斯坦纳-莱莫定理的λ-推广

孙四周

(江苏省苏州市吴江盛泽中学 215228)

初等几何中有个名气非常响的定理——斯坦纳-莱莫(Steiner-Lehmer)定理，内容如下：

如果一个三角形的两条内角平分线相等，则该三角形是等腰三角形.

欧几里得将该结论作为定理收入了《几何原本》，对于其证明却只字未提.直到1840年经莱莫(C.L.Lehmus)重新提起，斯坦纳(J.Steiner)首先给出了证明，引起了数学界极大反响，从此而被称为“斯坦纳-莱莫定理”.此后百余年，全世界的各种杂志上经常可以看到论证这个定理的文章，至今已有接近百种证明.1980年，美国《数学教师》月刊还登载了这个定理的研究现状.这个定理能够保持如此持久的热度，主要是因为它符合“著名定理”的特征，比如：表述非常简单，结论看似显然而证明却往往涉及更深刻的内容.

有趣的是，2012年文[2]用中国古人所擅长的“割补求积法”在不添加任何辅助线的情况下，给出一个简洁(也可以说是“中国化”)的证明.并引申出13个定理，拓宽了它的应用.本文将向另一个方向出发，首先把“角平分线”换成“三等分角线”，进而给出任意等分角的推广(本文中单字母表示角时意义如下：

A

=∠

BAC

,

B

=∠

ABC

,

C

=∠

BCA

).

1 三等分角的Steiner-Lehmer定理

图1

定理1

△

ABC

中，

D

,

E

分别是边

CB

,

CA

上的点，且则

AD

=

BE

的充要条件是

CA

=

CB.

证明

由

S

△+

S

△=

S

△+

S

△知，故

AD

=

BE

⟺

①

如果

A

>

B

,则①式左边为正，右边为负；如果

A

<

B

，则①式左边为负，右边为正.故①式成立的充要条件是

A

=

B

,即

CA

=

CB.

证毕.

类似地,对于三等分角的另外一条分角线，Steiner-Lehmer定理也成立.即

定理2

△

ABC

中，

D

,

E

分别是边

CB

,

CA

上的点，且则

AD

=

BE

的充要条件是

CA

=

CB.

证明同上,略.

如果改成“四等分角”“五等分角”……“

n

等分角”，是否还成立呢？经研究发现，结论是肯定的.事实上我们有更一般的推广.

2 Steiner-Lehmer定理的λ-推广

图2

定理3

△

ABC

中，

D

,

E

分别是边

CB

,

CA

上的点，且∠

BAD

=

λA

,∠

ABE

=

λB

,其中

λ

是常数且

λ

∈(0,1),则

AD

=

BE

的充要条件是

CA

=

CB.

此定理的证明比较繁琐,为了体现其层次性和关键技巧,我们先证下面的两个引理，再将证明逐渐展开.

引理1

若

λ

∈(0,1)，

A

，

B

是△

ABC

的内角，则

A

>

B

的充要条件是sin

λA

>sin

λB.

证明

因为且

λ

∈(0,1)，所以故证毕.

引理2

若

λ

是常数且

λ

∈(0,1)，则函数在区间(0,π)上单调递增.

证明

只要证明当

x

∈(0,π)时，

f

′(

x

)>0恒成立即可.

f

′(

x

)=

=

因cos(1-

λ

)

x

<1).记

g

(

x

)=sin

λx

-

λ

sin

x

，则

g

′(

x

)=

λ

cos

λx

-

λ

cos

x

=

λ

(cos

λx

-cos

x

)，因为0<

λx

<

x

<π，及函数

y

=cos

x

在(0,π)上递减，故cos

λx

>cos

x.

故

g

′(

x

)>0恒成立，即

g

(

x

)在(0,π)上递增.又

g

(0)=0，故当

x

∈(0,π)时，

g

(

x

)>0.从而知

f

′(

x

)>0恒成立，即知

f

(

x

)在(0,π)上单调递增.证毕.

定理3的证明

根据三角形的面积公式可得即

AD

[

AB

sin

λA

+

AC

sin(1-

λ

)

A

]=

BE

[

AB

sin

λB

+

BC

sin(1-

λ

)

B

].故

AD

=

BE

⟺

AB

sin

λA

+

AC

sin(1-

λ

)

A

=

AB

sin

λB

+

BC

sin(1-

λ

)

B

⟺sin

C

·(sin

λA

-sin

λB

)=sin

A

sin(1-

λ

)

B

- sin

B

sin(1-

λ

)

A

⟺ sin

C

(sin

λA

-sin

λB

)=由引理1，2知,若

A

>

B

,则上式左边为正,右边为负,矛盾;若

A

<

B

,则上式左边为负,右边为正,也矛盾.从而知必有

A

=

B

,即

CA

=

CB.

证毕.

3 Steiner-Lehmer定理的等价形式

图3

在定理3中，研究线段

AD

与

BE

的交点

S

(图3)，以及由此产生的线段

SA

和

SB

，也是一个很有意义的课题，并且可以得到一系列有价值的结果.

定理4

△

ABC

中，

D

,

E

分别是边

CB

,

CA

上的点，且∠

BAD

=

λA

,∠

ABE

=

λB

,其中

λ

是常数且

λ

∈(0,1),

AD

,

BE

的交点是

S

,则

SA

=

SB

的充要条件是

AD

=

BE.

证明

一方面，在△

ABS

中，

SA

=

SB

⟺

λA

=

λB

⟺

A

=

B.

另一方面，△

ABC

中，

AD

=

BE

⟺

A

=

B

(定理3).综合即知

SA

=

SB

⟺

AD

=

BE.

证毕.

综合定理2和定理4，立刻知：

定理5

△

ABC

中，

D

,

E

分别是边

CB

,

CA

上的点，且∠

BAD

=

λA

,∠

ABE

=

λB

,其中

λ

是常数且

λ

∈(0,1),

AD

,

BE

的交点是

S

,则

SA

=

SB

的充要条件是

CA

=

CB.

特别地，令即可把Steiner-Lehmer定理写成如下的等价形式：

定理6

△

ABC

的内角平分线

AD

,

BE

的交点是

S

,若

SA

=

SB

,则

CA

=

CB

(图3).

按照定理6的构图原则，我们构造更具一般意义的图形，可得：

图4

定理7

△

ABC

中，若

C

为钝角，以

AB

为一边，在点

C

的同侧作△

ABC

′,使(图4),则

C

′

A

=

C

′

B

的充要条件是

CA

=

CB.

定理8

对于任意△

ABC

，以

AB

为一边，在点

C

的同侧分别作∠

C

′

AB

和∠

C

′

BA

,使∠

C

′

AB

=

λ

∠

CAB

,∠

C

′

BA

=

λ

∠

CBA

,其中

λ

是常数且则

C

′

A

=

C

′

B

的充要条件是

CA

=

CB.

证明

首先，由知即从

A

,

B

出发的两条射线的同旁内角之和小于二直角.根据欧几里得第五公设知，射线

AC

′与

BC

′的交点

C

′在

C

的同侧.(1)如果0<

λ

<1，则

C

′在△

ABC

的内部，即为定理5，已证;(2)如果

λ

=1，则

C

′与

C

重合，显然;(3)如果则

C

在△

ABC

′的内部，在△

ABC

′中应用定理5，同样得证.