一道2022届高三调研试题的探究

2022-07-09 01:16福建省仙游华侨中学351200薛玉荣
中学数学研究(江西) 2022年7期
关键词:抛物线本题线段

福建省仙游华侨中学 (351200) 薛玉荣

本题的答案是:(1)抛物线C的方程为y2=4x;(2)直线TM与抛物线C相切.第(2)问内涵丰富,不应解完即止,可进一步引导学生进行适当的探究.

1.纵向探究——一般性结论

本题(2)的结论是关于抛物线C:y2=4x,那么,对于一般的抛物线C:y2=2px(p>0),原结论是否成立?经探究,可得:

2.逆向探究——结论的逆命题

3.变式探究——新的结论

上述结论涉及抛物线C的经过顶点O的弦OM,那么,对于抛物线C的任意弦AM,会有什么相应的结论?经探究,可得:

证明:下面只证明抛物线C:y2=2px(p>0)的情形.设直线AM的方程为x=hy+m,代入抛物线C的方程,并整理得y2-2phy-2pm=0.设A(x1,y1),M(x2,y2),据韦达定理得y1+y2=2ph.

进一步探究,还可以得到:

特别地,当2p=1,n=c时,结论5中关于抛物线C:x2=2py(p>0)的结论,就是2007年全国高考江苏卷题19(2)、(3)的结论:在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于A、B两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q.(1)略;(2)若P为线段AB的中点,求证QA为此抛物线的切线;(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.(图略)

以上通过对一道抛物线试题的探究,揭示了试题的深刻背景及一般规律和结论,并应用所得到的结论解决有关问题.这对培养学生发现、提出、解决问题的能力,提升学生的探究能力和数学学科核心素养无疑是有益的.

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