对称2-（11，5，2）设计的全自同构群

董 磊

令v，k，λ是非负整数，且v>k>λ. 一个对称2-（v，k，λ）设计，是指一个有序二元组D= (V,ℬ)，其中V是一个含v个元素的集合，ℬ 是由V的k- 子集所构成的集合. 其中，V中的元素称为点，ℬ 中的元素称为区组，并满足以下条件：

（1）|ℬ|=v；

（2）V中的任一点都恰好属于ℬ 中的k个区组；

（3）ℬ 中任意两个不同的区组的交集是V的λ- 子集；

（4）V中的任意两个不同的点都同时属于ℬ 的λ个不同的区组.

现设D为对称2-（11，5，2）设计，D的全体自同构关于映射的合成组成一个群，叫作D的全自同构群，并记作Aut(D). 如果α∈Aut(D)，本文用fix(α) 表示被α保持不动的点组成的集合. 组合设计的全自同构群一直是很多组合学家所关注的问题，文献［1］和文献［2］讨论了某些对称设计的全自同构群. 如果令V=Z11，ℬ ={{i,i+ 2,i+ 3,i+ 4,i+ 8 }|i∈Z11} ，那么，D= (V,ℬ) 就是一个对称2-（11，5，2）设计. 本文主要研究的是对称2-（11，5，2）设计的全自同构群.

1 预备知识

引理1［3］如果素数p除对称2 - (v,k,λ)设计的全自同构群的阶，那么p整除v或者p≤k.

引 理2［4］若对称2-(v,k,λ) 设计的一个非单位自同构保持f个点不动，则有：

引 理3［4］若D= (V,ℬ) 是一个对称2-(v,k,λ) 设计，α∈Aut(D)，o(α=p)，其 中p满足(λ,p) = 1. 如果B∈ℬ 至少 包含α的两 个不动点，则B中α的不动点的个数同余k模p，并且ℬ 中包含α的不动区组的个数也同余k模p.

引 理4［4］若x,y∈fix(α)，λ

2 主要结论

定理1 如果p是对称2-（11，5，2）设计的全自同构群的阶的一个素因子，则p∈{2 ,3,5,11} .

证明 由引理1 可知，如果素数p整除对称2 - (v,k,λ) 设计的全自同构群的阶，那么p整除v或者p≤k，则我们有p|11 或p≤5，从而p∈{2 ,3,5,11} .

定理2 设D= (V,ℬ) 是一个对称2-（11，5，2）设 计，α∈Aut(D)，且o(α)= 2，则|fix(α)|∈{3 ,4,5} .

定理3 设D= (V,ℬ) 是一个对称2-（11，5，2）设 计，α∈Aut(D)，且o( )α= 3，则|fix(α)|= 2. 并且，若3n| |Aut|，则n≤2.

定理5设D= (V,ℬ) 是一个对称2 -(11,5,2) 设 计，α∈Aut(D)，且o(α)= 11，则|fix(α)|= 0. 并且，若11n| |Aut|，则n≤1.

3 结语

本文研究了Aut(D) 的阶，针对于其中的阶为素数的自同构，给出了有关这些自同构的不动点数量. 对于其他的对称设计，可以用本文的方法把Aut(D) 的阶和阶为素数的自同构的不动点个数研究清楚.