一类无穷大差的等价问题及应用

王少英，田学刚

极限是高等数学的主要内容，微积分理论的建立都是以极限为工具，极限的计算是高等数学教学的重点. 对有些复杂的未定式利用无穷小等价代换非常简单［1］；而有些未定式含有无穷大的差，利用初等变形、洛必达法则等方法不易处理，因此研究无穷大的等价代换是近年来极限问题的一个研究热点.常庚哲等［2-4］给出了无穷大比较的定义，讨论了无穷大等价的一些性质，研究了无穷大的比较在求极限、判定级数收敛等方面的应用.孙卫卫等［5-6］主要研究了等价无穷大在极限中的应用，在两个无穷大非等价的情况下，得出其差可以分别等价代换，并推广到有限个无穷大的差的情况. 但是若两个无穷大是相互等价的，那么它们的差不一定是无穷大，也不能分别等价代换，本文采用广义二项式展开定理研究一类无穷大差的等价代换问题，给出两个无穷大的差、三个无穷大的差的等价无穷大，从而能够化简复杂未定式极限，为学生更好地掌握极限计算提供方法支持.

1 主要结论

定义1［3］在自变量的同一变化过程中，f(x) 和g(x) 都是无穷大，则关于无穷大的比较定义为：

引理1 设f(x) 和g(x) 是x某变化过程中的无穷大，则f(x) ∼g(x) 的充要条件是f(x) =g(x) +o(g(x))，这 里o(g(x)) 表 示 比g(x) 低阶的无穷大.

引理3［5］在自变量的同一变化过程中，f(x)，g(x)，f1(x)，g1(x) 均 为 无 穷 大，且f(x)~f1(x)，g(x)~g1(x)

则有：

定理1 设α，β为大于零的 实数，f(x) =anxn+an-1xn-1+ …+a1x+a0，g(x)= bmxm+bm-1xm-1+ …+b1x+b0，其中an> 0，bm> 0，则有下列结论成立：

（1）若nα≠mβ，则当x→+∞时，fα(x) -gβ(x) ∼anαxnα-bmβxmβ；

（2） 若nα=mβ且anα≠bmβ，则当x→ +∞时，fα(x) -gβ(x) ∼anαxnα-bmβxmβ.

证明 因为当α，β为大于零，f(x)，g(x) 均为x→+∞时的无穷大，且有

定理2 设α，β为大于零的实数，f(x) =anxn+an-1xn-1+ …+a1x+a0，g(x) =bnxn+

bn-1xn-1+ …+b1x+b0，其 中an=bn> 0,令k= max{i|ai≠bi,1 ≤i

这里1 ≤k

证明 对于定理2 给定的多项式f(x)，g(x)，则由an=bn> 0 可 知fα(x) 与gβ(x) 是等价的，因此fα(x) -gα(x) 不能用引理4 进行等价代换. 令k= max{i|ai≠bi,1 ≤i

这里o[xn(α-1)+k] 表示当x→+∞时 比xn(α-1)+k低阶无穷大.

由于ai=bi，i=n，n- 1，…，k+ 1；ak≠bk，所以经过计算可得

注记2 在研究两个无穷大的差的等价代换时，若这两个无穷大非等价，则问题较为简单，利用定理1 逐项代换即可；若这两个无穷大等价时，则问题变得非常困难. 我们利用广义二项式定理这个工具，研究两个等价无理式（特殊的无穷大）的差的代换问题，给出了fα(x) -gβ(x) 的等价无穷大，该无穷大结构简单，能够大大简化极限的计算.

推论1 设α，β为大于零的实数，f(x) =anxn+an-1xn-1+ …+a1x+a0，g(x) =bnxn+bn-1xn-1+ …+b1x+b0，其 中an=

bn> 0, 令k= max{i|ai≠bi,1 ≤i

（1）若nα>n-k，则fα(x) -gβ(x) 仍 为无穷大；

（2）若nα=n-k，则fα(x) -gβ(x) =C，C=α(anα-1⋅ak-bnα-1⋅bk)；

（3）若nα

证明由定理2可知x→+∞时fα(x) -gα(x) ∼α(anα-1⋅ak-bnα-1⋅bk)xn(α-1)+k，

而

所以推论1 的结果成立.

定理3 设α，β为大于零的 实数，f(x) =anxn+an-1xn-1+ …+a1x+a0，g(x) =bnxn+bn-1xn-1+ …+b1x+b0，h(x)=cnxn+cn-1xn-1+…+c1x+b0的系数分别满足an=bn> 0,ck1>0，这里的参数k1= max{i|ci≠0,1≤i≤n} ，k=max{i|ai≠bi,1≤i

（1）当n(α- 1) +k>k1α时，fα(x) -gα(x) -h(x)α∼α(anα-1⋅ak-bnα-1⋅bk)xn(α-1)+k；

（2）当n(α- 1) +k

αxk1α；（3）当n(α- 1) +k=k1α且α(anα-1⋅ak-bnα-1⋅bk) ≠ck1

α时，

证明 由定理2 可知，当存在常数1 ≤k

所以由引理1 可证明定理3 中的等价关系成立.

2 实例应用

分析 该未定式的分子是两个相互等价的无穷大的差，不能利用定理1 直接等价无穷大的替换，也无法利用分子有理化，这给题目的解答带来了困难. 利用定理2 可快速找到整个分子的等价无穷大，达到迅速解题的目的.

分析 未定式分子中含有三个无穷大的差，且前两个无穷大等价，不满足逐个等价代换的条件. 定理3 给出了三个无理式差的等价代换方法，利用该方法能够将分子用简单幂函数进行替换，从而简化极限的计算.

3 结语

本文主要研究了x→∞时无穷大的差的等价代换问题. 当两个无穷大非等价时，它们的差可以逐项等价替换，类似地可以将结果推广到n个无穷大的差；而当两个无穷大等价时，它们的差不一定是无穷大，如何进行等价替换，这是极限教学过程中经常遇到的难题.定理1 主要研究了当两个无理式fα(x) 与gβ(x)非等价时，它们的差fα(x) -gβ(x) 的等价代换形式；定理2 在fα(x) 与gα(x) 等价时，利用广义二项式定理，给出了fα(x) -gα(x) 的 等价无穷大；定理3 在一定条件下，研究了fα(x) -gα(x) -h(x)α的等价代换问题，给出了较简单的等价无穷大形式. 研究结果能够大大简化含无理式差的未定式极限，为学生更好地掌握极限运算提供了理论基础. 需要指出的是，本文研究了3 个无理式的差的等价代换，如何研究n个无理式的差的等价代换？由于n个无理式的差用广义二项式展开后，结果非常复杂，这是我们将来继续研究的方向.