函数单调性讨论中参数分类标准的确定

福建省德化第一中学吴志鹏(362500) 吴志鹏

讨论函数的单调性?等价于分析其导函数的正负性,通过解不等式获得原函数的增、减区间,确定其单调性,但是在解不等式的过程中经常会与“参数”狭路相逢,面对“参数”,很多学生表现出无能为力,讨论起来很困难,究其原因是找不着分类的标准,稀里糊涂的,找不着北.那么如何能做到准确分类?①熟悉模型,确定分类的标准,做到有根有据; ②在定义域内进行分类讨论,做到“不重复也不遗漏”.下面就分类标准的确定作进一步的阐述:

类型一:导函数含有确定值域的函数式

若导函数含有如x2,ex等确定值域的式子,对于此类含参式子的讨论,我们可根据多个非负实数式子的和为非负实数或多个非正实数式子的和为非正实数,确定分类标准,如:

例1 (2020 高考全国卷文科节选)已知函数f(x)=x3−kx+k2,讨论f(x)的单调性.

评析由于f′(x)=3x2−k,导函数中3x2≥0,根据两个非负实数式子的和仍为非负实数,只需让−k≥0 即k≤0,此时f′(x)≥0,所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增;而当k >0 时,则通过解不等式f′(x)=3x2−k >0 或f′(x)=3x2−k <0 得函数的增区间或减区间,确定函数的单调性.即本题中参数k可按k≤0 和k >0 进行分类.

解析当k≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增; 当k >0 时,令f′(x)=0,得x=,令f′(x)<0,得−< x <令f′(x)>0,得x <−或x >,所以当k≤0 时,f(x)在(−∞,+∞)上单调递增; 当k >0 时,f(x)在上单调递减,在,上单调递增.

同型题(2021年高考全国卷节选)已知函数f(x)=alnx+x2(a∈R,且a≠0),讨论函数f(x)的单调性.

例2 (2017年高考全国卷理科节选)已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x,讨论f(x)的单调性.

评析f(x)的定义域为(−∞,+∞),f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(aex−1)(2ex+1),因导函数中2ex+1>0,所以我们只需讨论aex−1 的符号即可,由ex >0,利用两个非正数的和为非正数,则当aex非正时,其与−1 的和为负数,此时选取a≤0,从而确定参数a的讨论标准,分为a≤0和a>0 两类进行.

解析(ⅰ)若a≤0,则f′(x)<0,所以f(x)在(−∞,+∞)单调递减.

(ⅱ)若a >0,由f′(x)=0 得x=−lna.当x∈(−∞,−lna)时,f′(x)<0; 当x∈(−lna,+∞)时,f′(x)>0.所以,当a≤0,f(x)在(−∞,+∞)单调递减; 当a >0 时f(x)在(−∞,−lna)单调递减,在x∈(−lna,+∞)单调递增.

例3 (2017年高考全国卷文科节选)已知函数f(x)=ex(ex−a)−a2x,讨论f(x)的单调性.

评析函数f(x)的定义域为(−∞,+∞),f′(x)=2e2x−aex−a2=(2ex+a)(ex−a),此时导函数中ex >0,而两个式中的a与−a的符号恰好相反,若a >0 则2ex+a >0,我们只需讨论ex−a的符号即可,从而确定参数a的分类标准,分为a<0,a=0 和a>0 三类情况.

解析函数f(x)的定义域为(−∞,+∞),f′(x)=2e2x−aex−a2=(2ex+a)(ex−a),

①若a=0,则f′(x)=2e2x >0,在(−∞,+∞)单调递增;

②若a >0,则由f′(x)=0 得x=lna,当x∈(−∞,lna)时,f′(x)<0; 当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(−∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.

③若a <0,则由f′(x)=0 得x=ln(−a/2),当x∈(−∞,ln(−a/2))时,f′(x)<0;当x∈(ln(−a/2),+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(−∞,ln(−a/2))单调递减,在(ln(−a/2),+∞)单调递增.所以当a=0 时,f(x)在(−∞,+∞)在单调递增; 当a >0 时,所以f(x)在(−∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.当a <0时,f(x)在(−∞,ln(−a/2))单调递减,在单调递增.

类型二:导函数中存在含有参数的“二次三项式”

对于此类含参导函数,讨论起来稍微有点复杂,甚至有可能出现两次确定分类标准,很多学生甚感“无能为力”,对于此类含参的多项式,若二次项系数含有参数,首先我们得明确其为二次式还是一次式?确定首轮分类标准,即将二次式的系数以0 为标准进行分类,而对于二次式系数为常数的则只需解二次不等式f′(x)>0 或f′(x)<0,此时即把判断二次不等式是否有解作为依据,计算∆≤0,得到参数的分类标准,此过程需结合二次项的系数的正负来确定,即根据函数图象与x轴的交点情况进行讨论.

例4 若函数f(x)=ax++lnx,讨论函数的单调性.

