对一道“直线与圆”问题的研究与推广

华子谦 陆庭

一题多解与多题一解作为数学中重要的解题思考方式，在解决几何问题时显得尤为重要.本文从一试题出发，从代数与几何角度作切入点进行分析，并将原题部分结论推广到一般情况.

本题主要考查了直线方程、圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力和运算求解的能力，考查了数形结合、化归等数学思想.本文将对该题给出一些常见的解答，并将第（2）问推广到一般性的结论，供读者参考.

点评 方程思想是解决解析几何问题的重要思想，设出未知点坐标，通过等量关系建立方程，利用代数运算求出未知点坐标，大大减少学生思维量，同时利用代数方法解决平面几何问题也能够提升学生的数学运算与直观想象等核心素养.

点评 在圆中构造直角三角形是解决直线与圆相交问题的一个重要解题思路.这里构造Rt△CAD与Rt△CMD，借助直角三角形边的关系建立方程组求出CD与AD的长度.如何提高学生利用图形特征找到等量关系建立方程就需要教师在平时教学中引导学生寻找图形特点、培养解题后反思总结.

点评 初中所学的切割线定理在高中数学中有着广泛的应用，这里体现着由“形”到“数”的转化过程.通过将动割线AB的问题转化到定切线MO的问题，能灵活运用圆内相关定理可巧妙解决与圆的有关问题从而减少计算量，优化解题过程，快速算出弦长AB，进而通过垂径定理求出圆心到弦AB的距离解决问题.

本题第（1）问为基础题，涉及到的知识点有圆的标准方程，直线与圆相切中垂径定理、弦长公式.在上述解法中，既可以通过几何角度，利用切割线定理或构造直角三角形;又可以通过代数角度直接运算，方法各有千秋.教师在教学过程中要培养学生一题多解能力，让学生不拘泥于一种解法，开拓学生思维，发展学生核心素养.

点评 利用代数方法解决平面几何问题思路清晰、方法简便，将此小问化难为筒，拓展了学生思维，同时这也旨在培养学生的逻辑推理与数学运算能力.至此并不完美，由于代数运算时运算量较大，这促使我们另辟蹊径，能否利用圆的性质简化计算由“数”转到“形”去考虑问题，培养学生的几何直观想象能力，下面给出第（2）小问的几何证明.

解完本小问后，不禁思考此结论是否具有一般性？从问题条件分析，直线x=1恰好經过圆心，再从结论过程分析，斜率乘积结果与圆心所在位置无关，似乎只与E，F到圆心距离有关.进一步大胆设想若圆心不在x轴上呢？当圆心被放置在任意位置时，QP’，QP”分别与直线x=a交于E，F两点，利用GGB画出图形后发现QCP''E仍四点共圆！会不会有类似结论呢？下面给出该结论的推广.

4 教学启示

（1）重视知识的积累，注重学生认知结构的建设

荷兰数学教育家弗赖登塔尔强调知识的再创造，也就意味着学生在学习过程中不是一味地进行知识记忆，而是学生本人要将知识复习、巩固、再发现、再创造.教师要做的就是在学生解决问题过程中引导并帮助学生实现“再创造”.数学知识不是教出来的，也不是学出来的而是研究出来的，研究问题并将结论推广是一种很好的解题方法，能够增强学生好奇心提升学习兴趣，启发思考.

（2）重视方法的培养，加强学生一题多解的能力

高中数学灵活性较高，对学生综合运用知识解决问题的能力提出考验.华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，在解决平面几何问题时数形结合起到了巨大的作用，在平面几何教学过程中鼓励学生思考问题是否还有其他解法.再通过代数、几何角度作为切入点分析问题，能够让学生真正将知识内化，从而实现思维的发展，找到自己擅长的解法，提升学生学习兴趣，保持解题自信.

（3）重视能力的提升，促进学生核心素养的培养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出高中数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.在平面几何教学过程中，提升学生数据分析能力能够有效使学生在解题时快速识别筒捷解法;提升直观想象能力能够帮助学生形成论证思路;提升逻辑推理能力能够加强学生证明时严谨的逻辑思维;提升数学运算能力能够提高学生解题效率.

综上，对题目的思考角度不同影响着解题速度.因此教师在教学过程中要鼓励学生尝试一题多解，启发学生将结论进行推广，脱离“题海”深渊，提升解题教学有效性.