一节解题教学课例的任务分析

浙江省湖州新世纪外国语学校莲花庄校区 (313000) 胡承丽

众所周知,解题教学是高中数学复习教学的重要环节,解题教学质量的高低直接决定复习教学的效果.如何提高解题教学的质量呢?一般而言有以下几个基本要求:问题设计最优化;思路探求主体化;思维过程显性化;解题方法多样化;重要结论工具化;解后反思制度化等等.而对一些匠心独具的数学高考题的课堂教学研究显然不仅能够吸引学生的注意力、提高他们的解题兴趣；而且还能在某种程度上解读出“不一样”的信息，为后续教学和学习注入“新的想法”,以获得方向性指导.下面笔者结合最近观摩过的一节有关学考复习的公开课,来作些剖析与探讨.

1 一节高二课堂解题教学课例的剪辑

在高二年级实验班的一节有关学考复习的解题教学课上,任教者提出了一个问题:即2021年浙江高考第17题.要求学生自主探索并独立求解，若遇到障碍或解题完毕后均可以小组交流.为了有效展示和暴露他们解题策略的思维轨迹,要求他们把解题中的思维过程真实的记录下来,并在幻灯片给予展示,同时要求解题者加以解说.

经过大约十分钟后,教师要求学生展示其“研究成果”.

后续想用“柯西不等式”来解决问题，仍在探索之中，没有解完.

师:好的，通过生1的分析我们不难发现:这样整个问题中向量只是作为条件，完全仅考查基本概念，而多元最值问题才是根本，也是难点，综合性和灵活性都很强.

生2:前面的过程我们小组得到与生1相同的结论，而所求表达式的结构特点也使我们不约而同的想到用“柯西不等式”来解决问题，过程如下:

师:很好，通过生2小组的过程展示和我们的学习经验，可以发现在日常学习中，“不等式法”是解决“最值问题”的常用方法，而二元和三元的柯西不等式是不可或缺的方法.这道问题我们不难配凑出三元柯西不等式的形式，于是解题便水到渠成了.通过刚才的课堂巡视，我发现很多同学采用了这种方法，那么还有其它解法吗？

师:很棒！对于“多元最值问题”，最常用的思路之一，就是利用“消元策略”破除难点，简化问题.以上解法就是通过代入消元，再确定“主元”之后利用二次函数性质较顺利地解决了问题.还有其它意见吗？

生4:因为向量既具有“代数”的特征，又具有“几何”的特性.所以向量题往往可以通过结合几何直观来进行分析.据此我们小组得到如下解法.

图1

师:好的！以上的这种方法，充分地利用了向量投影的几何意义，并通过投影点所处位置的精确分类，慎密地达成解题目的.也显示出小组合作的强大功效！还有后续的思路吗？

生5:我的思路和上面生4的解法大体相同，但我个人觉得他们的解法有点“小题大作”了!如果通过合理地推导，可能可以很大地提高解决问题的速度与效率.我的解法具体如下:

图2

师:嗯，好的！我觉得有种“同曲异工”之妙.以上解法除了像生4一样也利用了“向量投影”的几何意义之外，还通过“控制变量”的思想方法进行“构圆”.解题过程中充分利用了客观题本身的特点，步骤虽不严密，但采取的“合情推理”的方式分析思路使问题解决的时间得以缩短.很具有针对性，要不要点赞一下?

下面同学纷纷点赞，课堂气氛非常热烈.于是乎教师想趁热打铁，更上一层楼.接着询问有没有其它思路或解法?教室里反而瞬间冷却下来，没有同学要求发言，这时教师进行了适当地提示.

师:同学们，上面两位同学是充分利用了向量的几何意义进行思路探讨.如果我们从所示的结论出发进行研究，例如分析x2+y2+z2的结构特点的几何意义，大家思考一下，有没有新的发现?

几分钟后，就有同学要求发言.

