见微知著 明理启教

邹信武

1 高中数学新旧教材对比的必要性

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称《标准》），提出了高中数学的学习要求：“四基”“四能”及“六核心素养”.2019年秋季学期，部分省份率先使用新教材，教材在《标准》下做了哪些改变？新教材对比旧教材有哪些优势？又是如何体现核心素养下的数学教学？教师应如何利用好教材落实“素养”教学？……这些都是摆在高中教师面前的问题.因此，对比新旧教材，寻找和分析差异，探求编写意图，明确教学要求，是高中数学教师加深对教材理解、落实《标准》理念的必然要求.

本文选取了人教A版《普通高中数学教科书·数学》（2019年）的《等式性质与不等式性质》和人教A版《普通高中课程标准试验教科书-数学》（2004年）《不等式与不等关系》为例进行比较分析（分别简称为“新教材”和“旧教材”）.这节内容是不等式的初始课，学生经历用不等式描述现实中不等关系，推导与证明不等式性质的学习过程，并用不等式解决实际问题，恰好可以体现“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”.因此，选择这一节内容进行新旧教材的对比，对理解《标准》理念下教材编写意图和教师教学指导都是极其有帮助的.

2 高中数学新旧教材“不等式性质”编排对比

2.1教材位置和章节名称的比较

新教材将旧教材必修5第三章《不等式》中3.1节《不等式与不等关系》调整至新教材第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》2.1节，章节标题也发生了改变-《等式性质与不等式性质》.在新教材中，第一册的第一章和第二章是高中数学学习的预备知识，在这节内容之前，學生学习了集合的有关概念、关系和运算，还学习了充分条件、必要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题和存在量词命题的否定等简易逻辑知识.

2.2 教学内容的比较

比较新旧教材，该节教学内容基本没有变化，主要分为两个部分：第一部分是通过生活和数学的例子，引导学生体会不等式的实际背景，感受不等式的重要性和广泛应用，进而总结实数大小关系的基本事实;第二部分是类比得到等式性质的方法，归纳不等式的性质并进行简单应用.

2.3教学课时的比较

旧教材中没有明确将这一内容划分课时，教学时往往根据教师对内容的理解分为两课时，部分教师拓展教材内容，引入大量生活素材，引导学生用不等式描述客观世界作为第一课时，实数以，6大小比较的事实及不等式性质作为第二课时;也有部分教师将实数以，6大小比较的事实及简单应用放在第一课时，将不等式性质作为第二课时，都有其合理之处.而新教材中明确了课时分配，不等式实际问题抽象和“基本事实”作为一个课时，不等式性质单独作为一课时，并且各自配备了练习.

2.4 教材的整体性

本轮课改另一个热点就是“单元设计”.单元教学设计倡导按内容或思想方法重新整理教学内容，形成一个相对独立的大单元.在新教材中，实数大小关系的基本事实是本章不等式知识的起始点，它是后面不等式知识的基础.而等式与不等式的类比，是本章内容叙述的线索，其后面内容“解一元二次不等式”，也是基于对二次函数、二次方程、二次不等式的几何直观的理解上.在细节上，也处处体现着在这样的安排，比如第一课时中问题2中的“二次不等式”，为2.3节“解二次不等式”埋下伏笔，引出探究案例赵爽弦图，并证明重要不等式，为其后基本不等式提供逻辑基础.这样的安排，兼顾了知识的关联性，保障了知识整体性，也更符合学生的思维规律，使学生从中领会数学思想，提升理性思维.

3“核心素养”视角下的新旧教材中的“不等式性质”

3.1数学抽象与直观想象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程[1].-般地，抽象经历两个过程：感性具体一理性具体一理性一般，它是符号化，形式化的过程.直观想象主要包括几何直观与空间想象两个方面.直观想象是认识抽象对象的另一条途径，它是符号化语言的直观解释.因此，教学中数学抽象对象与几何直观经常相辅相成，

在本节内容中，新教材更注重数学抽象形成过程，多角度、多维度地帮助学生经历和体会抽象过程，感悟抽象对象的本质.在自然语言与符号语言的转化过程中，新教材往往会给出它的几何直观，重视学生借助直观理解数学内容，借助图形描述和理解代数问题，比如“引入基本事实”过程中，旧教材仅仅限于自然语言抽象至符号语言，而新教材中在原有自然语言基础上，加入图象语言（数轴），更清晰地将抽象过程展露出来.又如：不等式性质3中，新教材增加了该性质在数轴上的几何解释，并给出提示：“从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解，对其他不等式的性质，你能用文字语言表述吗？”从符号语言再转向自然语言或者几何直观，这是由理性一般转向理性具体的过程，也是对抽象事物的更深层理解.

3.2 逻辑推理与数学运算

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程，在本课时中，逻辑推理是最重要的培养素养之一.逻辑推理主要包括合情推理和演绎推理.数学运算本质上是逻辑推理的一种形式.

