义务教育数学课程标准(2022年版)之反思

华南师范大学数学科学学院(510631) 何小亚

2022年4月21日,千呼万唤、万众期待的《义务教育数学课程标准(2022年版)》[1](以下简称为“课标”)登上了历史舞台,大众终于可以一睹其神秘面纱之后的芳容.这次修订有三大亮点:一是把义务教育和高中教育的数学核心素养统一为“三会”,避免了义务教育与高中教育各搞一套核心素养的尴尬;二是培养“四能”(即发现、提出、分析、解决问题的能力)要求与国际数学教育的趋势接轨;三是强化课程育人导向,优化课程内容结构,增加了学业质量标准.尽管义务教育课程方案和课程标准修订是通过各级专家的预审、审议以及审核来保证其思想性和科学性,但考虑到这是一项影响广泛的国家文件,必须精益求精,要经得起大众的拷问.

真理越辩越明,希望大家都来关注这件数学教育大事,如果大家都不管不顾,明哲保身,做好好先生,那么怎么能促进天朝数学教育事业的蓬勃发展,实现伟大的“中国梦”?为了使“课标”更完善、更科学、更具有实操性.下面,就“课标”的课程性质、课程理念、课程目标、学业质量和行为动词中存在的一些困惑,提出自己的一些想法,供广大的数学教育工作者批评指正.

1.关于课程性质的反思

“课标”在此部分阐述了数学是什么,数学的来源,数学的作用,但并没有揭示数学最深层的本质特点.说“数学源于对现实世界的抽象”并没有讲清楚数学的本质来源?请问:你为什么要“抽”?你“抽”什么?你怎么“抽”?自然数的加法交换律、同底数幂运算法则、欧拉线、Ptolemy 定理、Ceva 定理源自于现实世界吗?大多数的数学概念、数学原理完全源自于纯数学自身逻辑演绎的发展,谁知道它们与当时的现实世界的关系?数学是超前于现实世界的,数学是创造新世界的模型!

不管是学数学还是教数学,一定要从数学学科自身特有的本质入手.那么数学这门学科有别于其余学科的本质特点是什么呢?笔者认为,追求简单化是数学的灵魂.数学是因为人类追求简单而诞生的.没有对简单化的追求,何来数学?数学是研究数量关系、空间形式和模式的科学.数学自身独有的、有别于其余学科的特点是:精确、严谨、简洁、概括、统一,而不是什么让人望而生畏的“高度的抽象性”,容易令人误解的“严密的逻辑性”(逻辑还有严密与不严密之分?),以及正确的废话“应用的广泛性”.数学之所以应用那么广泛,那是因为数学是精确的、严谨的、简洁的、概括的、统一的.数学美在何处?美在精确!美在严谨!美在简洁!美在概括!美在联系统一!数学的这五大特点决定了数学就是生产力,数学就是财富,是独立于社会科学和自然科学之上的学科.[2]

2.关于课程理念的反思

“课标”提了五条课程理念:(1)确立核心素养导向的课程目标;(2)设计体现结构化特征的课程内容;(3)实施促进学生发展的教学活动;(4)探索激励学习和改进教学的评价;(5)促进信息技术与数学课程融合.

第一条理念中的“核心素养”是面向所有学科的学生发展的核心素养,还是数学学科自身特有的核心素养,没有说清楚.在后面的“课程目标”中“核心素养”被界定为“三会”.如此看来,“课标”中的“核心素养”不是国家的学生发展的核心素养.从国家教育的层面说,数学学科是为实现国家的学生发展核心素养目标服务的,“课标”应该明确国家的要求:核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.核心素养是知识、能力和态度等的综合表现.在数学学科中,就是要倡导“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)、“四能”和情感态度价值观.

第二条理念说,课程内容要体现数学学科特征.请问数学学科的特征是什么?这是中小学一线老师也是教材编写者最想知道的内容.十分遗憾,“课标”在此没有回答,在课程性质中也没有讲清楚.为什么不直接指出:数学源自于人类对简单化的追求,数学是精确的、严谨的、简洁的、概括的、统一的?

