对称2-(11,5,2)设计的全自同构群

2022-08-23 07:44
通化师范学院学报 2022年8期
关键词:自同构区组素数

董 磊

令v,k,λ是非负整数,且v>k>λ. 一个对称2-(v,k,λ)设计,是指一个有序二元组D= (V,ℬ),其中V是一个含v个元素的集合,ℬ 是由V的k- 子集所构成的集合. 其中,V中的元素称为点,ℬ 中的元素称为区组,并满足以下条件:

(1)|ℬ|=v;

(2)V中的任一点都恰好属于ℬ 中的k个区组;

(3)ℬ 中任意两个不同的区组的交集是V的λ- 子集;

(4)V中的任意两个不同的点都同时属于ℬ 的λ个不同的区组.

现设D为对称2-(11,5,2)设计,D的全体自同构关于映射的合成组成一个群,叫作D的全自同构群,并记作Aut(D). 如果α∈Aut(D),本文用fix(α) 表示被α保持不动的点组成的集合. 组合设计的全自同构群一直是很多组合学家所关注的问题,文献[1]和文献[2]讨论了某些对称设计的全自同构群. 如果令V=Z11,ℬ ={{i,i+ 2,i+ 3,i+ 4,i+ 8 }|i∈Z11} ,那么,D= (V,ℬ) 就是一个对称2-(11,5,2)设计. 本文主要研究的是对称2-(11,5,2)设计的全自同构群.

1 预备知识

引理1[3]如果素数p除对称2 - (v,k,λ)设计的全自同构群的阶,那么p整除v或者p≤k.

引 理2[4]若对称2-(v,k,λ) 设计的一个非单位自同构保持f个点不动,则有:

引 理3[4]若D= (V,ℬ) 是一个对称2-(v,k,λ) 设计,α∈Aut(D),o(α=p),其 中p满足(λ,p) = 1. 如果B∈ℬ 至少 包含α的两 个不动点,则B中α的不动点的个数同余k模p,并且ℬ 中包含α的不动区组的个数也同余k模p.

引 理4[4]若x,y∈fix(α),λ

2 主要结论

定理1 如果p是对称2-(11,5,2)设计的全自同构群的阶的一个素因子,则p∈{2 ,3,5,11} .

证明 由引理1 可知,如果素数p整除对称2 - (v,k,λ) 设计的全自同构群的阶,那么p整除v或者p≤k,则我们有p|11 或p≤5,从而p∈{2 ,3,5,11} .

定理2 设D= (V,ℬ) 是一个对称2-(11,5,2)设 计,α∈Aut(D),且o(α)= 2,则|fix(α)|∈{3 ,4,5} .

定理3 设D= (V,ℬ) 是一个对称2-(11,5,2)设 计,α∈Aut(D),且o( )α= 3,则|fix(α)|= 2. 并且,若3n| |Aut|,则n≤2.

定理5设D= (V,ℬ) 是一个对称2 -(11,5,2) 设 计,α∈Aut(D),且o(α)= 11,则|fix(α)|= 0. 并且,若11n| |Aut|,则n≤1.

3 结语

本文研究了Aut(D) 的阶,针对于其中的阶为素数的自同构,给出了有关这些自同构的不动点数量. 对于其他的对称设计,可以用本文的方法把Aut(D) 的阶和阶为素数的自同构的不动点个数研究清楚.

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