语言互译，促进数学学习理解

曹岭红

【摘要】斯托利亚尔在《数学教育学》中说：“数学教学也就是数学语言的教学.”数学学习必然也是数学语言的学习，日常生活中的生活语言与数学语言的互译是形成数学思维和体现数学价值的过程，它能帮助学生从生活的视角理解数学.数学语言包含文字语言、符号语言和图形语言，它们是对同一数学现象的多维表达，它们之间的互译过程是对数学内涵的多维度理解过程，能帮助学生从数学本身的视角理解数学.因此，揭示这两个语言关联维度的联系就是达成数学学习理解的过程.

【关键词】数学语言;文字语言;符号语言;图形语言;生活语言;语言互译

理解是指了解、领会，解释为对新事物的认识过程，就是揭示新事物和与之相关联事物之间联系的过程.数学理解是基于数学内容的理解，是对数学内容的深入解释，数学学习的理解是对新的数学知识的认识过程，是揭露与该数学知识相关联知识及其联系的过程.

语言是文化的载体，是文化的外在表达形式，因此，文化学习的实质就是对该文化语言的学习，是通过其语言学习，理解其文化内涵，感悟其文化意蕴.数学学科有数学所独有的文化，因此，数学学习必然就是数学语言的学习.学生通过数学语言的学习，领会数学之内涵，掌握数学之技巧，从而形成数学之能力和数学之思维.正如著名教育家斯托利亚尔在《数学教育学》一书中所说：“数学教学也就是数学语言的教学.”因此，数学学习的理解就是揭露数学语言和与之相关联语言及其联系的过程.数学语言是数学学科的专业语言，是对我们日常生活中的生活语言进行数学化后的专业表达，是一种表达科学思想的通用语言和数学思维的最佳载体，包含着多方面的内容，其中较为突出的是文字语言、符号语言及图形语言，其特点是準确、严密、简明.因此，数学语言的关联包括两个维度：一是数学语言与生活语言的关联，二是数学语言不同表达形式之间的关联.其中，生活语言到数学语言是形成数学的过程.是数学抽象化的过程.数学语言到生活语言是用数学的视角看世界的过程，是数学思维的外显过程.生活语言与数学语言的转化是形成数学思维和体现数学价值的过程，它促进了学生从生活的视角理解数学.数学语言的不同表达形式是对同一个数学内容的多维表达，它们之间具有内涵一致性特征，相互转化是对该数学内涵的多维理解，能有效促进学生从数学本身的视角理解数学.因此，揭示这两个语言关联维度的联系就是促进数学学习理解的学习过程.

一、生活语言数学化，提炼数学概念

生活语言是人们的日常表达语言，简单、明了、亲切，容易理解，虽然不一定是数学语言，但可能蕴含有丰富的数学信息，提取其中的数学信息，然后进行数学化，由此形成数学语言的过程就是生活语言数学语言化的过程，也是数学概念提炼的过程.

数学抽象是一个从生活到数学的提炼过程，具体而言是指抽取一些数学对象的共同的、本质的属性或特征的过程，也是舍弃那些非本质的属性或特征的过程.其中，生活语言凝练数学语言的过程是数学抽象的过程，数学语言是数学抽象的最后表征.

如：一次函数概念的形成.

1.生活语言表述的数学现象

（1）汽车每小时行驶90千米，2小时行驶180千米，3小时行驶270千米.

（2）某商场食盐标价为2元每包，购买6包食盐需支付多少元？

（3）小明家第一季度各月用电情况如下表：

2.数学抽象过程中的语言

此阶段的语言可能是专业的数学语言，也可能是含有生活语言的数学语言，但它一定是数学语言抽象过程中的语言.

抽象语言1：以上三个数学现象中，都有两个变量，并且其中一个变量增加（或减少），另一个变量随之增加（或减少）.

抽象语言2：如果将用x、y分别表示这两个变量，那么以上三个数学现象分别可以表示为y=90x，y=2x，y=0.68x.

抽象语言3：既然以上三个数学现象可以使用x、y的相同形式来表示，那么就可以将三个表达式统一成一个表达形式，即y=kx（x，y为变量，k为常数，且k>0）.

