非齐次核逆向Hilbert型积分不等式的最佳搭配参数及算子表达式

洪 勇, 陈 强

(1. 广州华商学院 应用数学系, 广州 511300; 2. 广东第二师范学院 计算机学院, 广州 510303)

1 引言与预备知识

设1/p+1/q=1(p>1), Hardy等[1]给出了Hilbert不等式:

(1)

通过引入参数λ将式(1)推广为

非齐次核K(x,y)=G(xλ1yλ2)(λ1λ2≠0)显然具有如下性质: 若t>0, 则

K(tx,y)=K(x,tλ1/λ2y),K(x,ty)=K(tλ2/λ1x,y).

为避免重复, 引入记号:

引理1[23]设Ωn⊆n,x=(x1,x2,…,xn), 1/p+1/q=1(0

当且仅当存在非零常数C, 使得fp(x)=Cgq(x)(x∈Ωn)时等号成立.

与文献[22]相应引理的证明方法类似可得:

引理2设1/p+1/q=1(00,K(x,y)=G(xλ1yλ2)≥0,a,b∈, 则

2 最佳搭配参数的等价条件

设1/p+1/q=1(0

A(K,|f|,|g|)≥M(a,b)‖f‖p,α(a,b)‖g‖q,β(a,b).

(2)

若式(2)的常数因子M(a,b)是最佳值, 则称a,b为最佳搭配参数.

定理1设1/p+1/q=1(00,a,b∈,K(x,y)=G(xλ1yλ2)≥0.

(3)

(4)

其中W0=|λ2|W1(-bp)=|λ1|W2(-aq).

2) 若W1(-bp)<+∞,W2(-aq)<+∞, 且存在σ>0, 使得W1(-bp+σ)<+∞或W1(-bp-σ)<+∞, 则下列命题等价:

证明: 1) 根据逆向的加权Hölder积分不等式和引理2, 有

且经简单计算可得α=apq-1,β=bpq-1, 故式(3)可化为式(4).

当W1(-bp-σ)<+∞时, 取充分小的ε>0, 令

则

于是可得

从而

(5)

当W1(-bp+σ)<+∞时, 取充分小的ε>0, 令

则有

于是有

从而

(6)

则

于是式(3)等价于

由于式(3)的常数因子是最佳的, 故式(7)的常数因子也是最佳的.

因为式(7)的常数因子是最佳值, 故由式(7)和式(8), 可得

从而W1(-b′p))<+∞,W2(-a′q))<+∞.又因为

故根据②⟹①的证明可知, 式(7)的最佳常数因子为

于是可得

(9)

根据逆向Hölder积分不等式, 有

②⟹③.根据引理2可得.

设1/r+1/s=1(0

若λ2c>0, 则-λ2cs>0, 此时有

令s→-∞, 有W1(-bp)=+∞, 这与W1(-bp)<+∞矛盾.若λ2c<0, 则-λ2cs<0, 此时有

令s→-∞, 得W1(-bp)=+∞, 仍与W1(-bp)<+∞矛盾.

3 在算子理论中的应用

设K(x,y)≥0, 定义积分算子T:

(11)

根据Hilbert型积分不等式的基本理论, 逆向Hilbert型积分不等式(2)等价于算子不等式:

‖T‖p,β(a,b)(1-p)≥M(a,b)‖f‖p,α(a,b),

由此并根据定理1, 可得如下关于积分算子的结果.

定理2设1/p+1/q=1(00,a,b∈,K(x,y)=G(xλ1yλ2)≥0.积分算子定义如式(11).

(12)

其中W0=|λ2|W1(-bp)=|λ1|W2(-aq).

(13)

综上并根据定理2可知, 例1结论成立.