注重基本方法培养基本技能

程凤娟 胡艳

不等式的研究是初等数学研究的主要内容之一，这其中一类为分母为一次多项式的分式不等式.这类不等式的证明由于分母的表达式的构成相比整式要复杂，因而证明的规律难以寻找，其证法繁多，解题技巧丰富，一时难以掌握和灵活应用，因而探求处理这类不等式的方法是必要的.

许多数学期刊的数学问题栏给出了不少分式不等式的题目，但许多解答直接使用基本不等式或柯西不等式，而使得技巧性强，对于中学生理解与掌握有一定难度，本文选取《数学通报》数学问题的几个题目，应用数学中广泛使用的换元法，将原问题转化为较为简单的问题，再结合基本不等式或柯西不等式等常用不等式，給出异于原解答者的解答，来说明换元法——这一基本方法在这一类分式不等式的证明中的应用.

从上述证明可以看出，通过换元，将分母的多项式转化为了单项式，然后利用基本不等式，避免了直接凑配系数的难度，得到了本题的证明，其思路简单，不需任何技巧.

同法可证明例题1的一般化问题以及将分子叠加后的问题：

分析 本题是《数学通报》2001 （12）数学问题1342题，原解答通过变形，凑配利用柯西不等式给出证明，若注意到本题的特点，其分母表达式较为复杂，但均为一次式，因此通过换元将分母转化为比较简单的的形式，在利用熟知的一个结论即获得本题的简单证明，

分析 本题是《数学通报》2004 （2） 1474题，原证明通过变形后利用了”元柯西不等式的一个变形给出证明，但若注意到本题的结构，通过换元后再由平均不等式，有如下的证明，

分析 本题是《数学通报》2006 （8）数学问题1625的不等式形式，原解答直接利用均值不等式求得，由于条件中系数不具有轮换对称性，因此系数的凑配有技巧，同前面例题的分析，通过换元即有：

从上述例题可以看出，对于分母是一次式，或可化为一次式的分式不等式，利用换元法，可有效降低原问题的难度，简化原问题的求解过程，不失为一种处理这类不等式的好方法，法国数学家狄德罗说：“数学中所谓美的解答，是指一个困难复杂问题的简易回答”，求简，是解答数学问题追求的目标之一，数学问题的解答不仅追求思维过程的简单，方法的简单同样重要，换元法虽然是数学中常用的基本方法，但基本的方法的作用并不“基本”，这也说明了在数学教学中为什么要强调重视培养学生的基本技能的原因，