基于数学史实施深度学习的意蕴、困境与对策

崔海华

数学深度学习是指数学教学中，在教师精心引领下，学生围绕具有挑战性的学习任务，积极参与、深度探究、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。其重点在于关注学生的学习过程，达成深度理解，提升学生综合素养。随着教改不断进入深水区，适合的数学史进入小学数学课堂，让数学史和学生深度学习相融，使学生通过自己的探索与思考，去经历、创造并获取数学知识，对于学生数学核心素养的养成具有重要的意义。然而，由于种种原因，对于数学史的深度教学，许多教师往往只停留在“好是好，但不知道怎么做”的认知层面。因此，进一步厘析基于数学史实施小学数学深度学习的内在意蕴、直面现实困境并从实际出发提出相应的对策，显得尤为重要。

一、基于数学史实施小学数学深度学习的意蕴

作为数学文化的重要组成部分，基于数学史实施小学数学深度学习的价值意蕴越来越受到广大教师的重视。数学史作为学习内容的补充和阐释，能够有效激发学生学习兴趣，帮助教师预测学生学习障碍，发展学生思维，培养核心素养。

（一）呈现知识创造本源，品悟数学本质

小学数学教材中绝大多数的概念和方法，都是为了解决实际问题而产生的，因此，只有深入到知识产生的源头，才能真正理清人类当初创造概念或方法的动机与原因，才能在教学中有效预设真实情境，让学生像当时人们那样尝试着解决数学问题。例如，教材中通常把“比”定义为“两个数相除又叫做两个数的比”，这样的表述是将“比”视为运算，似乎“比”的问题都可以用算术中的除法解决。按照这样的认识，自然会带来教学上的疑惑：既然已经有了除法，为什么还需要比？我们深入考察“比”的数学史，会发现“比”最初的意义并不是算术中的除法运算，而是几何中量之间的“关系”。之前人们发现，解决像人数、时间、长度等可以直接用某种单位进行度量的情况时，可以用算术中除法解决；而遇到像形状、浓度、拥挤程度等不可以直接用某种单位度量的情况时，只能用几何中量之间的“关系”进行解决，这就是最初的“比”。只是后来随着算术与几何的融通，比的意义才逐渐从几何进入算术，出现算术运算的意义。于是“比”的源头及其数学本质跃然而出。

（二）预见学生学习障碍，优化学习过程

德国生物学家海克尔认为：个体的发育史将会重蹈其种族的发展史。具体到数学教育，就是学生学习数学的认知过程与数学史发展的过程是相似的，这就是著名的“历史相似性原理”。数学史家波利亚进一步指出：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好地判断”，即我们可以通过数学史，准确甄别、预见学生学习某一知识时所遇到的障碍，进而可以优化学习过程，通过巧妙预设，给予学生恰当的引领。例如，学习“认识负数”时，学生与数学家当初面临的困境是相似的，都是对相反意义的量用原有的数已经不能正确表征；面临的认知冲突没有变，都是在减法计算中较小数不能减去较大数；面临的认知拓展挑战没有变，都是没有“存在比0 还要小的数”的认知等等。教师如果提前作出正确预判，就可以更好地预设教学，有针对性地指导学生学习，达成学习过程的优化。

（三）感悟数学思想方法，发展高阶思维

数学思想是数学的灵魂。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对于数学核心素养构成“三会”的表述，一方面凸显了数学学科发展对于数学思想方法的依赖，另一方面彰显了核心素养发展中数学思维的引领价值。深度学习的课堂必然是基于数学思想方法引领、以促进学生高阶思维发展为主旨的课堂。例如，学习“圆的面积”时，教师通常都把转化作为重要的数学思想和方法。但考察“圆的面积”的数学史，发现古人也曾经采用在圆的内部画多边形和在圆的外部画多边形，试图通过不断增加多边形的边数来求圆面积，都没有成功。直到17 世纪，德国天文学家、数学家开普勒受到切西瓜的启发，把圆分割成无数个小扇形，利用无穷小扇形面积与它对应无穷小三角形面积相等，采用无限分割、化曲为直的方法才得到了完美地解决。以此可知，重要的是要让学生体悟无限分割、化曲为直的极限思想。要从数学思想方法的高度整体关注数学教学，居高望远，不断发展学生高阶思维，提升学科核心素养。

