注重几何实验教学 提升直观想象素养

刘文生

在普通高中数学新课程中，学生将在高一阶段学习立体几何初步.新课程中的立体几何初步的学习，必须重视几何实验——构建几何体模型或几何体框架或几何体图形，努力提升学生的直观想象素养.在实际教学中，我们常见教师不重视几何体构建和几何图形的直观把握，学生的直观想象素养得不到必要的提高，其实，人们己关注到学生学习立体几何的困难所在，依据现代教育发展的需要，新课程己适当降低了几何推理与证明的要求，更多地强调几何直观和空间想象的教学要求.

1 教学现状与教学缺失分析

现象1掠过直观感知的内容

在学生的成长过程中，很多学生感知空间几何体的结构特征、感知空间位置的经验缺失严重.我们一线教师往往忽视这种经验积累，常常用2课时学习空间几何体的结构，用2-3课时学习空间几何体的三视图和直观图，也就是用1周时间完成空间几何体的初步认识.学习过程中，学生往往没有机会体验空间几何体的存在方式或形成过程，对棱柱、棱锥、棱台的结构特征缺少直观感知和整体把握，对圆台、球的认知只能是粗略了解概念，由于缺少投影的直观感知，学生难以理解空间几何体中与投影面不平行也不垂直的棱或面的投影，致使学生难以通过三视图与直观图来整体把握几何体的结构特征.教师普遍认为简单又基本的内容，就会赶时间赶进度，从而忽略几何直观感的提高，学生的空间观念得不到应有的发展.

现象2忽略几何表象的形成

在我们身边，空间几何体以及几何元素之间的位置关系大量存在，教师往往以为学生看得多摸得多感知得多，以为仅靠语言描述就能唤起学生的空间感知.高中教学中，几乎没人再关注从长方体盒子抽出长方体框架，也很难见到纸板围出的各种几何体或木棒做成的几何体框架，几何体的实物模型也常常被多媒体投影所替代，其实，制作或观察几何体框架对认识空间几何体的结构特征、把握空间中点线面之间的位置关系以及提高空间想象能力十分有益，几何体模型和几何体框架的缺失，致使学生头脑内很难形成良好的几何表象，这样的教学一定会疏远学生与立体几何的情感距离，也必然会影响学生空间想象能力的发展.

现象3簡化操作确认的过程

教学中，旋转体的形成、台体的形成、几何体的切割面、几何体的投影、几何体的侧面展开图等都需要实际操作，直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理也都是通过操作确认获得的.在实际教学中，为了节省时间加快进度，这些操作确认的过程体验常常被我们减之又减，这些操作缺失将直接导致直观感知与直观想象的困难.由于缺失了直观感知与直观想象，学生也就无法构建合理的几何直观形象，

现象4轻视绘图视图的训练

立体几何的学习一直伴随着视图、绘图.新课程要求小学生能初步形成空间观念，初中学生能初步建立几何直观，高中教学要求培养和发展直观想象能力，高中课程学习中，视图、绘图都要讲规则，但是我们的教学往往对视图与绘图的规则重视不够.其实，空间几何体的直观图是依照斜二测画法的规则绘制的，它们能较好的保留平行关系，对垂直关系（除水平线与竖直线外）、空间距离以及空间角等变形较明显，如果缺失按规则绘图视图的训练，学生将很难对空间位置形成正确的感知，学生必然缺少课程必须的几何直观与空间想象能力.

2 教学建议

新课程中，立体几何初步的学习，学生将经历从整体到局部、从具体到抽象的认知过程，立体几何初步的教学要体现课程改革的基本理念，在教学设计中要充分考虑立体几何的特点、高一学生的心理特点以及不同水平不同兴趣的学生的学习要求，教学中要运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，通过4-5周的学习使学生能够掌握立体几何的基础知识、基本技能以及它们所体现的数学思想方法，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度.

新课程标准明确指出，立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念.怎样的教学才能促使学生形成强大的空间观念呢？我们认为必须做好三件事.第一件，提供丰富的实物模型和框架模型（包括用计算机软件呈现的图形），夯实学生对空间图形的基本认识，引领学生形成良好的几何直观;第二件，充分利用长方体，帮助学生认识空间的点、线、面的位置关系并构建立体几何的公理、定理体系，逐步提高学生的空间观念和几何推理素养;第三件，重视作图与视图，立足几何直观，逐步提升学生的空间想象能力.

2.1 为学习提供丰富的实物模型

高中新课程的立体几何教学强调以直观感知和整体把握为基础，这种学习要求降低了学习立体几何的台阶，有利于开展立体几何入门教学.教学中合理安排学生把玩或制作几何体的实物模型，有利于唤醒意识中或潜意识中的空间观念，有利于构建学生的几何直观.

在立体几何初步的教学中，学生应该见识到的实物模型有：长方体、正四棱柱、正六棱柱、直三棱柱、正五棱柱、正三棱锥、正四棱锥、正三棱台、正四棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等.其中长方体模型要能拆开或透视，直三棱柱的底面要有多样性，圆柱、圆锥、圆台的侧面要能展开，木质球要便于观察截面，等等.

2.2 让学生动手制作空间几何体的框架

空间几何体的框架能有效地将空间几何体与几何体的直观图连接起来.框架突出了空间几何体的结构特征和构成要素，认识框架有利于学生直接感知空间几何体的结构特征，也能有效地引导学生认知空间几何体中点、线、面的位置关系.