逻辑思维素养的落实，首先要注意教学安排的逻辑性.新教材中，在《等式性质与不等式性质》第一课时中，教材内容的线索如图1，在第二课时中，教材内容的线索如图2.从图中可以发现，新教材中，知识点间环环相扣，前后联系，使学生对不等式的认识层层递进，这样的安排，既体现了数学知识的内在联系，也符合学生认知规律，更能培养学生严谨思考问题的习惯.

逻辑推理素养的生成，需要学生经历、感受推理的过程.对比发现，新教材更注重遵循学生思维规律，让学生参与感受发现数学关系、数学规律的方法，通过逻辑推理证明结论的过程.如图2，教材在等式性质与不等式性质采用了类比推理，让学生从已有经验中思考未经验的内容，经历分析、联系、对比、猜想的过程;得到猜想之后，又从实数大小关系的基本事实出发，证明猜想，采用演绎推理的方式，从特殊到一般，再由一般到特殊，从性质再推导出新性质.在一节课上，学生就经历了合情推理和演绎推理两种推理过程，因此这块内容是本节的重点和难点，是学生逻辑推理素养的养成关键性素材.

在本节内容中，数学运算在内容上是数学知识的纽带，推进着数学知识的生成和学生的内化过程.如不等式性质的发现与证明过程，教材先是让学生观察，找到发现等式性质的基本方法——自身定义与运算，猜想出性质1～4，使用实数大小关系的基本事实进行证明（作差运算），再运用性质2、性质3和性质4推导性质5和性质6.再如例1的旁白注解“0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了标杆”，点出了问题的本质，明确了运算目的，让学生探求运算思路，设计计算方法，这都体现了《标准》的要求.

3.3 数学模型

不等式作为描述现实世界不等关系的模型，两套教材都设置了不等式的实际应用题，相比之下，新教材的例子更具趣味性，比如新教材中在习题2.1里面增加了第9题：“证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因”，第10题“糖水不等式问题”，给出了非常生活化的应用，用数学关系去描述和解释生活现象，同时深化对不等式的理解，培养数学创新意识和实践能力.

4 新旧教材《等式性质与不等式性质》对比的启示

在《标准》下，新教材更注重学生的思维发展，教材处处体现着“学生主体”意识，知识作为载体，学生在经历知识的产生、发展和应用，而要点不仅是知识本身，更重要的是在这一过程的体验，以及在此过程中的程序性知识，这才是触及学生核心素养的地方.基于本节内容，有如下几点思考：

4.1 教学应遵循数学知识发生发展的逻辑

相比旧教材，新教材有更清晰、更完整的数学知识生成脉络.教学中应注意把握数学知识的联系与发展，使得数学知识的生成过程更自然.特別是第二课时，涵盖数学知识多，涉及数学思想多，关系复杂，教学中应充分理解教材编排的意图，把控全局，合理地调控“教学内容秩序”，展现给学生一个完整的知识系统.

4.2教学应留给学生更大的“思维空间”

《标准》的“四基”其中一条是“基本活动经验”.在课堂上，除了生生、师生之间这类外在探讨研究活动之外，更需要学生“独立的思维活动”.本节内容包含大量的类比、推理和论证，需要学生进行大量深层次的思维活动.因而，遵循学生的思维规律，把握课堂节奏，在这些关键节点上留下足够思考与交流的空间，是学生发展数学核心素养，从数学角度思考、分析和解决问题的保障.

4.3 挖掘教材隐性素材，促进学生思考

在教材中，许多表述会较为简洁，部分知识“点而不破”，预留“空白”，教学中，教师应该挖掘教材中“空白处”，这是留给教师发挥的空间.如新教材中不等式性质1，教材没有给出证明，我们可以提出问题：该如何证明性质17证明的依据是什么？这个证明看似简单，但要有理有据，并不容易，需要使用实数大小的基本事实和实数的性质进行证明.又如：在不等式性质3推导性质5的过程，蕴含了特殊到一般的思想，性质6推导性质7，又蕴含了一般到特殊的思想，这些都是需要教师在教学中提炼和升华，使学生从中领悟数学思想，生成数学核心素养.

4.4 依托教育技术，将抽象直观化

“符号化、形式化和公理化”是现代数学的重要特征.本节内容涉及较多符号化描述及运算，还有公理化的证明，具有高抽象、难理解的特点，教学中可以适当采用多种教育技术，加强其符号化的抽象表述的几何直观解释，多角度呈现它的抽象过程，进而帮助学生加深对抽象对象的理解，

参考文献

[1]史宁中，学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017 （01），35-37

[2]朱立明，胡洪强，马云鹏，数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例[J].数学教育学报，2018， 27（1）：42-46

[3]中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017