高中的数学课程标准[3]提出了四条理念:(1)学生发展为本,立德树人,提升素养;(2)优化课程结构,突出主线,精选内容;(3)把握数学本质,启发思考,改进教学;(4)重视过程评价,聚焦素养,提高质量.这四条理念的内容与“课标”的前四条理念本质上是一致的.与小学初中数学的学与教相比,高中的统计、数学探究、数学建模更需要信息技术的支持,和高中相比,小学初中的数学教育更需要强调立德树人,否则就晚了.小学初中的数学课程及教学更需要突出本质、加强联系,否则就解决不了目前十分普遍的数学教学问题.

例如,三年级“倍的认识”这一课,教材的编写、教师的教学居然没有搞清楚“倍的认识”要认识什么.热热闹闹了40分钟,还是停留在红萝卜、白萝卜、黄萝卜上,把祖国的花朵当傻子一样来教.给我25分钟足矣.本节课的灵魂主线是:追求简单化!为了快速计数,我们来研究两个自然数的关系.每人发一个装满50 颗小星星的袋子,大家比赛看谁先数完.小亚同学1 颗1 颗地数,数了50 次,50 是1 的50 倍;中亚同学2 颗2 地数,数了25 次,50 是2 的25 倍;大亚同学5 颗5颗地数,数了10 次,50 是5 的10 倍.再加三个类似的例子来突出数学本质:要想知道较大的数N是较小的数n的几倍,就n颗n颗地数,数了几次就可以知道大N是小n的几倍.

比如,五年级的“平均数的再认识”,又认识了一节课,还没有回答好这些问题:为什么要学习平均数?它有什么作用?平均数的大小与一组数据里的每个数据都有什么关系?如何准确快速地计算一组数据的平均数?

又比如,四年级的“烙饼”课,老师的教学停留在低级的具体实物饼操作,并没有把解决问题的方法上升为更简单的数学表示:记此三张饼分别为A、B、C,第1分钟,A 正B 正;第2分钟,C 正B 反;第3分钟A 反C 反.更没有使学生明白:偶数张饼如何烙?奇数张饼如何烙?也没有说出最优化的价值,更没有总结出数学的灵魂——追求简单化!

再比如,九年级的解一元二次方程,大多数教师只能就方法说方法,居然没有去解决、强化配方法、公式法的必要性问题:为什么要学习配方法、公式法?也没有去突显解方程的本质——化归思想:高次化低次,低到一次;多元化少元,少到一元.更没有把追求简单化这一数学灵魂贯穿课堂始终.如此教法,怎么可能使学生感受到“配方法”“公式法”的必要性与其强大的“威力”——概括性(仅以一个有限的方法模式,就可以驾驭、搞定无穷多个具体方程的解法!)?又怎么能实现数学素养的第三层次目标——情感态度价值观目标?最终,激发学生学习数学的兴趣,减少数学对学生的“伤害”还是成了一句空话!

对于基础教育阶段的数学课程理念,如果我们不能从本质上区分,就没有必要小学初中搞一套,高中另搞一套.目前,可以把两套理念统一为:

育人理念:以人为本,提升素养,立德树人.

内容理念:以质为本,加强联系,精选内容.

教学理念:兴趣为本,启发思考,改进教学.

评价理念:素养为本,多元评价,促进发展.

信技理念:意识为本,融入课程,理解数学.

信息技术理念,不要为了信息技术而信息技术,一定要凸显信息技术为数学教育服务的本质定位.建议调整为:以增强有效地利用信息技术学习数学的意识为根本,提供信息技术支持下丰富的学习资源和教学资源,倡导基于信息技术的概念理解、原理运用、问题解决的创新教学活动,提高学生学习数学的兴趣,促进学生对数学的深刻理解.

3.关于课程目标的反思

3.1 何为核心素养?

“标准”从核心素养的内涵、总目标和学段目标来阐述课程目标.遗憾的是,这么重要的关键词“核心素养”,居然没有内涵的描述,我们不知道是学生发展的核心素养还是数学核心素养.“课标”回避了高中六条核心素养的不合理性问题以及它与小学初中的十条核心素养(即十个关键词)不统一的状况.运用揭示外延的方式,把核心素养定义为“三会”,即:会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.由其内容知道,这说的就是数学核心素养.大概是为了不和高中数学课程标准冲突,就省略不写“数学”二字.

