以题为点，建构知识网络；变式为线，深化综合应用

连永欣

在新高考改革和高考命题改革的大背景下，“高考数学科在考查过程中要体现基础性、综合性、应用性和创新性”，其中“综合性是指数学知识体系的内部联系，强调数学各分支内容的相互交叉与渗透”[1]，从而“促进学生从整体上建构知识框架，形成合理的认知结构”[2].从高考命题角度，则通过“增强试题新颖性和灵活性，促进学生融会贯通、真懂会用，引导中学数学全面教学、夯实基础、灵活学习、创新思考”[3].

近年来，在高考全国卷和各省市卷中，亦频繁出现对数学综合性的考查试题.以高考全国卷理科试题为例，2019年I卷第21题，利用数列递推求解概率问题;2018年I卷第16题，2018年I卷第20题，2017年I卷第16题，2017年Ⅲ卷第21题，均是利用函数与导数观点，求解不同模块（涉及三角函数，概率统计，立体几何，数列等）的最值相关问题;2013年I卷第12题，利用椭圆的基本背景求解数列的单调性问题;2012年第12题，利用导数切线的几何意义来求解点点距离的最值……

该类问题对学生整体把握数学知识体系提出了更高要求，仅靠传统的二轮模块复习模式对专题进行逐个复习，难以让学生在遇到此类问题时有较为有效的尝试手段与处理办法.对此，在二轮复习后期，适当地加入以完善高中数学知识框架、培养学生合理认知结构为目标的微专题课程，不仅对知识的广度延拓（与其他模块知识的联系）有益，对知识的深度理解（一般理论在具体背景下的应用）有益，更是通过剖析过程本身，让学生在处理压轴问题时的视角更加广阔、思维更加灵活、角度更加丰富，是对综合性与整体性试题解决的有效尝试.

本文以三角函数背景的导数问题为例，通过对2018年高考全国I卷理科第16题的深入剖析与改编，构建微专题课程.

高考真题（2018年高考全国I卷·理16）己知函数f（x）=2 sinx+sin2x，则f（x）的最小值是一_____.

选题依据 三角函数是高中数学的重要组成部分，在高中阶段，更多地是将其看成特殊的函数（三角函数）对其进行“个性化”研究，而较少利用导数这一工具对其进行“一般化”的处理.在学习完基本初等函数的求导公式后，课本例题与习题较少出现导数之于三角函数相关问题研究之例，故学生对利用导数研究三角函数较为陌生，很多时候更缺乏引入导数作为工具的主动性.

微专题目标：本节微专题旨在实现三个目标：

（1）从更一般的函数角度认识三角函数这一特殊对象，利用导数这一处理函数最值的通用工具辅助三角函数最值相关问题的研究，建立三角函数与导数间的知识网络连接;

（2）从三角函数特殊性出发，通过分析利用导数这一工具时常遇到的问题及解决途径，深化函数与导数相关问题中的常用技巧（极值条件回代，必要性等）的理解;

（3）通过试题剖析的过程，展示处理综合性考题的尝试方法与处理路径，提供针对该类问题的解题策略.

本节微专题设计三个题组.

题组1求解下列函数的值域：

（1） f（x）= 2sinx+cosx;

（2） f（x）= 2sinx+cos2x;

（3）f（x）= 2sinx+sin2x.

设计意图题（1）（2）是学生熟知的三角函数最值问题，分别利用三角恒等变换知识和换元与复合函数知识来求解;题（3）“形似”但无法利用以上两种方法处理.借由设计该题组，一方面回顾分析三角恒等变换和换元与复合函数两种常见方法的适用情况，另一方面，对于以上两种适用情况均不适用的题（3），启发学生从题设“函数”背景与目标“最值”角度进行分析，从而得到能够借助导数这一重要工具之尝试方向，并在此基础上建立三角函数与导数之间的知识网络连接.

设计意图1引入导数的工具处理三角函数最值问题这一想法一旦被启发，则不难提供该类问题的解决思路;但之于三角函数的特殊性，在求解单调区间的过程中，常常要求极值点为特殊弧度（即12的整数倍），在该条件无法满足的情况下，应对方式的调整将是解决问题的重点.此时，合理的应对方式一般包括两类，借助反三角的基本知识进行表示（因现行考试大纲中并不要求，此略）或借助方程思想利用极值条件.

说明 在求解过程中，使得cosθ =√3/3的θ的弧度数并非最终结论中所需要的，只需知道对应的sinθ的值即可求出答案（而sinθ的值可以通过同角三角函数基本关系求解），这样的过程是方程思想的重要应用.事实上，同样的技巧在利用导数求解极值（特别是导函数等于零的方程无法求解）时，常被用到：通过虚设极值点，并对极值条件进行适当变形后代回辅助极值化筒. 设计意图2本题在利用导数的同时，还需要整体换元思路，但求解极小值的过程，容易直接将

cosθ=√3/3所对应的θ1+2kπ（k∈z）和θ2+2kπ（k∈z）

当作函数的极小值点来处理（如图1），导致错解.错解的主要原因是因为忽略了函数甜=cosx的影响（如图2），这类似于复合函数单调性中内层函数的影响，是复合函数单调性问题的易错点.本部分设计意图包括两点：（1）类比复合函数单调性，深化在换元角度下，函数单调性的分析判断（如图2）;（2）通过必要性先确定范围后逐一求解排除，是避开该类易错点的有效途径（见解析2）.

说明 注意到“只要把函数y=f（x）的所有极值連同端点函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值”[4][5]，而这里f （x）的定义域是R，故函数的最小值必然在所有极小值中取得，进一步必然在所有驻点（导数值为0的点）的函数值中取得.从而只需求出所有驻点的函数值进行比较.

事实上，这里我们先求出了所有可能最小值点的函数值，后利用逐项比较的方式，来验证得到最小值.究其本质，即利用必要性先求出可能的解或范围，后利用充分性进行验证或取舍.而这样的思路，是利用导数求解恒成立背景下的参数问题中的重要思路[6].

设计意图本题设计为作业，旨在熟悉与巩固利用导数处理某类三角函数最值相关问题中的基本流程与技巧.求解过程需要利用到三倍角公式并求解一个简单的三次方程.另一方面，试题原型为教材“阅读与思考”篇幅《振幅、周期、频率、相位》[7][8]中的例子.该题的设置，希望通过高中所学相关知识辅助三角相关问题处理，进一步加深对高中数学整体性的理解.

参考文献

[1]于涵，任子朝，陈昂，赵轩，李勇，新高考数学科考核目标与考查要求研究[J].课程·教材·教法，2018 （6）：21-26

[2]任子朝，赵轩，基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径[J].中国考试，2019 （12）：27-32

[3]任子朝，高考命题创新[J].中学数学教学参考（上旬），2018 （10）：

[4]刘绍学，普通高中课程标准实验教科书A版·数学·选修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007

[5]章建跃，李增沪，普通高中教科书A版-数学·选择性必修（第二册）[M].北京：人民教育出版社，2019

[6]张永辉，全国卷满分秘籍导数篇[M].北京：清华大学出版社，2017：14-15

[7]刘绍学，普通高中课程标准实验教科书A版-数学·必修4[M].北京：人民教育出版社，2007

[8]章建跃，李增沪，普通高中教科书A版·数学·必修（第一册）M]，北京：人民教育出版社，2019