二、基于数学史实施小学数学深度学习的困境

尽管国内外教育研究者对数学史融入数学教育都有较高的评价，但较高的评价却并没有引发行动上的较高水平的应用，基于数学史实施深度学习的教学现状并不乐观。

（一）教材内容与课标要求相脱节

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出，教材编写理应适时介绍包括数学发展史在内的有关背景知识，便于更好地开展数学课堂教学。然而，现行的小学数学教材对于数学史素材的渗透相对较少，像人教版和苏教版的教材，只在部分单元习题之后以阅读材料“你知道吗”的形式给予呈现，很少在正文中安排数学史内容，能够高度体现数学知识与数学史内容密切契合的内容更是少见。

（二）教师素养与深度教学不相称

教师对于实施深度教学的主导性作用毋庸置疑，然而很多教师既没有受过数学史的相关培训，也没有对相关数学史的内容进行过较为深入地探究，即便在公开课上拿出来用一用，也只是对数学家的故事、概念产生发展的历程、有趣的历史名题等作简单、肤浅的介绍。数学教师自身数学史素养的不足，加上教学指导力的匮乏，数学史不根植于学生内在，不能与数学思想方法、数学知识同生共长，游离于数学教育之外就成了一件十分正常的事，更不用说教师会深度思考“为什么要渗透数学史”“什么环节使用数学史”“如何与教学内容有机融合使用数学史”……可见，小学阶段数学史融入课堂教学的深度和广度还远远不够。

（三）素材资源与拓展延伸不匹配

与“高评价、低应用”相对应的是小学数学史料素材资源比较少。一方面，虽然每个数学知识的背后都有极为丰富的数学发展史，但由于小学生所学的知识都是人类早期的成果，所能找到的相关记载并不多；另一方面，适用于小学数学教学特点的相关数学史的课程资源、教学材料较为少见，即便课标中所提及的数学家的故事、数学概念的形成与发展，在教材编写过程中也很少涉及。虽然有很多数学史的科学研究，但缺少适用于小学数学的数学史教学素材，导致师生有无米之炊的无力之感，成为基于数学史实施深度学习的较为重大的阻碍。

三、基于数学史实施小学数学深度学习的策略

如何充分发挥数学史教育价值，将数学知识的源流、数学思想方法的价值、数学文化的魅力以及师生的主观能动性融为一体，积极探索并实践基于数学史实施深度学习的路径与策略，成为当下迫切需要解决的问题。

（一）改变教学观念，挖掘资源建构范式

教师应基于学生发展可能，切实结合课标要求，立足已有资源基础，从基于数学史实施深度学习的高度出发，多阅读、多研究、多掌握与小学数学教学相关的数学史资料，积点成线、连线成面，特别是能够将相关的数学史料融入现代数学教学的思想与框架。一方面，主动补充、挖掘数学史素材，提升阅读材料的深度与广度，真正理清知识的来龙去脉，据史寻找学生思维突破点、生长点。另一方面，合理建构相关研究范式，化繁为简，真正使数学史成为课堂深度学习不可或缺的一部分。例如，从数学史料出发，开展基于数学史料深度课堂的备课，形成“三备”范式，即备内容、备学生和备方法。要求教师综合思考数学史、学生学习障碍与学生现有的学习起点，不断追问古人为什么要创造这个知识。在整理清楚知识来龙去脉的基础上，提炼出知识的数学本质，进而思考如何将数学史知识、学生的现实融入深度课堂的过程。“三备”看似线性，实则相互渗透，根据备课需要随时切换，达成基于数学史精华的教学设计。具体如下：