其实,数学核心素养的内涵可以描述为:数学核心素养是一些重要的、关键的数学素养,而数学素养是满足学生自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力,是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体.其构成要素包括数学化、数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观;数学素养可以由低到高分成数学知识和技能、数学过程和方法、数学情感态度价值观这三个层次;数学素养的行为表现是,理解基本的数学概念和原理,具备一定的运算、数学化、推理能力,能运用数学解决问题,会用数学语言来表达和交流,形成良好的数学情感态度价值观.[4]

3.2 何为现实世界?

从“课标”对“三会”的内容的描述中可以看出,所说的“现实世界”不含纯数学世界,而只是自然现象、现实背景、实际情境、生活实践和其它学科这些真实世界的内容.数学研究的对象有两类,一是真实世界,二是纯数学世界.教数学只是教会学生观察真实世界,不教会学生观察纯数学世界?

数学家、数学教育家Hans.Freudenthal 早就指出[5]:学数学就是学习数学化,教数学就是教会学生数学化.

数学化被分成两种:一是水平数学化(horizontal mathematization),即从生活世界中简化出数学概念、数学原理等数学模式的过程,是从“生活世界”到“数学世界”的转化过程;二是垂直数学化(vertical mathematization):即从现有的纯数学世界中简化出更高级的数学概念、数学原理等数学模式的过程,是从低层数学到高层数学的过程.数学化的学习就是学习数学化的过程,即学习如何进行公理化、形式化、图式化、模型化,以及学习在数学内部由低级向高级的发展过程.

建议把“现实世界”修改为“世界”.这个“世界”=真实世界+数学世界.如此,就能和高中的“三会”统一起来.

3.3 何为数学的眼光?

在说明“会用数学的眼光观察现实世界”这一条核心素养时,没有明确什么是数学的眼光.更遗憾的是,描述数学眼光时,只说了从现实世界中抽象出数学的眼光,漏掉了另外一种研究纯数学、推动其发明创造的眼光.

数学的研究对象有两类,一是真实世界,二是数学世界.另外,数学化的内容主要有三类:一是问题,二是数学概念,三是数学原理.于是数学化的内容就可以细分为两类六种:一是在真实世界中利用理想化和数学表示提出数学问题、数学概念、数学原理,这个叫水平数学化.数学建模是一种很重要的水平数学化,可以将其单列出来讨论;二是在数学世界中利用共性化和数学表示提出更高级的数学问题、数学概念、数学原理,这个叫垂直数学化.[6]

数学眼光,就是观察数学世界和真实世界的一种意识,是在思考问题时数学方面的自觉意识、关注和思维习惯.它包括:数学科学视角下精确的眼光、严谨的眼光、简洁的眼光;概括的眼光、统一的眼光;数学化视角下理想化的眼光(将实体简化假设为几何模式或代数模式.比如,一个真实世界中的哥尼斯堡七桥问题被理想化为平面上的一笔画问题.)、共性化的眼光(对共同属性的敏感、直觉和发现,通俗地说,就是“事不过三”的意识.比如小学生观察纯数学世界中自然数的加法、偶数的分拆而发现加法交换律、哥德巴赫猜想);意识视角下的数学眼光:数的意识、符号的意识、空间观念、数据分析的意识、数学应用的意识.[7]

“课标”把数学眼光的表现描述为抽象能力(包括数感、量感、符号意识).对此,笔者有如下诸多想法:

首先,希望老师们不要把数感、量感、符号意识误解一些能力.数学眼光是一种意识,而意识可不是什么能力,不能把二者混为一谈.

其次,从“课标”对量感的界定看出,量感的内容属于“度量”概念的理解范畴,把一个“度量”概念的理解作为小学的核心素养之一的必要性与合理性何在?按照此逻辑,也可以把数学中比“量感”更重要的概念(例如,比和比例)的理解(“比感”)也列为数学核心素养.再说,初中的要求更高,更需要深刻理解长度度量、面积度量、体积度量、角度度量的本质,为什么反而不提量感了?

“课标”用了155 字来解释量感,但没有揭示出中小学度量的本质.度量源自于人类数量大小比较的需要.长度度量的本质是以短量长、面积度量的本质是以小片量大片、体积度量的本质是以小坨量大坨、角度度量的本质是以小角量大角.这些度量的本质都是“以小量大”[8]从大学的角度看,在一个集合中测量两个元素间的距离,就产生了度量,其本质上就是具有非负性、对称性和三角形不等式性质的度量空间上的距离函数.而测量集合的“大小”,就产生了测度,其本质是具有非负性、规范性和可列可加性的测度空间上的集合函数.

