利用空间向量探究两类角度问题

广州市执信中学(510080) 朱清波

高中数学教材中的向量知识是发展学生关键能力、提升核心素养的好素材,它提供了一种通过代数运算刻画几何对象的位置关系和几何度量问题的工具.其运算过程是数形结合思想的典范.人教版新教材空间向量与立体几何这一章节,旨在让学生了解并掌握如何用代数运算解决几何问题的一般思路,特别是引入空间直角坐标系后,将一些复杂的空间位置关系和度量问题转化为数的运算,极大程度弥补了学生空间想象能力不足的问题,但在实际学习过程中,学生也会产生一个困惑,即面对不易建系的空间几何体,相关角度的度量问题该怎么处理?向量的工具性作用还能体现出来吗?本文从一道课本习题的解决过程展开拓展探究,逐步获得对这类问题一般性的解决思路.

I.利用空间向量推导线面角的计算公式

例1 (人教版选择性必修一教材第38 页练习2)已知PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60◦,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值( )

分析本题最优处理方法是构造一个满足条件的模型,事实上在单位正方体内可以找到两两成60◦的三条线段,具体做法如下:

评析解法1 简洁优美,但短时间内很难想到,大部分学生能构造出一个符合模型的正四面体,而后续的建系和坐标运算也较为复杂,故上述解法不具有一般性.

图1

图2

评析解法2 体现了向量的工具性作用.利用向量自由移动的特点,先表示平面上任一直线的方向向量,再利用线面角的几何特征找到符合题意的方向向量,进而求夹角的三角函数值,显然该解法具有一般性.

实际上,解析2 中蕴含的解题思路可以解决更一般性的问题.现举例如下:

例2 已知PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,且cos ∠APB=,cos ∠BPC=,cos ∠APC=,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是____.

图3

利用上述思路,不难得到该问题的一般形式和结论为:

性质1 如图4,已知PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,记∠APB=α,∠BPC=β,∠APC=γ,且cosα=a,cosβ=b,cos,设直线PC与平面PAB所成角为θ,则cosθ=或cosθ=

图4

上述公式中对α,β,γ∈(0,π)的情形,经分类讨论后均成立,即可成为一般条件下的线面角的一种计算方法,其中两种特殊结论为:

(1)若α=β=γ,则cosθ=

(2)若α=90◦,则cosθ=

该公式的本质是利用向量这一工具,将线面角的计算分解成三个共顶点的平面角三角函数的计算,利用这一结论可以简化处理一些高考常见的线面角求解问题.

例3 (2021年高考上海卷第17题节选)如图5,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=3.

图5

(2)求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小.

故θ=arccos

例4 如图6,已知四面体P−ABC,若∠APB=α,∠BPC=β,∠APC=γ,且PA=a,PB=b,PC=c,求四面体P−ABC的体积.

图6

解析设直线PC与平面PAB所成角为θ,C到平面PAB的距离为d,由线面角公式

故

设四面体P−ABC的体积为V,则

此即为空间四面体的体积公式,利用该结论不难得出一些特殊四面体的体积公式,这里不再赘述.

II.利用空间向量推导二面角的平面角计算公式

性质2 如图7,已知三棱锥P−ABC,记∠APB=α,∠BPC=β,∠APC=γ,设二面角C−PB−A的平面角为θ,则cosθ=.

图7

证明分情况讨论:

①α,β均为锐角(或直角)时,如图8,过C和A分别作CM⊥PB,AN⊥PB,垂足为M,N,由,平方后得

图8

利用勾股定理合并得

故

②若α,β中有且只有一个钝角时,不妨设α为锐角,β为钝角,如图9,利用①同理可得

图9

故

③均为钝角时,证明过程同①一致,最后得到cos(π−α)cos(π−β)=cosγ−sinαsinβcosθ,故cosθ=,即等式也成立.

综上,cosθ=成立.

此即为二面角平面角的另一种计算公式,即利用向量这一工具,将二面角平面角三角函数的计算分解为交线上共顶点的三个平面角的计算,而当θ=90◦时,有cosγ=cosαcosβ,此结论即为空间三余弦定理.

利用该结论可以简化处理一些几何体中的二面角计算问题.

例5 (2020年高考全国I 卷理科第18题)如图10,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.∆ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=DO.求二面角B−PC−E的余弦值.

图10

记二面角B−PC−E的平面角为θ,则

通过上述两个角度公式的推导,不难体会出向量是高中阶段十分重要的解题工具,在日常教学中对其灵活应用有利于培养学生转化意识与空间意识,在解决立体几何度量问题中不应简单视其为一种程序化的解题方式,而应养成一种工具意识,鼓励学生从一些问题的结构上与向量产生关联进而获得解决.可喜的是新教材在数学探究课型中专门设置了有关利用向量开展研究的教学活动,在阅读与思考材料中对其概念进行了更高维度的推广和简单应用,另外在新教材解析几何章节知识点的引入和一些公式推导中也都能见到它的身影,因此,关于向量工具性的课堂教学和问题研究,值得数学教育工作者作进一步思考和探讨.