抽象语言4：在数学表达式y=kx中，x和y为变量，k为常数，那么常数k能否是0或负数呢？如果可以，那么一个变量x增加，另一个变量y还会随之增加吗？如果不是，又是如何变化的呢？它们能否再统一成一个新的数学语言表达呢？显然，这就是正比例函数的表达式，即y=kx（x、y为变量，k为常数，且k≠0）.

在抽象语言1中，“变量”是数学语言，它是对三个数学现象中都有量在变化的数学抽象，并以文字语言的形式进行表达.在抽象语言2中，字母x、y和三个表达式是数学语言，它是分别对三个数学现象进行数学抽象，并以符号语言的形式进行表达.在抽象语言3中，y=kx（k>0）是数学语言，其中常数k（k>0）是对抽象语言2中三个常数90、2、0.68的代数抽象，最后将三个不同表达式统一成一个表达式y=kx（x、y为变量，k为常数，且k>0），这是一个更为抽象的数学符号语言.在抽象语言4中，在整个抽象过程中就是一个脱去生活背景的纯数学思考，属于一种抽象思考，是数学抽象的体现，此时获得的就是最抽象的数学.其表达形式仍然是数学语言：文字语言，即正比例函数;符号语言，即y=kx（x、y为变量，k为常数，且k≠0）;图形语言，即如图1、图2.

由此可见，将生活语言中的数学信息进行数学语言表达，再到涵盖更多数学现象的更为抽象的数学语言表达，本身就是数学抽象的过程，也是数学语言逐步凝练的过程.因此，将生活语言进行数学语言化表达，是在生活中学习数学的过程，也是经历数学形成的过程，这样的经历必然能促进学生对相关概念的理解.

二、数学语言内部转化，多维理解概念

斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出，数学教学就是数学语言的教学.数学语言是由数学符号、数学术语和经过加工的数学文字等组成的一门语言，它可以分为文字语言、符号语言、图形语言三类.这三种形态的数学语言各有优越性，如：以文字表达为特征的数学文字，语言抽象严谨，揭示本质属性;数学术语科学、完整且规范;以符号表达为特征的数学符号语言指意简明，书写简洁，数学式子将关系融于形式之中，方便运算，利于思考;以图形为特征的数学图形语言形象直观，有助记忆，便于思考.同一个数学知识往往可以通过多种数学语言形态来表达，这为三种语言互译创造了条件，而注重这些数学语言的互译，既可以实现艰涩难懂的语言向通俗易懂的另一种语言进行转化，从而帮助学生理解数学，又可以帮助学生多维理解数学，促进知识内化，从而形成数学学科的核心素养.

1.数学语言文字化.文字语言是指以文字叙述数学概念的数学语言形式，它包含数学术语、关键词句等，它是表达数学概念的最基本形式，其中，每一个关键字、词都有确切的意义，彼此之间存在依存和制约关系.例如，“且”和“或”在数学上有严格区分;“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”中的关键语句有“直线外一点”“有且仅有”，并且它们之间存在极强的关联性，“过直线外一点”是前提.将其他语言采用这种文字语言进行表达的方式，称为数学语言文字化.

数学语言文字化可能基于生活语言，也可能是基于图形语言或符号语言.基于生活语言的数学语言文字化是生活语言数学化的过程，是数学抽象的过程，在前文已有详细阐述.因此，此时的数学语言文字化主要指符号语言或图形语言的文字化过程，这在数学概念或定理提炼，或重要结论的得出方面非常常见.

如，经过严密的演绎推理后，获得下面的图形与符号语言.

已知：如图3，点D是△ABC边BC延长线上任一点，得到∠ACD=∠A+∠B.

将这些图形或符号语言用简练的数学文字语言进行表述既是对前面推理过程的总结，又是更为简练的一种抽象表达，还是为后续类似问题解答提供的理论基础或实践经验，因此，翻译的过程是思维提炼的过程，也是促进学生学习理解的过程.操作方式如下：

（1）用文字语言表述各符号（要素）的含义.在图3中，△ABC对应三角形，∠ACD对应三角形外角，∠A和∠B对应三角形的内角.