根据“课标”对数感内容的描述,量感可以归属于数感,没必要再分离出来.

第三,符号意识其实就是代数眼光.教代数,最重要的是要教会学生一种极其重要的代数眼光,即:以数的眼光看待代数字母和代数式.

对于代数字母a,一要会“看死a”:把a理解为一个确定的数值,a就是一个具体的数,“小鲜数”,不要在心理再问a=?;

二要会“看活a”:看活a,它就是一个变数、变量,可大,可小,可正,可负;

三要跳出代数看a,理解它在四种空间中的几何意义:a是某一点的坐标,某一线段的长度,某一图形的面积,某一几何体的体积,这些度量的正负是有意义的,表明了对象所处的方位;

四要看破代数字母之间的等价性:表示数的所有字母的变与不变的双重性质都是一样的,a≡b≡c≡···≡x≡y≡z.不要总是默认a、b、c是常数,x、y、z是未知数、是变量,x是自变量、y是因变量.

只要一说方程、不等式、函数,就要先明确谁是未知数、自变量!请把教材、习题、中高考试卷中的“解方程:”“解不等式:”修改为“解关于的方程:”“解关于的不等式:”我们已经误导了学生70 余年,是时候正本清源了!

对于代数式(3a+b)/(3a−b),一要会“看死它”——以数的眼光看代数式的压缩眼光:把它理解为一个确定的数值,它就是一个具体的数,不要在心理再问怎么计算?它等于多少?教师可以这样教学生:a是不是表示1个数?3a是不是1个数?b是不是1个数?那么3a+b是不是1个数?3a−b是不是1个数?这两个数进行有意义的相除,结果是不是1个数?表示1个数最简单的方式是什么?所以,为了简洁,为了节省笔墨纸张和人力物力,可否把(3a+b)/(3a−b)压缩简化记为t?哈哈哈,你现在明白为什么数学就是财富了吧!

二要会“看活它”:看活它,它就是一个变数、变量,其值由字母a、b的取值确定,只要给定一组确定的数值a、b,经过有限次的有意义的加减乘除,就算出唯一的1个数(在学习函数和高等数学之前,就把多元函数结构思想渗透其中);

三要跳出代数看它,理解它在四种空间中的几何意义:它是某一点的坐标,某一线段的长度,某一图形的面积,某一几何体的体积,某条直线的斜率,这些度量的正负是有意义的.

3.4 何为数学思维?

“课标”在第二会“会用数学的思维思考现实世界”中,解释了数学思维的作用:可以揭示、构建逻辑联系,可以解决两种问题,可以问题求解和系统设计,形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,培养科学态度与理性精神.遗憾的是“课标”并没有回答什么是数学思维.更遗憾的是“课标”对数学思维的主要表现的描述只提到了数学逻辑思维,而且其描述不够全面,也不具体.最大的遗憾是少了数学形象思维这一大领域.

数学研究的对象是数学世界中的空间形式、数量关系、模式结构,以及真实世界中的问题,我们称它们为数学对象.数学思维是以数学对象为思维对象,以数学语言符号为思维载体,并以认识、揭示数学本质规律和解决问题为目的一种思维.数学思维主要包括数学逻辑思维和数学形象思维.

数学逻辑思维是按逻辑规则对概念、判断、推理等言语信息进行加工处理得出新的数学判断的思维.这里所说的逻辑包括形式逻辑和辩证逻辑两方面的意义.

在形式逻辑方面,要求思维主体理解概念的内涵和外延、概念间的关系、各种判断或命题的结构,掌握基本的逻辑运算、推理规则和形式逻辑的基本规律(同一律、矛盾律、排中律、充足理由律),也就是说,在推理论证过程中,概念和判断必须保持一致性,不要偷换概念,偷换论题,判断不自相矛盾,不模棱两可,要有充分的根据.

在辩证逻辑方面,要求主体运用辩证的观点(比如,客观事物是不断地运动、变化、发展着的;事物的发展变化遵循着对立统一规律、质量互变规律和否定之否定规律.)去处理所面临的问题.

