高考“数学文化”试题特征分析与教学启示

彭达浩 李袆

自2017年高考开始，数学文化试题在高考试卷中占比已明显提升，基于数学核心素养导向下的高考命题，以数学文化内容为桥梁，连接学生“四基”的同时，还充分考虑到学生数学核心素养的培养，本文以2020年高考数学卷为例，从核心素养角度出发，探讨数学文化在高考试题中的渗透，并对教师教学提出指导与建议.

1 试题基本情况分析

整理、分析2020年各类高考卷中的数学文化试题，从真题来源、题型、背景、分值等信息进行统计、归纳，如下表1.

由表1可见，在2020年的13套数学高考试卷中，总共有14道与数学文化相关试题，除天津卷、上海卷和浙江卷以外，其余各套试卷均在不同程度上将数学文化渗透到高考试题中，其中全国Ⅱ卷（理）总分占比最大，占10%，而江苏卷仅占3.13%.在知识点分布上，囊括函数、几何与代数、概率与统计主题.问题背景既涉及数学史料，又紧扣当代社会的时事热点与发展前景，题型则主要集中于选择题和填空题.

2 试题命制特征分析

通过对2020年高考数学文化试题进行整理，基于命题背景，結合数学价值和学科核心素养，从试题分析到评析，对部分数学文化试题展开研究.

2.1 观建筑之宏伟，铸数学抽象、数学建模素养

建筑的宏伟，不仅指建筑物的外部形态，更重要的是其内在的实际效用，而将数学融入建筑学中，一是对数学应用价值的体现，并且还是使建筑内外兼修的重要途径，近年来，为进一步考查学生数学知识的同时，让其用发展的眼光看待数学与建筑学的完美融合，宏伟建筑便成为了命制高考试题的良好素材.

例1

（2020年全国I卷·理（文）3）如图1，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）.

分析 本题以胡夫金字塔为背景，将正四棱锥知识融入其中，并基于英国作家约翰·泰勒对胡夫金字塔中使用底面高的平方与侧面积相同的发现，巧妙地设计出侧面三角形底边上的高与底面正方形边长之比的问题.而正四棱锥在现实生活中也有着广泛的实用价值，如埃菲尔铁塔、机器人正四棱锥声源定位系统等，故学生在欣赏金字塔美的同时，还能领略数学为建筑带来的巨大应用价值，以此激发学生对数学的学习兴趣，并进一步落实对美育价值的探究，使得人们更能感受到数学并非一种虚无缥缈的抽象存在，而是寓于可观、可触的实体之中.

学生解决实际问题的过程，亦是其素养体现的过程.要解决此问题，学生需形成抽象的逻辑思维，将正四棱锥形从金字塔背景中抽象剥离，并逐步形成正四棱锥面与面、线与线之间的比例问题.并以此为基础，在新的情境中用数学的符号、图形、文字语言表达问题，选择和运用一定的方法构建数学模型，从而解决问题.总的来说，此题重点考查数学抽象和数学建模素养，并伴随直观想象、数学运算等素养的考查.

评析 从核心素养角度，学生需经历对实物的直观想象，开展数学抽象，并建立适当模型，进行数学运算求解的过程，这也对“核心素养怎么考”有一定导向意义.大部分学生对此题的情境比较熟悉，但这似乎与学生抱怨此题太难、太新，不知所云相矛盾，实则是学生缺乏将实际问题转化为数学问题的能力，从而导致不能列出相应的等式，同样的例子在2019年高考数学卷中的“维纳斯”一题中也有体现，这都是抽象素养和建模素养不强的表现.

2.2思疫情之温暖，凝数据分析、数学运算素养

数学是一门研究现实生活中数量关系和空间形式的科学，现实是数学的源头，而数学也深深地根植于现实.数学与生活密不可分，当今正面临新冠肺炎疫情的挑战，高考命题也应对社会现象进行回应，彰显时代特色.

例2 （2020年高考全国Ⅱ卷·理3、文4）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）.

A.10名 B.18名 C.24名 D.32名

分析 无论是个人，还是社会，都将受到疫情所带来的强大威胁，经济发展趋势、人性善恶都将面临巨大考验.此题借助新冠肺炎疫情期间，市场订单堆积而带来的人员缺失和分配问题，将概率统计知识嵌于其中，让学生在经历问题解决的过程中，感悟灰色疫情下志愿者的红色温暖，从而弘扬无私的志愿精神和为人民服务的优良传统.

此题在考查素养方面，学生首先应提取关键信息，在综合的情境中将数据进行预处理，进一步明晰和推断题干中概率的实际含义，适当建立模型，逐步将问题转化为运算问题，并明确数学运算的对象，依据运算法则得出结论.可见数据分析、数学运算素养贯穿其中.

评析数据分析是解决此题的关键，具体而言，大部分学生虽熟悉疫情这一背景，但在对数据进行预处理时，却不易将题干中0.05的概率与0.95的概率相联系，直接影响了后期模型的建立.但也有少数学生能厘清题意，并能将数据有效整合，但较弱的运算能力，直接导致学生产生模糊的运算思路、错乱的运算程序，使得学生最终也无法求得正确答案.

2.3品音律之瑰异，悟逻辑推理素养

在数学史上，毕达哥拉斯首次发现了数学与音乐的联系，后爱因斯坦也曾表示“世界既能由音符构成，同样也能由数学公式构成”，即音乐艺术与数学美学相辅相成.此外，数学还与绘画、雕刻等艺术紧密相关，这也成为当下各地区命制数学文化试题的共同趋势.

