近年数学竞赛中条件为a+b+c=1型三元不等式的证法探究

范广哲

一直以来，不等式试题是国内外各类数学竞赛中经常出现的一类题目，其灵活多变，常考常新.条件不等式是指在限定条件下考虑的一类特殊不等式题目.在各类国内外数学竞赛不等式类型的题目中，笔者发现条件为a+b+c=1的三元不等式出现的频率颇高，本文给出此类型不等式的解法探究，不等式的综合应用对培养中学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养有着非常重要的作用，同时也有助于提高学生发现问题、分析问题，进而解决问题的能力，

均值不等式和柯西不等式是两类非常重要的不等式，其应用非常广泛.基于此，本节列举了几道近年国内外数学竞赛中的不等式试题，主要探讨用这两种方法解决此类题目，阐述均值不等式和柯西不等式的奇思妙用，仅供读者参考和借鉴.希望本文能给读者带来一些思考和启迪，能够学会举一反三，触类旁通，

分析由于所求结论为轮换对称结构，现考虑其中一项具有怎么的特点，发现利用拼凑化筒，然后利用均值不等式，可化为以a，b，c一次项的关系，进而求得结果.

证明由均值不等式可得：

分析 本题的关键是如何对结论中的项进行适当放缩，使其结论左边形式和右边建立适当的关联.另外，条件a+b+c=1进行适当变形，使用代换方式达到预期效果.

分析 虽然本题结论比较复杂，但仔细分析发现，可使用代换方法，从而达到预期效果.

分析 本题的放缩具有较高的技巧性，要对结论适当添加某些项，进而达到预期的放缩结果，再对放缩后的项进行恰当处理.

分析 本题先想到利用柯西不等式达到放缩的目的，另外利用已知条件，运用代换方法，適当进行合并同类项，从而达到预期结果.

分析 本题从形式看，首要想到的是放缩，把所求表达形式放小，另外要使放缩后的结果与己知条件建立起一定的关联，进而想到柯西不等式.

分析 本题的着眼点还是观察分母特点，利用不等式放缩使其形式简化，使所求表达式放缩后的结果与已知条件建立一定关联，进而想到柯西不等式.进一步思考，再利用己知条件达到进一步放缩的目的.

分析本题结构较为复杂，难度较高.首先观察到结果中的以a，b，c的地位相同，因而考虑a=b=c情况下取得等号.其次再思考如何把分母简化，进而想到柯西不等式.在后续的过程，同样运用到均值不等式.本题综合性较强，需要有较强的不等式基本功.