学”相结合，可以让课堂由传统以教为主转变成以学生的学为主，让学习真实发生。

学生“画数学”能力的培养并非是一蹴而就的，只有充分挖掘教材中“画”的资源，在每一次的教学活动中逐步渗透“画数学”的意识，训练画数学的方法技巧，才能真正实现以“画”助力，提升学生的几何直观能力。