小学数学核心素养导向的学业测评

人民教育出版社课程教材研究所 王永春

21世纪初，数学课程改革以来，课程理念更加先进，课程目标越来越导向核心素养，课堂教学更具主体性，但是考试评价却没有与时俱进。“然而，学业成就评价改革进展缓慢，特别是考试方式和试题编制方面变化甚微。就数学学科而言，我国仍在沿用旧有的评价方式，纸笔测试的标准化考试依旧盛行，数学试题的编制没有实质性的改变，仍过于关注显性知识和基本能力，却忽视了新课改所倡导的许多新的理念、思想和方法。”

一、核心素养导向的评价体系内涵

教育部于2022年4月颁布了《义务教育课程方案（2022年版）》和《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“数学新课标”），意味着新一轮义务教育课程改革正式启动。课程改革是一个系统工程，接下来要进入教材研究编写、教研培训、课堂教学实施、考试评价等一系列环节的改革，来逐步贯彻落实新课标的基本理念和目标。

数学新课标与《义务教育数学课程标准（2011年版）》[以下简称“数学课标（2011年版）”]相比，在评价方面有一些变化，主要体现如下：

对学业质量进行了界定，确立了学业质量标准的核心地位和作用，把学业质量标准作为评价和考试命题的依据。数学新课标指出，“学业质量是学生在完成课程阶段性学习后的学业成就表现，反映核心素养要求。学业质量标准是以核心素养为主要维度，结合课程内容，对学生学业成就具体表现特征的整体刻画。数学课程学业质量标准是学业水平考试命题及评价的依据，同时对学生的学习活动、教师的教学活动、教材的编写等具有重要的指导作用。”

由上述学业质量的阐述可知，数学新课标把数学核心素养作为学业质量的核心，也就是说，小学数学学业质量标准的核心不是“四基”和“四能”，而是形成与发展“四基”和“四能”的过程中达成的11个核心素养；同时，强调“情感态度”的重要性，认为情感态度是体现数学学科育人价值的重要指标，它与“四基”“四能”相互支撑，共同导向数学核心素养，为学生的终身学习与发展奠定基础。具体概括为以下评估学生核心素养达成及发展情况的三个方面：

（1）以结构化数学知识主题为载体，在形成与发展“四基”的过程中所形成的抽象能力、推理能力、运算能力、几何直观和空间观念等。

（2）从学生熟悉的生活与社会情境，以及符合学生认知发展规律的数学与科技情境中，在经历“用数学的眼光发现和提出问题，用数学的思维与数学的语言分析和解决问题”的过程中所形成的模型观念、数据观念、应用意识和创新意识等。

（3）学生经历数学的学习运用、实践探索活动并进行经验积累，逐步产生对数学的好奇心、求知欲，以及对数学学习的兴趣和自信心，初步养成独立思考、探究质疑、合作交流等学习习惯，初步形成自我反思的意识。

数学新课标强化对考试命题的要求，强调“以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法，综合考查‘四基’‘四能’与核心素养。适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例，题目设置要注重真实情境的创设，提出有意义的问题，实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查。遵循课标要求，严格依标命题。全面理解和体现课程标准要求，依据课程标准所规定的课程目标、内容要求、学业要求和学业质量命题，各领域考查内容所占比例与其在课程标准中所占比例大体一致，难易程度大体平衡，保证命题的科学性”。

二、核心素养导向的学业测评原则

根据新的考试命题理念和要求，在大数据、互联网、云计算、人工智能的时代，应减少对传统的纯计算内容的考查，尤其是复杂数据计算的题目，因为我们人类计算能力再强，也算不过机器人；可把计算内容融入其他题目的考查中。我们应该从数学思维、数学思想方法、数学核心素养等方面进行评价，增加对规律、关系、结构、变式问题、联系实际的真问题、开放性问题等的考查。那么，这也应成为“什么题是好题？什么题不是好题？”的判断标准。基于此，在考试试题编制方面，笔者提出以下几点原则建议：

（一）坚持考查数学本质

学生的数学认知结构由概念、命题、结构、数学思想方法、元认知、非智力因素构成，概念虽然重要，但不是本质的内容。数学的重点是关系、规律、结构、思想方法及问题解决等。因此，命题应尽可能少地直接考查概念及相关判断。例如，学生学习方程的重点在于面对实际问题，能够分析并建立等量关系、用方程解决。如果让学生判断x=0， x=1， a+b=b+a是不是方程，这些考查就没有必要。究其原因： 一是因为这些问题不是方程内容的核心，二是教师对其经常争论不休。再如，最小的一位数是0还是1？严格来说，位数不是纯数学概念，也不是数感的本质，这个题目不易作为考试题让学生回答。我们再次强调，自然数与小数的基础及核心是十进位值制记数法，小学数学的数与运算的本质是对计数单位的表达（分解与组合），教师可以考查这方面的问题。