分析 天有五星，地有五行，天地有五音，古有古琴二十四况，今有钢琴大小和弦，该题以钢琴键上7个白键和5个黑键构成一个音区和弦为背景，完美地将数学之理寓于音乐艺术当中，结合和弦固有的规律与数列、排序等知识，让学生感悟数字排列与琴键声响之间的奥妙，这也应证了莱布尼茨所说的“音乐是数学在灵魂中无意识的运算”.

此题需在较为复杂的情境中明晰各信息之间的联系，理解事物的发生与发展，有条理地厘清相关概念的逻辑关系，分层次、按步骤，逐步将问题解决.

评析 一些具体事实和命题是逻辑推理的出发点，基于此题，应紧紧围绕i，j，k三者之间的变化规律，辨别大三和弦与小三和弦区别与联系.推理过程中，应时刻关注，的变化，借助归纳和类比的方法，发掘其中的数量关系，进一步围绕主题，有理有据地开展论述.学生能否用数学的眼光找寻此题的研究对象，发现一定的数学问题，并借助数学语言和思维对题目进行表达，其主要依赖于学生逻辑推理素养，显然逻辑推理素养水平不高的学生将不能准确无误地推理出此规律.

2.4赏文物之韵味，品直观想象素养

在中华文明上下五千年的发展历程中，形成了许多优秀的传统文化，这些优秀的传统文化多以保留至今的文物为载体.不论是小巧玲珑的配饰，还是匠心独运的器皿，小小的物件都蕴含着大大的数理知识，而以一些古代文物为背景的高考试题便成为了传播数学文化的重要媒介.

例4 （2020年新高考I（Ⅱ）卷.4）如图3，日晷是中国古代用来测量时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的维度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的维度为北纬40。，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）.

A.20°

B.40°

C.50°

D.90°

分析 自古以来人们对时间计时的探究从未暂停，例如日晷、刻漏、沙漏、钟表.虽然现代钟表计时精度越来越高，但却淡化了其中的自然现象.日晷利用太阳投射原理既可以测量时间又可以测量四季，此题以日晷为背景，让学生既能感受到古人的智慧所在，又能从中领悟数学的奥妙.

以历史文物为载体，渗透数学文化，使得题目的呈现不再枯燥乏味，转而以丰富的文字语言，生动形象地描绘出问题的因果关系，从而借助具体实物，抽象出实物的几何图形，将实物和几何图形构建联系，并根据题目要求，对复杂的数学问题进行直观表达，直接反应出问题的本质，利用几何图形发现数学规律，进一步启发解题思路，最终辅以数形结合思想解决问题，而整个过程都离不开直观想象的核心素养.

评析此题以空间点、线、面间的位置关系为基础，要求学生具备解决空间位置关系的基本活动经验、作图分析的基本操作技能、将文字语言转化为图形语言的基本数学思想.依托直观想象素养，使生硬的文字瞬间变得形象生动，并通过观察几何图形，理清题目线索，解决此题.但题目中北纬40。地平面和赤道既不平行也不垂直，虽向学生证实了天圆地方的道理，但也打破了学生以往认为地平面就是平行于赤道的想法，这为学生发挥直观想象能力造成了一定的阻碍，无法想象和绘制出对应的几何图形.

3启示与建议

3.1博古通今，搭建数学文化之桥，践行核心素养之路

在社会的历史发展进程中，文化被定义为物质财富和精神财富的总和，而数学文化则是数学成就领域中诞生的物质财富.忆往昔，西方数学文化中的《几何原本》《算术研究》，东方数学文化中的《周髀算经》《九章算术》等，都在不断地被人们所传颂;看今朝，大数据时代下，数学在航空业、通讯业等领域的广泛运用，是当今科技腾飞的最有力表现.数学文化是由古延伸至今的桥梁，借助数学文化是培养学生核心素养的一条途径.同时在数学教学中，应注重向学生渗透古今中外典型的数学文化知识，以文化熏陶的方式提高学生对数学价值的认识.

3.2熟能生巧，徜徉数学文化之海，耕种核心素养之田

数学学习是一种充满经验性的活动，数学的认知依赖于思维的内部操作，亦是其经验性的重要表现[3].自2017年高考考纲修订以来，近四年来高考真题、模拟试题中，与数学文化相关的题目层出不穷，学生在此方面积累的经验直接影响着他们解决数学文化试题的能力.教师应从数学文化海洋中筛选、组合与所学知识相关内容，有组织、有计划地开展数学文化试题的专题训练，引导学生将自己脱离出具体的问题情景，将解决问题的活动过程转变为思考的对象，在此过程中，既是知识建构的过程，同样也是素养提升的过程，以此引领文化之水耕种素养之田.

3.3终身教育，弘扬数学文化之魂，发展核心素养之翼

教育是贯穿人一生的活动，高考并非教育的终点.要真正借助数学文化贯彻素养落地，更重要的是立足终身教育，将数学的精神、思想等广泛地传播与应用.无论是面对当下严峻的疫情挑戰，还是未来科技的风云变幻，数学都发挥着举足轻重的作用，这也是数学素养作为育人价值的集中表现，因此，数学文化教育不应受高考局限，应放眼学生的终身教育，将当下的时事热点以及未来的科技发展作为依托，让学生经历问题抽象、模型建立等过程的同时，注重学生的未来发展，启发学生的应用意识，逐步培养学生数学思维品质，提升学生核心技能，建立学生正确的价值观念.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020

[2]汪晓勤，基于数学史的数学文化内涵课例分析[J].上海课程教学研究，2019 （2）：37-43

[3]李士铸.熟能生巧吗[J].数学教育学报，1996 （03）：46-50

[4]陈昂，任子朝，突出理性思维，弘扬数学文化[J].中国考试，2015（3）：10-14