师:通过模式认别不难发现:代数式蕴含的几何意义——空间中的“距离”要素，即“点点距离”，从而转化问题，突破难点.可是同学们前面为什么没有想到呢?我觉得还是对空间坐标法的应用不够熟悉和重视有关，仅仅对空间向量在立体几何中的运用较熟练而已.那么构造平面距离是否不行，大家也可以小组再交流一下.

稍后，就有同学要求发言.

生7:我们小组发现了秘密!具体如下:

师:好,完美!通过对题目条件所涉及到的代数式进行巧妙转化，挖掘出其中蕴含的几何意义——平面上的“距离”要素，即“点点距离”与“点线距离”要素，从而攻克难点，取得成功.生4至生7这四种解法均显现出“数形结合”思想方法的强大解题功效.

这时候还有同学要求发言.

图3

生8:我觉得这道题目还可以结合三角函数去加以解决，具体如下：

师:以上的这种解法，巧妙地利用了“三角函数”在平面向量中的运用，最后通过二次函数的性质解决了问题.虽然综合性较强，较难以想到，但是却能够在一定程度上提高我们运用综合知识的能力，值得尝试.还有其它发言吗?

教师看到没有其它同学要求发言，于是让大家对上面的方法进行比较,谈一下自己的感想.

生9:我们小组认为生2与生3这两种解法可能更加常见、容易想到;而生4与生5这两种解法与平常向量问题的几何解法也比较贴近，也不失普遍性，比较容易接受;生8的解法后面部分利用了三角的工具性，综合性相对较强，有一定的难度;而生6与生7这两种解法对于我而言似乎是神来之笔，颇有点鬼斧神工的味道，看样子还是我“修行不够”啊!

教师看到有大多数的同学点头赞成生9的观点,少数没有表示的同学也没有发言.

师:上面的方法丰富多彩,各具特色,并且有些方法看起来思路新奇、过程曲折,虽然难以想到,但是对于我们高二学考总复习而言,各个知识点的相互联系,综合交叉,从整体知识的运用和把握上来说对复习效果可能更是有益.也就是说,只有更加全面的、综合的掌握和运用知识,我们才能在考试中想到更简洁、更高效的解法.事实上，除以上解法之外，老师也想出了另外几种解法，现在展示其中一种较简单的“数量积法”，其它的我们可以在课外再讨论.

教师看到同学们看后均点头表示理解，便顺势提出下面的问题.

师:同学们,我们可以高屋建瓴看一下,上面的解法运用了哪些数学思想方法？

生10:生2与生3的解法主要分别利用了“不等式法”“二次函数法”,生6与生7所在小组还有老师的解法主要分别利用了“构造法”,这些实际上都用了“转化思想”;其它小组主要利用了“数形结合法”.

师:好的,上面同学讲的方法非常细到.当然,各个解法中并非绝对只用了某一种数学思想方法,它们之间有时也是相互渗透的.另外,将问题进行改编是我们研究数学问题经常运用的方法,下面请大家思考一下,能否把上面的问题改编?

改编数学问题同学们也并不陌生,同学们花了一些时间就陆续展示了若干成果.

变式4 变“求x2+y2+z2的最小值”为“求x2+4y2+9z2的最小值”，其他不变.

随后除变式5让同学们课后解决外，老师让同学们对上面另外几个改编题进行思考,并分组加以解决、展示说明,由于涉及到数学方法与上面展示的方法大体类似,在此不再赘述.

师:由于时间关系,前面可能有些同学还没有改编好,那么没有改编好的问题请大家课外再加以解决.下面请同学们总结一下这节课的收获.

生8:在这节课里，我们通过一道例题,举一反三,学习到多种解法以及对综合知识的运用,提高了我们的视野和综合运用知识的水平；也学习到了如何进一步改编问题和将问题一般化的方法.并且较深入的感受了“转化与化归”、“数形结合”以及“构造法”等数学思想方法在解题中的作用.