（二）考查题目具有严谨性

小学数学题目看起来简单，但是也有一个严谨性的问题，如果不加以注意，就会影响学生数学思维和思想方法的水平。

例如，有一道教师经常争论不休的题： 1.25×6的积是几位小数？

实际上这是一个要求不清楚的题，应分类讨论。因为1.25×6=7.50=7.5，如果将积末尾的0舍去，就是一位小数，如果积末尾的0不舍去，就是两位小数。由于题目的要求不明确，导致答案有争论，其实学生的内心是十分清楚的，只不过题目要求不清楚，就使学生判断起来左右为难。

再如，计算图形的面积时，不说明图形的形状，而采取默认的方式。如有一块草坪，底是8米，高是5米，它的面积是多少？

题目中没有说明草坪是什么形状的，学生看到底和高，就默认为是平行四边形，于是计算出面积是 8×5=40（平方米）。这是不符合数学逻辑的，数学的运算与推理是在具备前提条件和规则的基础上进行的。

（三）加强对数学基本思想的考查

数学的思想方法有很多，但是最基本的是数学抽象、逻辑推理、数学模型，其中最重要的是逻辑推理，这是数学本质里最核心的部分。如前文所述，数学运算的算理与算法的本质都是逻辑推理，图形的性质、判断、计算、位置关系、图形的运动等都要用到逻辑推理。因此，应多考查数学思想，少考查可以模仿的计算；即使考查计算，也应多考查计算中的算理部分。在数学的世界里，最重要的不是我们已经知道了什么，而是我们怎么知道的。

三角形面积公式的探索是一个难点，原因是它无法像平行四边形那样转化成长方形或者平行四边形来计算，而是用两个全等的三角形拼成平行四边形来推导面积公式，这个方法学生不容易想出来。那么，除了这个方法，如何启发学生比较自然地利用已有的知识和方法探究三角形的面积公式呢？教师可像下题这样考查转化、推理、建模等基本思想方法：

我们都知道，三角形的面积公式是通过用两个全等的三角形拼成平行四边形来推导的，如果不用这个方法和思路，请你在方格纸上画图，把三角形转化成长方形或者平行四边形，然后推导三角形的面积公式。

数学新课标加强了对演绎推理思想方法的要求，通过直观和计算感悟等式的基本性质及等量相等这一基本事实，进行简单的推理。下面关于长方体的一些性质可以考查学生的推理能力。

如下图所示的长方体，每个面都是长方形。

（1） 根据长方形的性质，EF=HG， EF=AB，所以HG=AB。这是一个推理证明的过程，根据相等关系的传递性的思路，请证明长方体12条棱分为3组，每组有4条相对的棱彼此相等。

（2） 平行关系也有传递性，请证明HG∥AB。请证明长方体12条棱分为3组，每组有4条相对的棱彼此互相平行。

（四）加强对数学核心素养的考查

有很多研究表明，我国学生在解决联系实际的真问题、开放问题方面，在国际上排名并不理想。为此，人教版数学教科书在这方面进行了比较大的改进，但是仍然有很大的改进空间。让学生理解数学抽象、推理思想、模型思想、分析法和综合法有利于提高学生解决问题的能力，从而可以让学生理性地面对著名的“船长年龄”问题（是张奠宙教授早年从国外引进的题目：“在一条船上，有75头牛，32只羊，请问船长几岁？”据说当时我国参与测试的学生有90%以上用给定的两个数据计算出年龄）。

跨学科综合应用也是数学新课标的新要求，举例如下：

著名诗句“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还，两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”，是李白在流放途中突然得知被赦免而即兴创作的一首七言绝句。白帝城位于重庆市奉节县，江陵即现在的荆州市，两地的水路大约340千米，千里江陵是一种夸张的说法，形容路途遥远。如果李白早晨6：00出发，当天晚上12：00到达，保证“一日还”是真的，那么船的顺水平均速度至少是多少？（得数保留整数）

分析：根据给定的信息，从早晨6：00到当天晚上12：00的时间是18个小时，要想当天到达江陵，就要求出船的最小速度，即340÷18≈19（千米/时）。

三、小学数学核心素养质量监测样题

当前，全国各地各级部门均在进行不同年级的数学质量监测，测试题目在不断地向着数学核心素养的目标改进。笔者在此补充一些考查数学核心素养的题目，有些题目的难度略高，可能超过数学新课标的要求，作为对全体学生的要求未必合适，但是体现了数学核心素养方面的考查，可以作为额外加分题供教师参考使用。

（一）选择题

1.观察算式，根据规律判断999999×8的积是（ ）。

3.一个长方形足球场，长110米、宽70米，学生进行团体操表演，如果每个学生占地3平方米，那么这个足球场大约同时容纳（ ）进行团体操表演比较合适。

A．5000人 B．3500人 C．2500人 D．1000人

4.下面是某班学生的身高统计表：

性别身高区间/cm 120及以下121～125 126～130 131及以下男 5人 6人 5人 4人女 4人 5人 7人 4人

全班同学排队做课间操，一共站成8排，每排5人。他们按照第1排身高最矮、第8排身高最高的从矮到高的顺序站队。身高126cm的一共有3人，那么身高126cm的小丽应站在（ ）。

