例谈初中几何动态问题的有效突破

王晓卫

【摘要】初中几何动态问题是各类测试中的常考问题，也常出现在中考中，且占有较高分值.因该类问题对学生分析问题能力及解题能力要求较高，很多学生遇到相关题目往往不知道如何下手.针对这一现状，教师在教学中为提高学生的解题能力，提高其解题的自信心，应做好初中几何动态问题类型的汇总，展示相关习题的具体解题过程，使学生更好地掌握不同几何动态问题的解题思路.

【关键词】初中几何;动态问题;突破;例谈

初中几何动态问题大致分为动点、动线和动形三大类问题，其中动形指的是整个图形的运动，其可进一步细分为几何图形的运动、函数图像的运动两类.事实上，无论是动点、动线还是动形问题，其位置发生变化往往会引起一些参数的变化.如何运用所学描述其变化或者建立变化参数与不变参数之间的关系成为解题的关键.为使学生更好地突破该类问题，教师既要做好基础知识教学，又要优选精讲相关例题，尤其在讲解相关例题时，应注重明确习题考查的知识点，给学生预留独立思考的时间，并根据学生的表现做好解题思路的点拨，使其尽快找到解题思路，增强其解题的自信心.

一、动点问题的有效突破

点是线的重要构成部分.点的运动会引起线的位置、方向的改变.不同动点问题的情境有所不同，其突破的方法也有所区别.实践表明，突破该类问题的常用思路为：运用转化思想将动点转化为动线段，再添加辅助线，运用相关的几何性质进行解答.教学中为使学生更好地突破该类问题，教师应结合自身授课经验，做好优秀习题的积累，并结合教学进度展示与讲解相关例题，注重制作相关的多媒体课件，为学生动态展示点的运动，使学生能够清晰地看到点运动导致了哪些线段、参数的变化，给学生带来直观的认识，降低其理解难度.同时，为使学生当堂消化吸收所学，教师应紧跟讲解的例题设计相关的问题，要求学生结合所学及自身的理解进行解答.如教师可通过以下例题的讲解，使学生掌握添加辅助线解答动点问题的技巧.

例1 如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10 cm，AF=2 cm，点E，D分别从A，B点出发，沿AC，BA方向匀速运动，运动的速度分别为2 cm/s，1 cm/s，设运动的时间为t（0

习题要求t的值，而D点的运动速度为1 cm/s，根据运动速度、时间、距离的关系可将问题转化为求BD的长.根据题意，过点C作平行于AB的直线，和DE的延长线交于点H，如图2.

由题意，可知BD=t，AE=2t，DF=10-2-t=8-t，由AB∥CH，可知△DFG∽△CHG，△ADE∽△CHE.由三角形相似，可知DFCH=FGCG=12，∴CH=16-2t，又∵ADCH=AECE，∴t=2或t=253（舍去），因此，选择B项.

二、动线问题的有效突破

动线问题在初中数学中较为常见，习题难度有所不同.线的运动往往会引起图形形状的改变，因此，解答该类问题应注重结合已知条件确定线段运动过程中变与不变的量，在此基础上运用三角形全等、三角形相似等性质寻找参数间的规律.教师在教学中为使学生更好地突破动线问题，一方面，应在讲解相关知识点时注重运用多媒体技术为学生展示常见的动线情境，在学生头脑中留下深刻印象，使其牢固记忆相关的模型，指引其以后更好地解题.另一方面，教师在讲解相关习题时应重视为学生留下一定的思考时间，尤其应围绕相关的问题在课堂上与学生积极互动，逐步指引其找到解题思路.如例2，突破的关键在于找到三角形全等的判定条件，而后找准对应相等的线段.课堂上教师可设计如下问题与学生互动：（1）MN绕点C运动的过程中，△ACD，△CBE的形状是否发生变化？（2）△ACD，△CBE的形状是怎样的？（3）判断直角三角形全等需要哪些条件？（4）三角形全等有哪些性质？当学生认真思考上述问题后，也就能很快找到解题思路.

例2 在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD和BE均垂直于直线MN，垂足为D，E.

（1）当MN处在图3①位置，求证DE=AD+BE;

（2）当MN分别处在图3②、图3③位置时，DE，AD，BE之间有怎样的关系？并证明.

该题目属于探究题，解答问题（2）可从问题（1）中获得启发，运用三角形全等知识进行转化.

对于问题（1），根据题意可知，∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE，而∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，则△ACD≌△CBE，则AD=CE，CD=BE.又∵DE=CD+CE，∴DE=AD+BE.对于问题（2），可尝试寻找图中的全等三角形.对于图3②，容易得到∠CAD=∠BCE，则△ACD≌△CBE，则AD=CE=CD+DE，CD=BE，则AD=BE+DE;在图3③中，△ACD≌△CBE，BE=CD=CE+DE，AD=CE，则BE=AD+DE.