图1

（二）实施单元构建，突出主线建构关联

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》从一致性、发展性出发，将单元整体设计作为撬动课堂转型的一个重要支点。基于数学史的课堂，可以有效关联历史，探究知识源流，呈现知识脉络。因此，以单元作为数学史融入的基本单位，不仅有时间和空间上的持续保证，内容上的上承下达，还能将现时的学习与历史脉络相印证、相融合，促进学生深度体验、深刻感受数学的意义与价值。例如，将单位1 融入“因数和倍数”单元，学生在学习分数时，已经理解掌握了一个长度单位，如1 厘米、1 分米、1 米或任意的长度可以分别看作单位1。当长度单位与“因数和倍数”进行单元统整时，可以从“分”与“聚”两种数学史发展的常见角度设计探究过程。“分”指向因数的学习，如给定一条整数长度的线段，可以被哪些整数长度的线段（单位1）量尽；“聚”指向倍数的学习，如把一整数长度的线段作为标准（单位1），若干段可以量尽哪些长度的线段。同样地，也可以将面积单位分别看作单位1，与“因数与倍数”进行统整，作为研究主线，实施深度教学。

（三）注重形态转化，探索创造超越结论

最原始的数学史料通常难以理解，需要教师对其进行符合学生阅读学习的加工处理，转化为学生喜闻乐见的形式呈现。华东师范大学汪晓勤教授总结提炼出“附加式、复制式、顺应式和重构式”等四种运用数学史的方式。尤其是重构式，要求教师站在历史的高度，明晰数学知识源流、数学思想演进，把握知识本质、创设有效情境，在人类认知提升的关键节点上，给予学生充分的时空，运用已有的数学经验经历再创造过程，达成深度理解。例如，学习“小数的意义”，教科书上通常将“元”和“角”之间的十进关系，结合分数的意义作为例题开展教学，但从教学效果看很不理想，原因在于：一是随着微信、支付宝等网络付费的普及，学生使用实物人民币买东西的机会很少，对于“元”和“角”之间的关系不太熟悉；二是通过“1/10 元也可以用0.1 元来表示”，从分数的意义引入小数的意义，学生难于理解。通过数学史料研究发现，小数的出现始于长度单位的度量。刘徽在《九章算术注》中提出：最小的长度单位是“忽”，当“忽”还嫌大时，需要把它再平均分成10 份、100 份……，得到更小的数“微数”，即小数。因此，在教学中，从学生已知的最小计数单位“个（一）”出发，把它作为标准，往右退一作十，以此得到比“个（一）”更小的计数单位。由此，学生完成思维突围，创造了小数，沟通了十进计数法、小数意义和分数意义之间的联系，整数、小数、分数基于数学本质实现了统一。

（四）融入信息技术，再现情境凸显人文

信息技术的发展日新月异，有可能的条件下组织学生观看一些数学概念产生、发展的模拟过程，甚至可以让学生借助网络多媒体模拟一些易于操作的数学知识发展过程，直观形象地通过情境再现历史，激发学生对数学史的共鸣、人文情怀的关照，赋予数学教科书知识以温度，有利于激发学生学习兴趣，减少学生理解难度，彰显数学史的人文魅力。例如，教学“三角形的面积”时，可以回溯到“三角形面积”产生的历史源头，通过屏幕声像打开穿越通道，创设让学生重回古老的埃及的情境：在这里，人们靠着尼罗河冲刷出的土地种植庄稼，但尼罗河每年都会泛滥，河水退后，两岸人民每年都面临重新丈量土地和公平划分土地的问题。由此激发学生计算三角形土地面积的兴趣。这样的引入，既让学生明白三角形的面积计算的必要性，同时也感受到其数学史之源。也可以根据刘徽《九章算术注》中对三角形的面积采用“半广以乘正从”的方法，创设探究情境，引导学生深度学习。

物理学家、哲学家恩斯特·马赫认为：没有任何科学教育可以不重视科学的历史与哲学。数学史不只是历史人物、历史事件和历史概念串成的故事，更是故事背后的数学问题、数学思想、数学方法和人文精神。基于数学史的小学数学深度学习课堂可以使师生沟通历史与现实、数学与人文，师生在课堂中穿越时空，在数学理解中不断深入数学本质，树立文化自信，获得素养提升。