数学逻辑思维在形式逻辑方面的表现形式主要有数学中的分析、综合、抽象、概括、比较、分类、归纳、演绎、系统化、证明、反驳等等.而在辩证逻辑方面则表现为思维过程的辩证法.其关键在于抓住数学中各式各样的矛盾(如已知与未知、常量与变量、有限与无限、一般与特殊、直与曲,等等)进行分析转化.转化的策略一般有化陌生为熟悉、化繁为简、正难则反、顺推与逆推之结合、动与静之转化、数形结合、一般与特殊之互化.

数学形象思维是以数学表象为思维材料的思维.数学表象是人脑对数学对象进行形式结构的特征概括而得到的观念性形象,是过去认知结果的形象记忆.其形式主要包括数学表象的形成、数学表象的分解与组合、联想和想象.[9]

因此,数学思维的主要表现是数学中的分析、综合、抽象、概括、比较、分类、归纳、演绎、系统化、证明、反驳、化归(化陌生为熟悉、化繁为简、正难则反、顺推与逆推之结合、动与静之转化、数形结合、一般与特殊之互化),以及数学表象的形成、数学表象的分解与组合、联想和想象.

理解数学概念、数学原理的概括性(笔者喜欢将其说成“通杀性”,即:以一个有限的定义模式、原理结构模式驾驭无穷的具体)是数学逻辑思维培养的核心内容.与其余学科相比,为什么那么多网友受到数学伤害?为什么要把数学赶出高考?为什么许多公民认为,除了买菜计算之外,数学没什么用,他们还经常像中央电视台著名主持人崔永元一样做数学考试的噩梦:水池有一个进水管,5小时可注满,池底有一个出水管,8小时可以放完满池的水.如果同时打开进水管和出水管,那么多少小时可以把空池注满.噩梦醒来去买西瓜,“小贩乐得眉开眼笑,崔哥,我给你挑一个大的,一共是7 斤6 两4,一斤是1 块1 毛5,崔哥,你说是多少钱?我忽然失去控制,大吼一声,少费话!”“抱歉!对我来说,数学是疮疤,数学是泪痕,数学是老寒腿,数学是类风湿,数学是股骨头坏死,数学是心肌缺血,数学是中风,……,当数学是灾难时,它什么都是,就不是数学.”[10]

数学不受大众待见的主要原因是我们的数学思维教育出了问题.如果每一个数学教师能指出:数学好的人,更不用说数学家,从来不去心算7.64×1.15,并能示范引领学生理解数学概念、数学原理的概括性,感受到“以一个有限的模式驾驭无穷的具体”这一强大的简化功能,感受数学是精确的、严谨的、简洁的、概括的、统一的,那么,像崔永元这样的学生还会深受数学之苦吗?

例如,一个小学数学教师可以如此与学生互动分享自己对三角形面积公式的理解:请问世界上有多少个三角形?……,是啊,成千上万,数不胜数!有胖有瘦,有大有小,大到宏观世界中边长是光年级别的三角形,小到微观世界里边长是纳米级别的三角形,这么多无穷无尽的三角形面积的度量可以精确、严谨、简洁、统一为一个模式——1/2 底乘高.

到了高年级还要追问:为什么三角形的面积是1/2 底乘高?为什么平行四边形的面积是底乘高?为什么长方形的面积是长乘宽?什么叫面积?度量长度的本质是什么?类似地,度量面积要我们去做什么?如何度量才简单?自然数的计算和小数的计算哪一个简单?怎样把每一边都量出整数单位?乘法与加法是什么关系?作为曾经的数学正高级教师职称评委组长,笔者问过几个参评者,十分遗憾的是没有一个参评老师能回答清楚前述的第一个问题.

数学思维的主要目的是解决问题.解决真实世界的问题属于数学建模的范畴.数学建模就是运用理想化和数学表示的手段从实际问题中提炼概括出一个数学模型,求出模型的解,检验模型的合理性,从而使这一实际问题得以解决的过程.解决纯数学问题,无论是证明题还是求解题,其思维本质是寻求题设与目标之间的逻辑联系,思维方法是:要学会顺推——由因导果;还要学会逆推——执果索因,寻求目标成立的充分条件;更要学会将顺推与逆推相结合统筹考虑——上下紧逼,前后夹攻,思路贯通!与数学概念、数学原理一样,问题解决具有二重性,其对象性和过程性分别是前述的思维本质和思维方法.