（2）用文字语言表述各要素之间的关系.在图3中，∠A和∠B与外角∠ACD位置上都不相鄰，数量上却存在等量关系.

（3）用系统的文字语言表述含义.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

在数学语言文字化过程中，需要注意一个关键点：用文字语言对应式表述各要素及其关系，即上述事例的第（1）和第（2）环节.突破了这个关键点后，系统化的文字语言表述可能不是很精炼，但要表述的核心绝不会走样，学生只需持续对比与完善，便能形成更为规范、简练的文字语言.

2.数学语言符号化.符号语言是指以数学符号叙述数学概念的数学语言形式，它包含字母、数字和特定的数学符号等，它是生活语言高度抽象、高度数学化的结果，是进行数学运算和数学推理的工具性语言.如，“y=4x2-3”“△”“⊥”“⊙”等.特定的数学符号有特殊含义.在几何图形中，“△”表三角形，在一元二次方程或二次函数中，“△”表示根的判别式b2-4ac.因此，数学语言符号化既是开展数学学习的必要环节，也是进行数学抽象思考的前提条件，提升学生数学抽象、逻辑推理、运算能力等数学核心素养的关键步骤.

数学语言符号化主要来自两方面内容：一是数学术语符号化，二是数学现象符号化.其中，数学术语符号化指用特定的数学符号表达相对应的数学术语.如，前文所说的“△”表三角形，这种符号要么是图形的直观呈现，要么是某种语言的略写;如“sin”要么是约定俗成的结果;如“+”要么是意义直观的呈现;如“>”;等等.而数学现象符号化，需要根据数学现象特征，进行语言转换，这种数学现象一般包含三种情况.

（1）数学现象的对应性翻译.如：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，翻译成符号语言：

|a|=a（a>0）

0（a=0）

-a（a<0）

此类翻译过程中，把握“对应”就可以成功完成翻译过程.如：特定符号对应，绝对值对应符号“|a|”;特定条件对应，正数对应“a>0”;等等.

（2）完整数学问题的符号化.如：用二次函数解析式表示抛物线图形等.

（3）数学问题中需要完成的一个环节.如：有一个两位数，它的两个数字的和是6，两个数字的积等于这个两位数的13，求这个两位数.

为了解决这个问题，需要对一些关键要素进行符号化，即寻找关键词和对关键词对应的符号表达.如：找出关键词“两位数”“两个数字的和”与“两个数字的积”，然后分别改成符号表达：10x+y、x+y和xy.

进行符号化的过程是对数学知识或数学问题的理解过程，或数学概念的抽象过程.特别是图形语言转换成符号语言，使数学变得可以计算，图形特征可以量化.因此，经历这样的过程，就经历了数学知识的形成过程，经历问题的解决过程和提升数学核心素养的过程，更是促进了学生理解数学的过程.

3.数学语言图形化.图形语言是指以数学图形叙述数学概念的数学语言形式，它包含几何图形、坐标图形等等.将数学语言转换为图形语言，可以培养学生直观想象的数学核心素养，使数学问题变得可视化、形象化，更容易理解.例如，理解函数性质时，采用观察函数图像的方式，就很直观看出单调性和最值;求|x-1|+|x+3|的最小值时，将其转换成图形语言（如图4）.

从图形语言中可以非常直观得出：在数轴上，x在-3和1之间的任意点时，x到1的距离与x到-3的距离和是不变的，并且是最小的距离和，这个最小距离是数轴上-3到1的距离4，即最小值为4，转换成常用的符号语言表述的答案是，当-3≤x≤1时，|x-1|+|x+3|有最小值4.

数学语言符号化主要有三种情形：通过直线表达、通过坐标系表达和通过几何图形表达.

（1）通过直线表达.这里所指的直线包括数轴或直线的一部分，如：上面所阐述的求|x-1|+|x+1|的最小值，用线段表示行程问题，等等.

