例析原理法解决二项式定理有关问题

孙书刚

【摘 要】 关于二项式定理的高考题的原解析大都用的是二项展开式的通项，机械套用多，思维水平低，解析步骤多，运算量大，出错率高;用原理法来解决关于二项式定理的问题，高阶思维多，化简运算少，解答时间短，正答率高，体现了数学是思维的体操，落实了逻辑推理和数学运算两大核心素养.

【关键词】 高阶思维;数学运算;逻辑推理

1 原理法解读

根据初中幂的定义[1]，（a+b）n表示n个（a+b）因子相乘（其中的n是正整数，以下同），按照分类加法和分步乘法计数原理[3]，（a+b）n展开式的每一项均来自这n个因子（a+b），要么取因子（a+b）的a，要么取因子（a+b）的b，如果取了r个b，（r可以取0，1，2，…，n），那么一定取了n-r个a，而且是从n个（a+b）因子中随机取了r个因子（a+b），由于乘积跟顺序无关，所以其系数属于组合数问题.另外，由于可以全部取a（此时不取b），或者全部取b（此时不取a），由此按照a的次数的从高到低、从n到0的顺序（此时b的次数是从低到高、從0到n）可以得到二项式定理[3].

由于这种办法源自幂的定义，用的是分类加法原理和分步乘法计数原理[3]，所以称这种方法为原理法.笔者在教学实践中发现，关于二项式定理的高考题原解析过程大都用的是二项展开式的通项，机械套用多，思维水平低，解析步骤多，运算量大，出错率高;用原理法来解决关于二项式定理的问题，高阶思维多，化简运算少，解答时间短，正答率高，体现了数学是思维的体操，落实了逻辑推理和数学运算[2]两大核心素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部审定.义务教育教科书.七年级数学上册.北京：人民教育出版社，2012，41-44.

[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）.北京：人民教育出版社，4-7.

[3]中华人民共和国教育部审定.人教版高中数学选修2-3.北京：人民教育出版社，5-36.

[4]曲一线.5年高考3年模拟.2022版.北京：首都师范大学出版社，126-159.