例析原理法解决二项式定理有关问题

2022-07-24 12:12孙书刚
数理天地(高中版) 2022年8期
关键词:数学运算高阶思维逻辑推理

孙书刚

【摘 要】 关于二项式定理的高考题的原解析大都用的是二项展开式的通项,机械套用多,思维水平低,解析步骤多,运算量大,出错率高;用原理法来解决关于二项式定理的问题,高阶思维多,化简运算少,解答时间短,正答率高,体现了数学是思维的体操,落实了逻辑推理和数学运算两大核心素养.

【关键词】 高阶思维;数学运算;逻辑推理

1 原理法解读

根据初中幂的定义[1],(a+b)n表示n个(a+b)因子相乘(其中的n是正整数,以下同),按照分类加法和分步乘法计数原理[3],(a+b)n展开式的每一项均来自这n个因子(a+b),要么取因子(a+b)的a,要么取因子(a+b)的b,如果取了r个b,(r可以取0,1,2,…,n),那么一定取了n-r个a,而且是从n个(a+b)因子中随机取了r个因子(a+b),由于乘积跟顺序无关,所以其系数属于组合数问题.另外,由于可以全部取a(此时不取b),或者全部取b(此时不取a),由此按照a的次数的从高到低、从n到0的顺序(此时b的次数是从低到高、從0到n)可以得到二项式定理[3].

由于这种办法源自幂的定义,用的是分类加法原理和分步乘法计数原理[3],所以称这种方法为原理法.笔者在教学实践中发现,关于二项式定理的高考题原解析过程大都用的是二项展开式的通项,机械套用多,思维水平低,解析步骤多,运算量大,出错率高;用原理法来解决关于二项式定理的问题,高阶思维多,化简运算少,解答时间短,正答率高,体现了数学是思维的体操,落实了逻辑推理和数学运算[2]两大核心素养.

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部审定.义务教育教科书.七年级数学上册.北京:人民教育出版社,2012,41-44.

[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订).北京:人民教育出版社,4-7.

[3]中华人民共和国教育部审定.人教版高中数学选修2-3.北京:人民教育出版社,5-36.

[4]曲一线.5年高考3年模拟.2022版.北京:首都师范大学出版社,126-159.

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