借助v-t图像 巧解板块问题

四川 张海军

板块模型多以计算题的形式出现在高考试题中，它涉及多个研究对象，且运动过程较为复杂，因此板块问题是高中物理教学的难点。要处理好此类问题需要学生具备扎实的基础知识和较好的理解、推理、分析综合、建模等思维能力。

v-t图像可以直观地反映质点运动的速度随时间变化的规律，因此高中物理常借助其解决复杂的动力学问题。笔者下面就以外力作用下的板块模型为例来探究v-t图像在此类问题中的应用。

一、水平面光滑且板、块均无初速度

【例1】如图1所示，在光滑的水平面上有一足够长的质量为M=4 kg的长木板，在长木板的右端有一质量为m=1 kg的小物块，它们之间的动摩擦因数μ=0.2。开始时长木板与小物块均静止，现用水平恒力F作用在木板上，则

(1)外力F至少多大可使二者发生相对滑动；

(2)若F=18 N，经时间1 s撤去水平恒力F，那么在F的作用下，长木板的加速度为多少；

(3)在(2)问条件下，刚撤去F时，小物块距长木板右端多远；

(4)在(2)问条件下，撤去F后，长木板需运动多长距离才会与小物块速度相同。

图1

图2

图3

(3)在外力F作用的过程中，物块与木板均做初速度为零的匀加速直线运动，根据运动学公式可求出它们在1 s时的瞬时速度v块=a1t=2 m/s，v板=a2t=4 m/s，然后画出v-t图像(如图4所示)，图像中OA表示小物块的运动情况，OB表示木板的运动情况，显然图像中△OAB所围面积的大小即为小物块到长木板右端的距离x=1 m。

(4)撤去外力后，需重新分析它们的受力情况、运动情况。由图4可知，撤去外力后长木板的速度大于物块的速度，那么物块受到的摩擦力没有改变，它继续做加速度不变的匀加速直线运动。木板受摩擦力的作用将做匀减速直线运动，设此时其加速度为a3，由-μmg=Ma3，解出a3=-0.5 m/s2，经一段时间t′之后二者共速，结合运动学公式得v共=v块+a1t′=v板-a3t′，求出t′=0.8 s；v共=3.6 m/s，如图5所示。由图5可知四边形BCDE所围的面积，即为撤去外力F后，长木板与物块相对运动的过程中的对地位移，求得x板=3.04 m。

图5

【点评】受力分析与运动分析是解决动力学问题的关键，本题中长木板先受恒定外力作用，一段时间后该力又被撤去，故长木板先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动，而物块一直做匀加速直线运动。对于这种多体、多过程问题，借助v-t图像可形象直观地把它们的运动情况给展示出来，很容易就可以求出刚撤去外力F时，小物块相对长木板的位移大小及长木板与小物块达共速时长木板的对地位移。

二、水平面光滑且物块有初速度

【例2】如图6所示，光滑水平面上有一块静止的木板，质量M=3 kg。某时刻小物块以v0=3 m/s的初速度滑上木板的右端，与此同时对木板施加一个F=6 N的水平向右的恒力。小物块的质量m=1 kg，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.3，g=10 m/s2。求：

(1)小物块向左运动的最大距离；

(2)为使小物块不脱离木板，木板的长度至少为多少。

图6

【分析及解答】(1)物块向左做匀减速直线运动，木板向右做匀加速直线运动，当物块的速度减为零时，即为向左运动的距离最远。对物块和木板分别进行受力分析，求出其加速度，再结合运动学公式画出物块与木板运动的v-t图像即可求解。

图7

(2)物块不脱离木板，表明经一段时间后二者共速，由图7可知物块相对木板会向左滑动，故物块受到的摩擦力不变，加速度也不变；木板的受力也没有变化，加速度也不变。根据运动学公式列出方程v共=-a1t2=v+a2t2，解出t2=0.5 s，v共=1.5 m/s。物块和木板达共速后，再用整体法和隔离法可判断它们之后不会相对滑动，因此可画出v-t图像如图8所示。根据图8可知△ODC所围成的面积即为木板的最小长度lmin=2.25 m。

图8

【点评】物块以一定的初速度做匀减速直线运动直到速度减为零，再反向做匀加速直线运动直到与木板共速，物块的运动具有多个过程，且物块运动同时木板也在运动，问题相对复杂。通过v-t图像可将多体、多过程的运动情况直观地呈现出来，然后根据图像就可以很轻松地求出小物块向左运动的最大距离和木板的长度。

三、水平面粗糙且板、块均无初速度

【例3】如图9所示，质量为M=1 kg足够长的木板B放在水平地面上，其上放有质量为m=1 kg的煤块A，A、B间的动摩擦因数μ1=0.1，B与地面之间的动摩擦因数μ2=0.2，现对B施加水平向右的拉力F=8 N，持续作用3 s后撤去，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力g=10 m/s2，则从开始到A、B均停止的整个过程中

图9

(1)A的对地位移；

(2)A在B上留下的划痕长度。

【分析及解答】要求A对地的位移必须明确A的受力情况和运动情况，本题中外力作用一段时间后又撤去且B与地面之间有摩擦，因此物体的受力情况与运动情况比较复杂，可借助v-t图像，厘清思路。

(1)用整体法和隔离法判定A、B是否有相对滑动。假设外力F=8 N时，它们相对静止，有共同加速度a共，则根据牛顿第二定律有F-μ2(M+m)g=(M+m)a共，解得a共=2 m/s2；再对A分析，当它相对B即将滑动时有最大加速度a临，a临=μ1g=1 m/s2。可见a共>a临，故A、B有相对滑动。

(2)下面分撤去F前与撤去F后两种情况分别对A、B进行受力分析，确定它们的运动情况。

图10

图11

图12

图14

图15

【点评】该题中外力F作用3 s后撤去，木板与地面有摩擦，煤块与木板之间也不光滑，因此它们的运动情况比较复杂。通过整体法和隔离法可判定A、B是否存在相对滑动，然后又分撤去外力前与撤去后两个阶段进一步分析它们的受力情况与运动情况，最后借助v-t图像将它们从开始运动到停止的整个过程的运动情况直观地呈现出来，通过图像很容易就可求出煤块对地的位移和在木板上留下的划痕长度。

四、总结

板块模型是高中物理最常见也最为经典的模型之一，它往往涉及两个或两个以上研究对象，且此类题目情境复杂、综合性强、能力要求高，学生学习起来难度大。但是借助v-t图像可直观地将物体的运动情况展现出来，让学生轻松地突破难点，找到解决问题的方法。因此，在教学中教师要有意识地培养学生应用函数图像解决物理问题的习惯，促进学生科学思维能力的提升。