师:高考数学试题具有一些显著的特点,比如解法多样,思辨性强.从高考试题中我们可以看出,虽然其结果是唯一确定的,但是解题思路确实多种多样,并且能够发挥出我们考生们的学习特点.从中还可以看出:我们在平时学习中应该大力加强知识贮备与综合应用能力；另外，我们这节课通过问题设计——思路探求——思维显化——方法展现——变式构造——解后反思的学习过程，烘托出我们平常学习中对于某些有代表性的问题，如一些高考题、学考题的研究，不能仅限于就题解题，在时间与精力允许的情况下应当采取以上解题、析题的程序，这样能够更大程度上提升我们同学们的视野与“题感”，从而提高我们解决问题的水平与能力.

同学们纷纷点头表示赞同,然后老师布置了作业及课外讨论的内容,宣布下课.

2 本课例的数学任务诊断分析

显然，解题教学是高二数学学考复习中的一个重要环节.如何针对学考复习的特点,轻松高效地做好解题教学,是我们高中数学老师所追求的目标.因此进行必要的课例分析是很有帮助的.

在数学任务框架中,数学任务是指围绕发展某个特定的数学技能、概念或思想而进行的一个课堂活动片段,包括问题和师生围绕问题所进行的教学活动.一个任务既可以包含一节课中与某一复杂问题相联系的几个问题或扩展活动,也可以是整节课的内容.一节课中可以只包含一个任务,也可以有几个任务.

首先，从本课例看来,教师主要是想通过一题多解、一题多变、延伸拓展，从而发挥例题的增值功能.其过程正如上文所述:具体为问题设计——思路探求——思维显化——方法展现——变式构造——解后反思；而因为对于高中数学来说,习题更是浩如烟海.在学考复习中,如何在有限的时间发挥出较大的功能?本节课的任教者是一位教学经验较丰富的中年教师,在上课的过程中能够使例题纵横延伸,其中横向延伸主要指对例题的一题多解的探讨,纵向延伸主要是指改变例题的条件和结论,采取有层次的一题多变的变式教学.从实际上课的进程来看，这无疑是基本达成了设定目标.

其次，在从起点能力到终点能力之间,学生还有许多知识技能事实上尚未掌握,掌握这些知识技能又是达到终点目标的前提条件.从起点能力到终点能力之间的这些知识技能被称为“使能目标”.从起点到终点之间所需要学习的知识技能越多,则使能目标也越多.从本课例来看,由于提供了多种解法并有延伸与拓展,学生要求掌握的“使能目标”可能也较多，估计有很多学生会有理解吃力、掌握时无所适从之感.因此笔者认为教师应建议学生根据自身特点有针对性地掌握相应的“使能目标”，这样才能使这部分学生更有选择性与主动权.

最后,从本课例中学生的终点能力目标分析而言,本节课指导学生进行了一定的题后反思,这便于总结解题规律,优化解题方法,还有利于积累经验,巩固学习成果,真正达到解题的目的.但是我们可以明显看出:本课例中回答问题的同学相对来说大都比较优秀，所以进行错解剖析、正本清源的机会不多.而在学考复习课教学中,我们会发现,有一些错误是学生的共性.如果一味把正确的解法抛给他们,尽管暂时学生会理解它,但时间一长,往往又所剩无几，所以在课堂展示的环节应更加关注一些出现解题差错的同学.笔者通过多年的实践发现,如果把学生经常出现的错误适时展示,让他们自己首先来纠错与证伪,这样印象将会深刻得多.

当然，教师在解题教学中要以学生学科核心素养的培养为出发点,但笔者认为在教学过程中没必要刻意加以显化，正如以上课例，可以通过为学生构建良好的数学学习情境和设计有效的学习任务,在提高数学教学成效的过程中,“润物细无声”的使学生数学学科核心素养不断完善加强.