（2）通过坐标系表达指利用坐标系进行数学语言符号化，最典型的事例是函数图形分析，这种表达的方法是通过列表、描点和连线三步骤完成数学语言符号化.

（3）几何图形表达指利用几何图形表达数学问题，从而找到解决问题办法的过程.常见场景有两种：几何问题的几何图形表达和代数问题的几何图形表达.其中，几何问题的几何图形表达在几何问题中非常常见，在此不再赘述.代数问题的几何图形表达往往是直观理解代数问题的有效策略.例如，用配方法解方程x2+2x-5=0.对于初学者来说，使用代数方法时总有生搬硬套的感觉，如果使用几何方法就很直观地呈现出解题思路，这就需要将方程x2+2x-5=0转换成图形语言.转换过程如下：

①根据数形对应获取几何图形.配方是配成一个完全平方式，对应的几何图形是正方形;x2对应的几何图形是以x为边长的正方形面积;2x对应的几何图形是矩形，既可以是以2和x为两邻边长的矩形面积，又可以是以1和x为两邻边长的两个矩形面积.

②根据图形关联构建组合图形.所获取的正方形边长和矩形的一边长相等，因此，可以构建如下组合图形：

③根据关系对比获取正确图形.由图形可知，图5和图6没有产生新正方形，图7显示两矩形与正方形面积相减的形式，因此，只有图8既构建了新正方形，又显示出正方形A与两矩形B与C相加，与原方程保持一致，即图8实线部分图形面积为5，因此，图8是原方程x2+2x-5=0的图形语言.

④根据图形语言获取代数表达.根据图形可知，原正方形A面积+两矩形B与C的面积和+正方形D=新正方形面积=5+正方形D，即x2-2x+1=5+1，成功获得配方算式.

这种对同一数学对象进行多语言表达，是对数学对象的多维理解，即从文字语言、符号语言和图形语言三个维度理解数学，必定促进数学理解更加全面、彻底.

三、数学语言生活语言化，运用数学概念

数学语言是高度抽象的专业术语，将其生活语言化实质就是用自己的语言进行表述数学现象，甚至让非数学专业人士都听得懂.数学教学的顺利进行就需要教师具备这种能力，这种方式的经常运用也是教师理解概念内涵比学生更为深刻的原因.对于学生而言，就是完成了只有教师才从事的数学理解工作.而教学实践也告诉我们，如果学生能把所学内容用自己的语言复述出来，特别是让学困生也听得懂，那么他们对知识的理解必定非常深刻.对于数学学习来说，“所学内容”指数学语言，“自己的语言”指生活语言，“复述”是将数学语言转换成生活语言后的最后表征，达到这个表征的过程就是数学语言生活语言化的过程，这个过程往往体现在数学概念的运用上，它是数学学习后的外化过程.

1.举例子生活语言化

对于非专业人士而言，数学语言过于专业难于理解，因此，将一些数学语言采用举例子的方式进行生活语言化，有利于听众理解，也有利于讲述者通过寻找实际案例来促进对数学概念的理解.如：函数概念的生活语言化，可以利用单价一定，总价与数量的变化关系来表述函数.

2.找关联生活语言化

数学语言虽说是专业语言，但每个人都具有一定的数学素养，即都具有一定的数学基础，将新学的数学语言与已掌握的数学语言进行对接，找出其关联，也是一种数学语言生活语言化的过程，在学生寻找关联旧知识的过程中，内化了新知识，重构了自己的知识体系，必定能促进对新知识的理解.如：一元一次不等式解法的生活语言化，可以对接一元一次方程的解法，仅化系数为1时不一样，其他完全相同.

由此可见，从生活语言到数学语言体现了数学源于生活，显现了从生活中提炼数学的数学形成过程，从数学语言到生活语言体现了数学运用于生活的数学学习价值，两者互译帮助学生从生活的视角理解数学.数学语言的多种语言表达形式是对数学现象的多维表达，它们之间的互译体现了多维度理解数学的过程，帮助学生从数学本身的视角的理解数学.从这两个视角理解数学是形成数学抽象、直观想象等数学核心素养的过程，因此，语言互译促进了学生对数学学习的理解.

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