具有时延的离散二阶多智能体系统的一致性问题

韩摩西，胡卫敏，谢冬梅

(1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆 伊宁 835000；2.伊犁师范大学应用数学研究所，新疆 伊宁 835000；3.天津大学数学学院，天津 300350)

0 引言

HU[1]、TIAN[2]、YANG[3]等考虑领航者和跟随者采用自身状态带有时延的算法，给出了关于时延的一致性条件.受到HU等[1]的启发，韩摩西等[4]研究了在固定拓扑下带有时延的二阶多智能体系统的一致性问题，系统动态模型和控制协议如下：

对于系统中含有1个领航者、n个跟随者的多智能体系统，第i个跟随者的动态为

(1)

领航者的动态可以被描述为

其中，xi(t),vi(t),ui(t)∈R，分别表示第i个智能体的位置、速度和控制输入.因此，对于第i个跟随者，一个基于邻接顶点连接的控制协议可表示为

(2)

最后利用Hopf分支理论得到系统达到一致的充分条件.

1 预备知识及问题描述

定义B∶=diag{b1,b2,…,bn}为领航者与跟随者之间的邻接矩阵，bi>0表示领航者与第i个智能体之间有连接，否则bi=0.

本文将上述连续时间系统的研究内容推广到离散时间系统，对于系统中含有1个领航者、n个跟随者的多智能体系统，第i个跟随者的动态为

xi(d+1)=xi(d)+vi(d),vi(d+1)=vi(d)+ui(d),i∈I,

(3)

其中，xi(d),vi(d),ui(d)分别表示第个智能体的位置、速度和控制输入.d表示系统在离散时间下的第d时刻，d∈N*.

领航者的动态可以被描述如下：

x0(d+1)=x0(d)+v0,

其中，x0(t)表示领航者的位置,x0(t)∈R;v0表示领航者的速度为常数,v0∈R.

因此，对于第i个跟随者，一个基于邻接顶点连接的控制协议可表示为

(4)

(5)

经过变量代换，系统(3)在控制协议(4)下的一致性问题，可转化为系统(5)的稳定性问题，因此，接下来主要研究(5)的稳定性.

注 Jury稳定判据是关于实系数特征多项式的稳定性判据，并不能判断系数是复数的特征多项式的稳定性.

引理2[6]多项式r(σ)是Hurwitz稳定的当且仅当m(ω)和n(ω)的大小是相互交替的，且m(0)n′(0)-m′(0)n(0)>0，其中，m(ω)和n(ω)分别是多项式r(iω)中的实部项的和与虚部项的和组成的多项式(这里r(iω)是令r(σ)中σ=iω得到的多项式).

引理3[7](Jensen不等式) 对于给定的常数d>0，存在正定对称矩阵R>0和函数x(k),y(k),k=1,2,…，其中，x(k),y(k)满足y(k)=x(k+1)-x(k)，则有下面不等式成立：

2 主要结果

当系统对应的拓扑图为无向图时，且系统不带有时延，即系统中τ=0时，有

(6)

其中，λi∈Λ(H).

(ii)m1

将ri(u)改写成如下形式：

这里只需研究ri(u)的Hurwitz稳定性.令u=iω，可得到

分离上式的实部和虚部m(ω),n(ω),得到

下面利用引理2判别ri(u)的Hurwitz稳定性.

二次方程m(ω)均有两个不同实根，当且仅当m(ω)的判别式Δm(ω)>0，即

根据引理2，还需满足m(ω),n(ω)的根的大小相互交替，求解m(ω),n(ω)得到

因此，应满足m1>n1>m2，即

需满足m(0)n′(0)-m′(0)n(0)>0.由m(ω),n(ω)得到

则有

即满足

当系统对应的拓扑图为有向图时，且系统带有时延，即系统中τ>0时，研究的是系统(5)的稳定性.

定理3 对于系统(5),即存在对称正定矩阵P,S∈Rn×n，满足下述条件：

则可保证系统(5)是Schur稳定的.

证明 根据引理3，定义Lyapunov函数：

其中,P,S均为正定矩阵，因此V(d)是正定的.V(d)的向前差分为

ΔV(d)=V(d+1)-V(d)=

εT(d+1)Pε(d+1)-εT(d)Pε(d)+

εT(d)Sε(d)-εT(d-τ)Sε(d-τ)=

εT(d)Pε(d)+εT(d)Sε(d)-εT(d-τ)Sε(d-τ)=

εT(d-τ)ETPEε(d-τ)=

因此，如果

则ΔV(d)<0.根据李雅普诺夫稳定性理论，系统(5)是Schur稳定的.

定理4 对于系统(5)，存在适当维数的正定矩阵P,Q,S，使得

那么系统(5)渐近稳定.

证明 根据引理3，定义变量y(d)=ε(d+1)-ε(d)，构造如下形式的Lyapunov-Krasovskii泛函：

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k)，

那么，

ΔV1(k)=V1(k+1)-V1(k)=εT(d+1)Pε(d+1)-εT(d)Pε(d)=

ΔV2(k)=V2(k+1)-V2(k)=εT(d)Qε(d)-εT(d-τ)Pε(d-τ),

ΔV3(k)=V3(k+1)-V3(k)=

由引理3可得,

ΔV3(k)=V3(k+1)-V3(k)=

则有

ε(d-τ))T.

如果

则ΔV(d)<0.根据李雅普诺夫稳定性理论，系统(5)是渐进稳定的，即系统(3)在控制协议(4)下能达到一致.