M-矩阵Fan积最小特征值估计

李 华,李亚杰

(河南城建学院 数理学院,河南 平顶山 467036)

1 预备知识

记N={1，2，…，n},Cn×n(Rn×n)表示n阶复(实)矩阵集.设A={aij}∈Rn×n，若aij≥0(aij>0)，则A为非负(正)矩阵,记Zn={A=(aij)|aij≤0,i≠j},设A=(aij)∈Zn,若A=sI-B,B>0,s≥ρ(B),则称A为M-矩阵.若s>ρ(B),称A为非奇异M-矩阵.非奇异M-矩阵的集合记为Mn.称τ(A)=min{|λ|:λ∈σ(A)}为矩阵A的最小特征值,其中σ(A)表示矩阵A的谱集合.

对于两个M-矩阵A=(aij)与B=(bij)的Fan积的最小特征值τ(A*B)估计,前人已经做了很多研究,文献[1]给出了一个经典结果：

τ(A*B)≥τ(A)τ(B)

(1)

文献[2-7]分别得到如下结果：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

本文继续对M-矩阵A与B的Fan积的最小特征值估计进行深入研究,得到新的估计式,且精度有所提高.

2 主要结果

引理1[1]设A=(aij)∈Cn×n,则矩阵A的所有特征值位于下列区域之中：

引理2[8]设a=(a1,a2,…,an)T≥0,b=(b1,b2,…,bn)T≥0,则有：

引理3[9]设Q∈Mn且不可约，若存在不等于零的非负向量Z使得Qz≥kz,则τ(Q)≥k.

定理1 设A=(aij),B={bij}∈Mn则有

2.假设A*B为可约矩阵,则A和B中至少有一个是可约的.设P=(pij)是n阶置换矩阵,则p12=p23=…=pn-1,n=pn,1=1,其余的pij都为零.对任意的ε>0,让ε→0使得A-εP,B-εP是不可约非奇异M-矩阵,用A-εP,B-εP分别代替A和B,让ε→0,由连续性,可知结果成立.

定理2 设A=(aij),B=(bij)∈Mn,则有

γij=αiαjβiβj(aii-τ(A))(ajj-τ(A))(bii-τ(B))(bjj-τ(B)).

设λ=τ(A*B)，由引理1知

|λ-aiibii||λ-ajjbjj|≤Ri[W-1(A*B)W]Rj[W-1(A*B)W]

其中γij=αiαjβiβj(aii-τ(A))(ajj-τ(A))(bii-τ(B))(bjj-τ(B)).

2.假设A*B为可约矩阵,则A和B中至少有一个是可约的.设P=(pij)是n阶置换矩阵,则p12=p23=…=pn-1,n=pn,1=1,其余的pij都为零.对任意的ε>0,让ε→0使得A-εP,B-εP是不可约非奇异M-矩阵,用A-εP,B-εP分别代替A和B,让ε→0,由连续性,可知结果成立.

定理3 设A=(aij),B=(bij)∈Mn则有

证明:不失一般性，假设对任意的正整数对i,j∈N,i≠j,有

则有：

则有：

注1：定理3说明定理2改进了定理1的结果.

3 数值例子

给出数值例子验证本文结果的优越性.

由公式(1)得：τ(A*B)≥0.191 0.由公式(2)得：τ(A*B)≥1.523 9.由公式(3)得：τ(A*B)≥1.523 9.由公式(4)得：τ(A*B)≥2.983 3.由公式(5)得：τ(A*B)≥3.188 5.令α=0,利用公式(6)得,τ(A*B)≥3.由公式(7)得：τ(A*B)≥3.016 0.应用本文定理1,τ(A*B)≥3.201 1.应用本文定理2,τ(A*B)≥3.205 8.实际上,τ(A*B)=3.229 6.

注2：从数值例子的结果可知,本文定理1和定理2的结果在一定条件下优于一些已知结果,可作为该研究领域的一个补充.