A．第5排 B．第4排 C．第6排 D．第7排

5.从一个钝角的顶点出发，在这个钝角的内部画一条射线，把这个钝角分成∠1和∠2两个角，下面说法正确的是 （ ） 。

A．∠1和∠2一定都是锐角

B．∠1和∠2一定都是钝角

C．∠1和∠2中可能有一个是钝角

D．∠1和∠2中不可能有直角

6.如图，用一副三角尺的两条边拼出了∠1，它的度数是（ ） 。

A．45° B．120° C．135° D．150°

7.钟面上的时间为4时整，时针和分针的夹角是（ ）。

A．90° B．120° C．130° D．150°

8.下面方格纸的每个小方格都是边长为1cm的正方形， 等腰梯形ABCD的顶点都是相交点，边AB=5cm，那么等腰梯形ABCD的周长是（ ）。

A. 18cm B. 19cm C. 20cm D. 无法确定

9.用长628cm的铁丝围成一个封闭图形，面积最大的是（ ）。

A．三角形 B. 长方形 C. 正方形 D. 圆

10. 已知a,b,c三个数均不为0，且3—7a=5—8b=9—4c，则下列选项中说法正确的是（ ）。

A. a最大 B. b最大 C. c最大 D. 无法确定

11. 把一个长方形ABCD沿着EF翻折，点B翻折到点D，如图，已知∠DEF=57°，那么∠AED=（ ）。

A.31° B.30° C.29° D.28°

12.一个等腰三角形的两条边分别长5cm和7cm，那么该三角形的周长是（ ）。

A.一定是17cm B.一定是19cm

C.17cm或者19cm D.12cm

13.一个等腰三角形的底角等于70°，那么顶角等于（ ）。

A. 70° B. 55° C. 60° D. 40°

14.一个三角形的最小内角是50°，下面关于三角形的叙述正确的是（ ）。

A.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形

C.一定是锐角三角形 D.无法确定

15.一个三角形OAB绕点O旋转90°的三角形是A′OB′，已知∠AOB=50°，那么∠BOA′=（ ）。

A. 50° B. 30° C. 40° D. 60°

16.已知平面上有三点A（3，3），B（6，1），C（6，5），A、B、C三点连线组成的图形是（ ）。

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.钝角三角形

A. 1和2 B. 2和3 C. 3和5 D.3和6

18. 两辆汽车从同一地点出发，A车先出发，B车后出发，同时到达一个服务区休息，然后继续前行到达终点。下面叙述正确的是（ ）。

A.从出发到服务区A车比B车速度快

B.B车比A车休息的时间长

C.从服务区到终点B车比A车速度快

D.以上说法都不对

19.把一个三角形按照1：2放大，那么放大后的三角形与原来三角形的周长之比为（ ）。

A.1：1 B.1：2 C.2：1 D.4：1

20.下面不是正方体展开图的是（ ）。

（二）解答题

1.用三根小棒围三角形，已知有两根小棒的长分别是6cm、8cm，如果要求第三根小棒的长度是整厘米数，那么第三根小棒最短是多少？最长是多少？一共有多少种可能？

2.一个长方形的面积是110cm2，宽和长是相邻的两个自然数，这个长方形的周长是多少？

3.一根16m高的旗杆在太阳下的影长为6m，在同一个时刻和地点，身高1.6m的小明直立站在凳子上，凳子加人的影长为0.75m。凳子高多少？

4.一次数学考试成绩公布后，小明、小丽、小红三人的平均分是96，小丽和小红两人的平均分是97，那么小明的成绩是多少？

5.我们把圆心角是180°的圆弧与直径组成的图形叫半圆，已知一个半圆的周长是51.4（圆周率取3.14），该圆的半径是多少？

6.一瓶药的说明书如下：内装50片，每片0.5g，每天吃3次，每次吃1g，10天为一个疗程。这瓶药够吃一个疗程吗？

7.一个单位组织280人春游，需要租车，汽车公司有两种型号的大客车。

A型：每辆限乘50人，租金1000元；

B型：每辆限乘40人，租金900元。

请设计一个最省钱的租车方案。

8.小丽一家三口假期开车从自己家去爷爷家，路程是500km，用了40L汽油。回来时没有原路返回，计划去一个风景区，爷爷家到风景区的路程是300km，这样从爷爷家回到家的总路程增加到800km，如果按照去爷爷家时的耗油量，从爷爷家返回时加满一箱油60L，够不够回到家？

9.用小棒拼连接在一起的正方形（如下图），如果拼一组正方形用了181根小棒，那么一共拼了多少个正方形？

11.一个直角三角形的两条直角边长分别是6cm和8cm，分别以一条直角边为旋转轴旋转一周，得到两个圆锥，比较一下，这两个圆锥哪个体积大？

12.一件上衣的标价是300元，标价的30%是成本，其余是利润。现在节假日促销，为保证不少于60元的利润，折扣最高可以定几折？

13.在方格纸中，顶点都在格点上的图形叫格点图形。请在下面的方格纸中画一个以线段AB为对角线的面积最小的格点平行四边形。