圆锥曲线中角平分线问题的探究与推广

姚必巍 李林静

圆锥曲线是高中数学的核心内容，其性质是高考和竞赛命题的重点内容.本文以2019年全国高中数学联赛广西赛区初赛试题第12题为例，对椭圆在定角平分线条件下的定点问题进行再探究，并进一步推广到双曲线与抛物线.

1 问题的提出

对上述试题，文[1]、[2]给出了圆锥曲线两条奇异性质：若直线l与l1的斜率之积或和为定值（非零），则直线MN过定点.筆者欣赏此两文并进一步探究后发现：若直线，与‘关于某定直线对称，则直线MN也过定点.

评注 利用到角公式处理角平分线问题，建立两个参量k和的关系，这是解决圆锥曲线定点问题的一般方法.

3 类比性质

令人感兴趣的是，借助上述的思维路径，我们可以把结论推广到双曲线与抛物线的情形之中，得出上述命题的推广.

4 探究延伸

前面，我们研究了当直线PM与PN关于某直线对称时，直线MN过定点，反之，当直线MN过定点时，直线PM与PN是否关于某直线对称？

圆锥曲线的学习就是要培养学生的探究意识，需要师生坚持不懈地研究与反思，开阔眼界和思想，这也是能学好圆锥曲线的关键.

参考文献

[1]钱汝富，一类直线与椭圆定点问题的探究[J].中学数学教学参考，2019 （6）：50-51

[2]程雷虎，圆锥曲线一条奇异性质的推广[J].数学通讯，2019 （10）：40-42

[3]漆赣湘，关联椭圆准线的若干性质再探究[J].数学通讯，2019 （7）：