三、动形问题的有效突破

1.几何图形运动

几何图形运动会导致图形诸多参数的变化，如角度、距离等.该类问题一般难度较大，学生需要具备全局意识，尤其需要具备灵活思维，大胆作出辅助线，借助几何图形的性质、三角形全等、三角形相似等构建等量关系，求解出未知量.教学中为使学生更好地突破动形问题，一方面，教师應鼓励学生积极回顾所学的几何图形，做好几何图形相关性质的汇总，尤其注重运用思维导图将学生所学的知识串联起来，清晰地展现出不同知识点之间的关系，将几何知识点形成网络，其以后更好地应用做好铺垫.另一方面，教师在课堂上应为学生精讲相关的例题，并要求学生做好听课的总结与反思，总结例题考查的知识点、相关的破题技巧，反思听课中遇到的问题，认真分析问题出现的原因是基础知识掌握不牢固还是未能掌握相关的解题技巧，然后在课下通过针对性的巩固，或积极向其他学生请教，及时解决听课中的问题.如例3，完成例题讲解后，教师要求学生总结解题技巧，最终学生经过讨论认为，突破该题的关键在于作出正确的辅助线，借助三角形相似这一重要桥梁构建对应参数的比例等量关系，逐步求解未知参数.

例3 一半径为1的⊙O和Rt△ABC的两直角边AC，BC相切，如图4所示，若⊙O沿边BC平移至和AB相切，其中AC=6，BC=8，则⊙O平移的距离为（  ）.

A.3    B.4

C.5D.6

该题求两个圆心的距离，需要作出辅助线建立和已知条件的联系.设平移后⊙O和AB的切点为点F，分别过O，O′作和CB垂直的直线，垂足分别为H，E，直线O′E和AB交于点G，连接DO，O′F，如图5.

∵GE∥AC，

∴∠O′GF=∠A，

∠ACB=∠O′FG=90°，

∴△O′FG∽△BCA，

则O′GBA=O′FBC，

∴O′G=54，

则GE=54+1=94.

又∵△GEB∽△ACB，则GEAC=BEBC，

则BE=3，则OO′=HE=8-1-3=4，选择B项.

2.函数图像的运动

函数图像的整体运动与一般几何图形的整体运动不同.一方面，函数图像有具体的解析式;另一方面，无论其怎样运动，可运用抛物线的平移规律进行表示.解答该类问题运用的知识点主要有：函数图像的性质、函数图像的平移规律、其他的一些几何图形性质.为使学生更好地突破函数图像运动问题，一方面，教师可通过鼓励学生开展学习、探究活动，把握函数图像平移的本质，总结函数图像平移与函数解析式之间的规律，做到知其然更知其所以然，提高解题的正确率.另一方面，教师可结合学生所学，注重创设一些新颖的问题情境，进一步拓宽学生视野，使其通过对比新颖问题情境与常规情境，找到两者的内在联系，更好地找到突破口.如例4，在平时训练中，学生遇到的多为函数图像横向和纵向平移分开的情境，而该题涉及的是函数图像斜着平移，能很好地锻炼学生思维的灵活性.事实上，突破该题的关键在于将函数图像斜着平移转化成横向和纵向两个方向上的平移，设出参数后运用平移规律不难得出正确结果.

例4 如图6，已知抛物线y=ax2+c（a≠0）的图像交y轴于点A，交x轴于B，C两点（C点在x轴正半轴上），其中△ABC为面积为4的等腰直角三角形.将抛物线沿BA方向平移，当其经过C点时，和x轴的另一交点为E，其顶点为F，连接OF.试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由.

解答该题需要学生根据已知条件求出抛物线y=ax2+c的具体解析式，而后通过设出在水平及竖直方向上的平移量，运用抛物线的平移规律进行求解.

根据已知条件容易得到OA=OB=OC=c，由△ABC的面积为4，可求得c=2或-2（舍去），将C（2，0）代入得到a=-12，则y=-12x2+2.设抛物线分别向左、向上平移m，n个单位，可知m=n，则F（m，m+2），平移后的解析式为y=-12（x-m）2+2+m，将C（2，0）代入，得到m=6或0（舍去），则其对称轴为直线x=6，则E（10，0），F（6，8），則OF=62+82=10，OE=10，EF=（10-6）2+（0-8）2=45，OF=OE，∴△OEF是等腰三角形.

四、动图问题的有效突破

在初中几何动态问题中还存在着动图的问题，教师要有效引导学生突破动图问题，其中图形的运动变换主要包括三种基本的形式，分别是平移变换、旋转变换及翻折变换.这三种变换主要是通过对一些给定的图形进行某种位置的变化，然后通过对新图形的分析来探究其图形之间存在的关系.对于动图问题的考查，经常是与探究性、存在性问题结合起来对学生进行考查.动图问题的解决主要是考查学生在解题过程中的动手实践能力、观察能力和探索能力等.因此，在初中数学结合动态问题的教学实践中，教师要能够有效结合动图中的三种基本形式引导学生进行解题的突破，帮助学生结合不同变换形式的特点去找到解题的突破口，提高对动图问题解题的效率和质量.