在立体几何初步的教学中，我们要准备足够的木棒、铁丝、橡胶泥等材料，我们可以根据教学直观的需要适时制作和展示各式各样的几何体框架.

2.3依托长方体开展几何实验

在学习概念时，以长方体为载体帮助学生认识空间点，线、面的概念，学习线线平行、线线相交、异面直线、面面平行、面面相交、线线垂直、面面垂直等概念，

在学习公理时，通过长方体帮助学生直观感知、操作确认.

在学习判定定理和性质定理时，先通过长方体帮助学生建立一个直观、自然的思路.

在解决立体几何问题时，注重让学生先找出长方体模型，或优先考虑将问题中的图形嵌套在长方体中.

2.4加强作图与视图训练

视图与作图是立体几何教学中最基本最基础的任务.首先要依托几何实验让学生理解三视图形成规则以及空间几何体直观图的绘制规则，然后，继续依托几何实验帮助学生形成良好的直观感知，使学生能较快地把握空间几何体的“长”“宽”“高”以及图形中关键的平行与垂直关系.只有真正理解了视图规则与作图规则，学生才能真正理解几何图形是如何反映几何体的结构特征和几何体中几何要素之间的位置关系的.

在立体几何初步的教学中，为了将柱体、锥体、台体、球体以及简单组合体画在纸上从而用平面图形表示出来，在该章第2节，我们将学习空间几何体的三视图和直观图.通过认知空间几何体的三视图，学生就会进一步认识空间几何体的长、宽、高以及几何体中线、面之间的垂直、平行关系.通过学习用斜二测画法画空间几何体的直观图，学生就能更好的将空间几何体的结构特征与平面上的几何图形联系起来，从而形成一定的几何直观能力.

2.5提供丰富的操作实验或演示实验

在立体几何初步的教学中，我们可以安排丰富的操作实验：圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的形成操作实验;简单几何体以及它们的骨架的中心投影与平行投影的演示实验;长方体及其展开图、圆柱圆锥圆台的侧面展开图的操作实验;正方体分割出正四面体、三棱柱分割成3个相等体积的三棱锥的操作实验;认知线面平行、面面平行、线面垂直的判定定理的相关实验操作，等等.这些操作实验，可以利用实物进行实验，也可以适时的运用多媒体技术开展实验.认真地开展这些操作实验，有利于学生更好地认识空间几何体的结构特征，有利于学生更好地理性视图或更好地理性作图，有利于学生更好地认识空间几何体中点、线、面之间的位置关系，从而帮助学生形成较强的直观想象能力.

3 教学再思考

3.1空间几何体框架为构建直观想象提供有力支撑

依照几何体实物构建的几何体框架，是我们认识几何体结构特征的必备模型，也是我们构建几何体图形的重要支撑.当我们看几何体的图形时，我们必须要能想象几何体的构成要素、它的结构特征、它的位置、它的大小以及它的变化等.借助图形认识事物，已是人类认识世界的重要方式，在高中立体几何初步的学习中，学生要能构建基本的空间图形（包括柱、锥、台、球以及简单的组合体的直观图），要能正确认识空间图形，并能借助空间图形认识现实世界解决数学问题.在立体几何初步的学习中学生应重点提升直观想象素养.

3.2 几何直观与空间想象辩证统一

几何直观就是通过几何图形对事物进行直观感知和整体把握，实际上就是通过几何图形的形象或者表象对事物进行直接观察得到的感性认识，以及通过几何学的理性认识并在感性认识的基础上得到的对事物的整体把握.这里，几何图形其实就是我们头脑内对事物产生的几何表象的外显表现形式.在分析解决问题的过程中，往往要通过图形找感觉，形成几何直觉，并由直觉引导思考，使思维与图形、抽象与形象相辅相成.

空间想象就是以现实世界为背景，基于对几何图形的运动、变换和位置关系的把握，对事物的几何表象进行加工、改造，甚至去创造新的空间形象的心理活动.

几何直观以几何图形为载体，对事物的认识相对形象直观;空间想象是对几何表象的再思考，对事物的认识相对抽象，两者的有机结合使直观想象这一核心素养集具体和抽象于一体，这不仅升華了其育人价值，也使其具有方法论上的意义.

3.3直观想象与几何推理相辅相成

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.直观想象主要表现为建立形与数的联系、利用几何图形描述问题、借助几何直观理解问题、运用空间想象认识事物.立体几何中，直观想象依赖于学生对空间图形以及对图形的结构、位置、大小、变化等情形的认识，学习时必须努力夯实对空间图形的基础认识和视图画图的基本训练，并学会利用空间图形、空间观念描述问题，进而借助图形分析解决问题.对空间图形的把握和利用水平将直接反映直观想象素养水平.

另一方面，学习立体几何可以大大发展学生的数学推理素养.立体几何中，无论是利用概念还是利用公理、定理及重要命题来分析求解问题，我们都得进行几何推理，这种几何形式的推理就是由一般到特殊的演绎推理.这种几何推理不能凭直觉，当然也不是用归纳或类比的方法.

学习立体几何初步，在空间中探究点线面的位置关系，必须依托几何图形（特别是长方体），对几何图形的直观想象是理解问题、领悟思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础，是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，而我们的所思所悟是否正确可靠，就得依赖几何推理.在立体几何初步的学习中，直观想象素养与几何推理素养是相辅相成的，需共同提升.