4.关于学业质量的反思

既然数学课程学业质量标准是学业水平考试命题及评价的依据,那么其科学性、层次性、操作性要得到保证.作为一个具有7年高考数学命题或命题组长和6年的中考数学命题评价经验的“业内人士”,笔者想谈一谈自己基于命题实践经验的看法.

首先,“课标”在学业质量的内涵中指出,学业质量标准要以核心素养(即“三会”)为主要维度的说法值得商榷.“三会”是最高层次的宏观要求,“标准”对“三会”中“数学眼光”“数学思维”都没有做出全面、具体的描述,无法让人按照“三会”去命制小学、初中的学业考试题.“三会”根本不具备操作性,只能作为导向,不能作为考试命题的主要维度.其次,“课标”提出可以从三方面去评估核心素养(即“三会”)达成情况:

(1)以结构化数学知识主题为载体,在形成与发展“四基”的过程中所形成的抽象能力、推理能力、运算能力、几何直观和空间观念等.

(2)从学生熟悉的生活与社会情境,以及符合学生认知发展规律的数学与科技情境中,在经历‘用数学的眼光发现和提出问题,用数学的思维与数学的语言分析和解决问题’的过程中所形成的模型观念、数据观念、应用意识和创新意识等.

(3)学生经历数学的学习运用、实践探索活动的经验积累,逐步产生对数学的好奇心,求知欲,以及对数学学习的兴趣和自信心,初步养成独立思考、探究质疑、合作交流等学习习惯,初步形成自我反思的意识.

简而言之,(1)是通过数学知识、“四基”来评价四个指标:抽象能力、推理能力、运算能力、几何直观和空间观念;(2)是通过情境、“三会”“四能”来评价三个指标:模型观念、数据观念、应用意识和创新意识;(3)是通过实践活动、综合实践、课题学习来评估情感态度价值观.

反思一:这样的分类评价模型会出现用知识来评价前四个指标,似乎后三个指标不用借助于知识来评价的问题;

反思二:难道只有后三个指标通过“三会”“四能”来评价?前四个指标不是在“三会”“四能”的框架下来培养的?答案显然是否定的.另外,“三会”明明是一级指标,二级指标中又出现一级指标,这种做法欠妥.

反思三:小学、初中(包括高中)的学业考试命题评价,还是要从业界熟悉的、具体的“三基”着手,因为七个指标太模糊了,不具实操性.

反思四:(3)说的是情感态度价值观,但只讲了宽泛的“基本活动经验、求知欲、兴趣、自信、学习习惯、反思意识.”没有给出具体的数学价值观,也没有明确数学的、具体的立德树人功能,如此就无法去具体落实评价.

既然文[11]]已经基本认同此观点:数学核心素养是一些重要的、关键的数学素养,而数学素养是指满足学生自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力,是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体现.那么,就应该承认数学素养是有层次的,可以由低到高分成数学知识和技能、数学过程和方法、数学情感态度价值观这三个层次.于是,学业质量评价标准应该是以核心素养为导向的数学素养测评,是分层次的操作性评价,而且是包含过程性评价与结果性评价的多元评价.评价的模型标准如下[12]:

A.知识与技能层次:知道什么?理解什么?会做什么?

这一维度指的是数学基础知识和基本技能.其内容主要包括三类:一类是数学概念、数学原理(即数学定理、性质、公式、法则)、基本的数学事实结论这样一些用于回答“是什么”问题的陈述性知识,它属于言语信息,人们戏称之为语文老师教的数学;第二类是涉及到数学概念、数学原理、基本的数学事实结论的运用,用于回答“做什么”的问题的程序性知识,它属于认知技能;第三类是数学操作性技能,它属于动作技能.

知识技能目标分为四个层次:了解、理解、掌握、综合运用(其内涵见下一节).综合运用的层次可以从知识点的多少与解题步骤的多少以及步骤间的跨度大小这三个维度去细分,也可以从正用、逆用和变用这三个维度去细分.

B.过程与方法层次:数学的思想、能力、问题解决、思维品质、眼光和活动经验.

具体内容是:通过数学学习过程,把握数学思想(比如,数学表示思想、数形结合思想、化归思想、方程思想、函数思想、一般化思想、特殊化思想、模型化思想、统计思想、随机思想、微积分思想、公理化思想.);培养数学能力(包括数学核心素养的操作性定义,数学学习能力,数学抽象的操作性定义见本文3.3 小节);提高问题解决能力;改善数学思维品质(广阔性、深刻性、灵活性、独创性、批判性、严谨性),发展数学眼光(内涵及外延见本文3.3 小节);积累基本活动经验.