1.图形平移的运动

图形平移的运动指的是将图形上的所有点都按照某一个特定的方向进行相同距离的移动，而这样的图形运动就是图形的平移运动.图形的平移并不会改变图形的形状及大小.

例5 如图7，在一条直线上存在着四个点，分别是G，E，A，B，而Rt△EFG在图中的位置开始进行运动，并且是沿着直线AB、从左到右进行平移，当Rt△EFG的点G与B点重合时，停止运动.假设△EFG和矩形ABCD重合的部分所构成的阴影部分的面积为S，那么当图形平移运动的时间为t时，S与t的图像大致为（  ）.

A

B

C

D

解答该题要能够借助图形平移的特点进行观察和分析，借助图形平移中G和B点之间的距离、A和E点之间的距离等因素，认识到面积S就是图形PAEF，借助图形PAEF所构成的面积关系来进行推算、验证.

先根据题目和图形中的信息进行假设：假设GE的长度为a，EF的长度为b，AE的长度为m，AB的长度为c，假设Rt△EFG在向右移动时的速度为1，

那么当点E在点A的左侧时，此时两个图形并没有相交，所以S=0.

当点G在点A的左侧、点E在点A的右侧时，为如图8的情况.

此时AE=t-m，GA=a-（t-m）=a+m-t，

∵PA∥EF，∴△GAP∽△GEF，

∴PAEF=GAGE，即PAb=a+m-ta，

∴PA=ba（a+m-t），

∴S=12（PA+FE）·AE=12·ba（2a+m-t）（t-m）.

∴S是t的二次函数，并且这个二次函数的二次项系数是负的，那么这也就能够判断出这个二次函数的开口是向下的.

当点G在点A的右边并且点E在点B的左侧时，此时的面积S=ab2.

当点G在点B的左边并且点E在点B的右侧时，

此时GB=a+m+c-t.

∵PB∥EF，∴△GBP∽△GEF，

∴PBEF=GBGE，即PBb=a+m+c-ta， ∴PB=ba（a+m+c-t），

∴S=GB·PB2=12·（a+m+c-t）·ba·（a+m+c-t）=b2a·（t-a-m-c）2.

所以，能够得出此时面积S是t的二次函数，并且此二次函数的二次项系数为正数，所以能够判断此时的二次函数图像的开口是向上的.

综合以上情况，我们能够了解到，S与t的图像能够分为四个部分，第一部分是x轴上的一条直线，表示的是当S为0的时候，第二部分是函数图像开口向下的抛物线中的一部分，第三部分是与x轴相平行的线段，第四部分是函数图像开口向上时的抛物线中的一部分，以此就能够推测出答案为D选项.

2.图形的旋转运动

图形的旋转运动指的是一个图形，以图形上的某一个点为定点进行逆时针或者顺时针的旋转.图形旋转问题则是以一个图形或者两个图形的旋转之下所形成的一种关系进行解题.

例6 在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC相交于点F，ED和AB，BC分别相交于M，H两点.

（1）求证：CF=CH;（2）在图②中，Rt△ABC没有移动，将Rt△EDC以点C为定点，绕着点C进行逆时针旋转，当旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并进行证明.

在解决该题目时，要能够利用三角形在旋转时与另外一个三角形之间存在的关系去思考如何解题.

（1）

∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，

∴∠1=∠2=90°-∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°.

在△ACF和△DCH中存在着三种关系，∠A=∠D，AC=CD，∠1=∠2，

∴△ACF≌△DCH，

∴CF=CH.

（2）四边形ACDM为菱形.

证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，

∴∠1=∠2=90°- 45°=45°.

∵∠A=∠D=45°，

∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°.

同理可得∠D+∠ACD=180°.

∴AM∥DC，AC∥DM，

∴四边形ACDM是平行四边形.

又∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形.

解答这一题目的关键在于借助Rt△EDC旋转之后各个角度之间的关系去推测对应边、角之间的关系，就能够帮助学生更好地去突破图形在旋转中所出现的问题，也能够让学生有一个更加清晰的思路去进行思考.

五、小 结

几何动态问题是初中阶段的重难点问题，是学生间重要的拉分題型.为使学生掌握该类题型的解题技巧，教师应增强其解题的自信，既要做好题型的汇总及对应习题的讲解，又要组织学生积极开展专题训练活动，使学生不断积累解题经验、技巧，从而根据不同习题情境灵活作出辅助线，运用所学几何知识迅速构建方程，正确求解相关参数.

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