评析f(x)的定义域(0,+∞),f′(x)=a−=,由于导函数是一个含参的分式,分母x2>0,即可设分子h(x)=ax2+x−2 为一个二次项含参的多项式,则此处的分类标准为式子是否是二次式?分为a=0 和a≠0 两类;当a=0 解f′(x)>0 和f′(x)<0 得单调增(减)区间; 当a≠0 时,则需根据∆≤0 和∆>0 以及二次项系数的正负来确定参数的讨论标准,当∆=1+8a≤0即a≤−,结合二次项系数的正负可分为a≤−,0 三类情形进行讨论.

解析(1)当a=0 时,h(x)=x−2,所以当x∈(0,2),h(x)<0,即f′(x)<0,所以f(x)在(0,2)单调递减; 当x∈(2,+∞),h(x)>0,即f′(x)>0,所以f(x)在(2,+∞)单调递增;

(2)当a≠0,由于∆=1+8a.

①若∆=1+8a≤0,即a≤−时,在x∈(0,+∞)上,即h(x)≤0 即,f′(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减;

由于导函数是一个含参的分式,分母x2>0.设h(x)=x2−ax+1,则分子h(x)为一个含参的二次多项式且二次项系数为常数,此时可根据x2−ax+1=0 是否有解及解的情况来确定参数的分类标准,即按∆≤0 及∆>0 分类,可确定参数按a<−2;−2≤a≤2;a>2 进行分类.

解析当−2≤a≤2 则f′(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减.

当a >2,令f′(x)=0 得,x1=或x2=>0.且x1< x2; 当x∈(0,x1)和(x2,+∞)时,f′(x)<0; 当x∈(x1,x2)时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,x1),(x2,+∞)单调递减,在(x1,x2)单调递增.当a <−2 时,此时x1< x2<0 不在定义域内,f(x)在(0,+∞)单调递减.

类型三:导函数中存在不确定大小的含参零点

对于此类导函数,在分析不等关系时,首先要弄清零点是否在定义域内?若零点均在定义域内,就是要判断零点的大小,并以此为依据确定参数的分类标准.

例7 (2019年高考全国卷理科节选)已知函数f(x)=2x3−ax2+b,讨论f(x)的单调性.

评析由于函数的定义域为(−∞,+∞),对函数求导得:f′(x)=6x2−2ax=6x(x−),此时的导函数在定义域内存在两个零点,即0 和,为了求解不等式f′(x)>0 或f′(x)<0,我们需要判断两根的大小,即0 和的大小,找到参数a的分类标准,即a <0,a=0 和a >0 三种情况进行讨论.

解析(1)由

得到:当a <0 时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;当a=0 时,f(x)在R上单调递增;当a>0 时,f(x)在(−∞,0)区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增.

例8 求函数f(x)=(x−2)ex+(x−1)2+e(其中a∈R)的单调性.

评析易见,

f′(x)=(x−1)ex+a(x−1)=(x−1)(ex+a),

观察导函数可知式子ex+a中的ex >0,依据两个非负实数的和为非负实数可确定分类标准为a≥0 和a<0,当a≥0时,ex+a >0 恒成立; 而当a <0 时,ex+a=0 有根为x=ln(−a),此时需通过比较两根的大小确定分类标准.

解析易见,

f′(x)=(x−1)ex+a(x−1)=(x−1)(ex+a).

(1)若a≥0 时,ex+a >0 恒成立,所以当x <1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

(2)若a<0 时,令f′(x)=0 得x1=1 或x2=ln(−a);比较两根可知:当a=−e 时,x1=x2; 当−e< a <0 时,x1>x2;当a<−e 时,x1

①当a=−e 时,x2=ln(−a)=1=x1,f′(x)≥0,f(x)在R 上单调递增,如图1.

图1

②若−e< a <0 时,x2=ln(−a)<1=x1,当ln(−a)< x <1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x >1 或x0,f(x)单调递增,如图2.

图2

③若a <−e 时,x2=ln(−a)>1=x1,当1< x ln(−a)或x <1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,如图3.

图3

综上所述,当a≥0 时,f(x)在(−∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增; 当a=−e 时,f(x)在R 上单调递增; 当−e< a <0 时,f(x)在(ln(−a),1)单调递减,在(−∞,ln(−a)),(1,+∞)单调递增; 当a <−e 时,f(x)在(1,ln(−a))单调递减,在(−∞,1),(ln(−a),+∞)单调递增.

同型题(2021 全国高二单元测试)已知函数f(x)=ln+a2x2−ax,讨论函数f(x)的单调性;

解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),

通过分析导函数的符号,讨论含参函数的单调性,其关键点是确定参数的分类标准,只有理清参数在函数中的意义,明白为什么要这样分类,做到分类要有依有所据,才能条理清晰,以上三类例题为我们学习函数单调性讨论,参数分类标准的确定提供了有价值的示范.