基本活动经验是指经历一项数学基本活动后所获得的意会知识(tacit knowledge).意会知识是指不能言传的、不能系统表述的知识.意会知识是镶嵌于实践活动之中的,是情境性的和个体化的,只可意会,不可言传.只有通过亲身的活动体验才能学会和提高.基本活动经验是否符合专业标准,取决于我们为学生提供了什么样的活动.学生经常打球,就获得了打球的经验;经常刷题,就获得了刷题的经验;经历问题解决的过程,就获得了问题解决的经验;经历了数学试算、猜想、探究、发现的过程,就积累了数学研究发现的经验.

C.情感态度价值观层次:数学信念价值观、数学兴趣、数学具体内容的喜好感受.

这里的情感是指,在数学活动过程中的比较稳定的情绪体验.数学态度是指,对数学活动、数学对象的心理倾向或立场.表现出兴趣、爱好、喜欢与否、看法立场.

数学态度包括对数学学科的态度(数学信念)、对数学的兴趣、对数学具体内容的喜好.这一维度目标的内容还包括宏观的价值观和数学审美观,如:对数学的科学价值、应用价值和文化价值的看法;辩证法的观点;数学的美:精确之美、严谨之美、简洁之美、概括之美、统一之美,以及奇异、对称、和谐之美(数学的立德树人功能见文[13]).

5．关于行为动词的反思

2011年版的义务教育数学课程标准如此界定这几个行为动词:

了解:从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征;根据对象的特征,从具体情境中辨认或者举例说明对象.

理解:描述对象的特征和由来,阐述此对象与相关对象之间的区别和联系.

掌握:在理解的基础上,把对象用于新的情境.

运用:综合使用已掌握的对象,选择或创造适当的方法解决问题.

公开发表的学术论文[14]早就完善了这样的术语界定,并且给出了修改意见:

了解:能回忆出知识的言语信息;能辨认出知识的常见例证;会举例说明知识的相关属性.

理解:能把握知识的本质属性;能与相关知识建立联系;能区别知识的例证与反例.

掌握:在理解的基础上,能直接把知识运用于新的情境.

综合运用:能综合运用知识解决问题.

现在“课标”只把“掌握”改成“多角度理解和表征数学对象的本质,把对象用于新的情境.”事实上“了解”和“理解”讲的是知识(主要是数学概念和数学原理)的心理意义的构建,而“掌握”与“综合运用”讲的是知识的操作运用,不要把二者混为一谈.第一句话讲的是理解的内容,应该放在“理解中来表述”.

两次修订的义务教育数学课程标准都认为:

(1)了解的同类词:知道,初步认识.实例:知道三角形的内心和外心;能结合具体情境初步认识小数和分数.

(2)理解的同类词:认识,会.实例:认识三角形;会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图.

(3)掌握的同类词:能.实例:能认、读、写万以内的数,能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置.

笔者不知道“知道”和“认识”的区别是什么,更不知道“会”和“能”有什么区别.一线老师、研究人员如何区别“初步认识”和“认识”?希望能矫正这些模糊不清、不具操作性的术语界定.

体现国家意志的数学课程标准要保证具有科学性、严谨性和权威性,否则会造成许多预料不到的影响.例如,在今年的毕业论文“中考数学试题与课程标准的一致性研究”答辩会上,笔者发现研究者引用了“课标”中的四种水平划分标准“了解(知道)、理解(会、认识)、掌握(能)、证明(证明、应用)”,答辩者根本回答不了其编码的操作性问题,但在回答其科学性的理由时则大声地说:“这是国家制定的标准!”专业术语的界定问题,导致了内在信度与内在效度极低的研究垃圾.

笔者想说的是,“课标”最终还是要由我们广大的一线教师来理解和落实.希望大家对“课标”不要盲从,多听一些不同的声音.要想把“课标”修订好,一定要充分吸纳各层级有识之士参与研制,集思广益,群策群力,如此才能保证其科学性、实操性和推广性.

最后,笔者以现代管理学之父——Peter F.Drucker 的一句名言“没有反对意见,就不要做决策!”与大家共勉!

致谢:感谢审稿人给本文提供了建设性意见.