追求更加自然的数学教学*——以“正、余弦定理”为例

江苏省新沂市第一中学 (221400) 吴玉章

力求“教学自然”、能够“自然的教”早已成为了教育界的共识，但“自然”本身的内涵就是一个需要逐渐明析和掌握的对象.虽然夸美纽斯在《大教学论》中也提出了教育要遵循知识的自然逻辑顺序与学生的自然认知规律的观点，但怎样的逻辑顺序与认知规律才算“自然”依旧在探究发展之中，实际教学中，“自然不自然”既要依赖于个体的主观判断，更需要广大教师得法的“自然”实践.

1.尊重教材意图就是自然？

教材并不仅仅是知识的载体，更是教师开展教学的范本.教材中知识结构、内容分布、呈现方式等都是教育专家深思熟虑的结果，是教育智慧的结晶，承载着发展学生核心素养的育人功能.教材也在不断的升级更新，其编写细节处理也趋向完善，以人教A版数学教材来说，2019版在各方面的表现显然超过了老版.因此，很多教师就以为，只要对照教材教，尊重教材的意图，教学就会“自然”.

在人教A版(2019)中，正、余弦定理的引入是借助初中全等三角形判定定理引入的.因为，全等三角形判定定理中涉及到三角形的边角关系，而正、余弦定理恰好是对边角关系的定量刻画，把这两者联系起来确实是“自然”的.在余弦定理的推导中，教材通过对“边角边”这个判定法则合理性的思考，提出如何把这个法则“代数化”“定量化”的问题；再通过类比向量数量积公式，发现“两边一夹角”的共同特征，从而想到了用数量积运算来推导余弦定理.不可否认这个过程也是“自然”的.在正弦定理推导中，教材先借助直角三角形的特殊性猜想出边角关系，然后再构造向量数量积去证明推导，这个过程看上去似乎也是“自然”的.众所周知余弦定理与正弦定理是三角形边角关系的两种表征，其本质是一致的，但两个定理的推导过程没有充分体现这一特性，余弦定理直接用数量积推导，而正弦定理却先要借助直角三角形进行猜想，这种“双标”的操作就显得不是那么“自然”.

虽然，凸显“自然”是教材编写的一大原则，但并非是唯一原则.教材的编写不仅要兼顾各方因素，不能做到十全十美，因此，照搬教材不可取，教师应该坚持“用教材”的原则，通过自己的教学智慧弥补教材中的不足，也只有这样才能确保教学“自然”.

2.学生听得懂就是自然？

虽然说让学生听懂是数学教学的最基本要求，但由于数学具有高度抽象化及形式化的特征，学生要真正听懂数学其实也并非易事.这需要教师想办法把数学抽象的学术形态转化为易于学生理解的教育形态，这就要求把数学以一种“自然”的方式呈现给学生.于是就有教师认为，只要学生听懂了，“教学自然”就达成了.事实果真如此吗？

为了凸显正、余弦定理的一致性、统一性，有老师尝试用新的方法来推导，从而实现“一箭双雕”效果：

图1

虽然推导方法简单、简洁，而且多数学生都能听懂，但难就难在“图形构造”上.不仅学生很难想到，而且教师也很难给出相应的解释，比如，为什么这样构造？这样构造有什么好处？因此，这种证明方法并不那么“自然”.

其实，“自然”的教学过程有助于学生听懂与理解，但若要让学生是否听懂并取决于教学是否“自然”.教师可以通过一些手段促使学生听懂，比如讲慢一点、设置一些铺垫性的问题、多做点配套的练习等.不仅如此，有时学生听懂了也并不意味着理解，“懂而不会”的现象也在数学教学中广泛存在.

3.揭示知识本质就是自然？

数学本质宏观上指的是数学观,即数学思想、数学文化、数学精神，微观指的是具体数学内容的本真意义,也就是我们所教知识的本质意义.数学本质作为数学的核心价值，是数学课程标准中强调需要加深认识和理解的关键内容.数学知识往往都有多重表征，变化多端，但数学本质相对稳定，掌握了数学本质不仅有助于更好的理解知识，而且对数学本质的揭示，有助于学生表达现实世界的数量关系、规律和结构，从而为核心素养的培养奠定基础.因此，那么是不是揭示了数学本质，数学教学就“自然”呢？

图2

三角函数所以被称为“圆函数”因为它本质上就是圆性质的三角表征，这就是为什么对于三角函数的研究都是借助单位圆模型来完成的.其实，正、余弦定理也不例外，它们的背后也隐藏着圆的几何属性.对于正弦定理，显然它所对应的几何意义就是“圆的直径”，这也是正弦定理的几何本质.对于余弦定理，它对应的几何本质实际上就是“圆幂定理”，即余弦定理是“圆幂定理”的几何表征.如图2，△ABC在中，以C为圆心，较短腰CB为半径作圆，交AC及其延长线于F、E，交AB于G.由圆幂定理得|AG||AB|=|AE||AF|，即(|AB|-|GB|)|AB|=(|AC|+|BC|)|(|AC|-|BC|)，c2-2accosB=b2-a2，即b2=a2+c2-2accosB，同理可以得到余弦定理的另外两种形式.

上述定理的推导过程看上去“自然”，并且揭示了余弦定理的几何本质，但遗憾的是没有体现向量的工具作用.当下的教材中，正、余弦定理从三角函数单元中剥离出来，编排于“向量的应用”之中，其意图是通过这两个定理的推导，来进一步凸显向量在研究平面几何问题中的工具作用.而以上定理推导不符合教材的意图，因此就很“不自然”.

4.到底怎样才是自然？

用“自然”理念来指导数学教学，不仅要求数学概念产生、数学问题提出与解决是数学知识逻辑发展所自然产生的，或者是学生在学习中能自然感悟到的，是基于他们原有的数学认知结构的自然发展与完善，而且还要把“自然”贯穿到教学的全过程，在尊重知识前后的连续性、一致性及联系性的基础上，自然的呈现知识、自然的产生问题、自然形成的方法、自然的环节过渡.比如说，上述提及的余弦定理是用数量积直接推导，而正弦定理是借助直角三角形先发现后证明，即两个定理推导思路不一致的问题，我们可以这样去解决，即在余弦定理推导中不妨也借用一下“直角三角形”.

问题1 三角形中有关于边的等量关系吗？(直角三角形中的勾股定理，即b2=a2+c2)

问题2 如果这个三角形不是直角三角形，勾股定理还满足吗？(不满足)

问题3 如果是锐角或钝角三角形，那么它们三条边的平方满足什么关系？(借助特殊值进行验证，发现锐角b2a2+c2)

问题4 如果要把三条边平方的不等关系变为相等关系，应该怎么做？(左右一个数，这个数跟对应的角有关，相当于已知两边一夹角求第三边)

通过上述问题引导，学生不仅能回到推导余弦定理的正轨上，而且经历了借助直角三角形去发现定理的过程，这为正弦定理的“自然”推导积累了经验.

由于“向量的工具作用”贯穿本章的始终，因此，在两个定理的推导中要始终围绕着向量研究几何问题的一般步骤来设计教学流程，即几何关系向量化——向量运算——运算结果“翻译”为几何关系.这样才能保持教学的一致性与连贯性，从而确保了整个单元的教学“自然”.

当然，教学不可追求人为的“自然”而生搬硬套、矫情造作，而是在于引导学生自然的去发现、去创造，使学生在不知不觉中完成了学习任务、发展了数学核心素养.